مصفوفة عشوائية

في الفيزياء النووية ، قدّم يوجين ويغنر المصفوفات العشوائية لنمذجة أنوية الذرات الثقيلة. ^{[ 1 ] [ 2 ]} افترض ويغنر أن المسافات بين الخطوط في طيف نواة الذرة الثقيلة ينبغي أن تُشابه المسافات بين القيم الذاتية للمصفوفة العشوائية، وأن تعتمد فقط على فئة التناظر للتطور الأساسي. ^{[ 5 ]} في فيزياء الحالة الصلبة ، تُستخدم المصفوفات العشوائية لنمذجة سلوك الهاميلتوني الكبير غير المنتظم في تقريب المجال المتوسط .

في فوضى الكم ، تنص فرضية بوهيغاس-جيانوني-شميت (BGS) على أن الإحصاءات الطيفية للأنظمة الكمومية التي تُظهر نظائرها الكلاسيكية سلوكًا فوضويًا يتم وصفها بواسطة نظرية المصفوفات العشوائية. ^{[ 3 ]}

في البصريات الكمومية ، تُعدّ التحويلات الموصوفة بمصفوفات وحدوية عشوائية أساسيةً لإثبات تفوّق الحوسبة الكمومية على الحوسبة الكلاسيكية (انظر، على سبيل المثال، نموذج أخذ عينات البوزونات ). ^{[ 6 ]} علاوةً على ذلك، يمكن تنفيذ هذه التحويلات الوحدوية العشوائية مباشرةً في دائرة بصرية، عن طريق ربط معاييرها بمكونات الدائرة البصرية (أي مقسمات الحزم ومغيرات الطور). ^{[ 7 ]}

في الإحصاء متعدد المتغيرات ، قدم جون ويشارت مفهوم المصفوفات العشوائية ، ساعيًا إلى تقدير مصفوفات التغاير للعينات الكبيرة. ^{[ 8 ]} ويمكن عادةً تعزيز متباينات تشيرنوف ، وبرنشتاين ، وهوفدينغ عند تطبيقها على القيمة الذاتية القصوى (أي القيمة الذاتية ذات أكبر مقدار) لمجموع محدود من المصفوفات الهرميتية العشوائية . ^{[ 9 ]} تُستخدم نظرية المصفوفات العشوائية لدراسة الخصائص الطيفية للمصفوفات العشوائية، مثل مصفوفات التغاير للعينات، وهو أمر ذو أهمية خاصة في الإحصاء عالي الأبعاد . كما شهدت نظرية المصفوفات العشوائية تطبيقات في الشبكات العصبية ^{[ 10 ]} والتعلم العميق ، حيث استخدمت أعمال حديثة المصفوفات العشوائية لإظهار إمكانية نقل ضبط المعلمات الفائقة بكفاءة بين الشبكات العصبية الكبيرة دون الحاجة إلى إعادة التدريب. ^{[ 11 ]}

في التحليل العددي ، استُخدمت المصفوفات العشوائية منذ أعمال جون فون نيومان وهيرمان غولدستاين ^{[ 12 ]} لوصف أخطاء الحساب في عمليات مثل ضرب المصفوفات . ورغم أن المدخلات العشوائية تُعدّ مدخلات "عامة" تقليدية للخوارزمية، فإن تركيز القياس المرتبط بتوزيعات المصفوفات العشوائية يعني أن المصفوفات العشوائية لن تختبر أجزاءً كبيرة من فضاء مدخلات الخوارزمية. ^{[ 13 ]}

في نظرية الأعداد ، يُنمذج توزيع أصفار دالة زيتا لريمان ( ودوال L الأخرى ) بتوزيع القيم الذاتية لمصفوفات عشوائية معينة. ^{[ 14 ]} وقد اكتشف هيو مونتغمري وفريمان دايسون هذا الارتباط لأول مرة ، وهو مرتبط بحدسية هيلبرت-بوليا .

تُعدّ العلاقة بين الاحتمال الحر والمصفوفات العشوائية ^{[ 15 ]} سببًا رئيسيًا لانتشار استخدام الاحتمال الحر في مجالات أخرى. قدّم فوكوليسكو مفهوم الحرية حوالي عام 1983 في سياق جبري للمؤثرات؛ في البداية، لم تكن هناك أي علاقة بالمصفوفات العشوائية. لم يُكشف عن هذه العلاقة إلا لاحقًا في عام 1991 على يد فوكوليسكو ^{[ 16 ]} ؛ وقد استلهم ذلك من حقيقة أن التوزيع الحدي الذي وجده في نظرية النهاية المركزية الحرة قد ظهر سابقًا في قانون نصف الدائرة لويغنر في سياق المصفوفات العشوائية.

في مجال علم الأعصاب الحاسوبي، يتزايد استخدام المصفوفات العشوائية لنمذجة شبكة الوصلات المشبكية بين الخلايا العصبية في الدماغ. وقد أظهرت النماذج الديناميكية للشبكات العصبية ذات مصفوفة الاتصال العشوائية تحولًا طوريًا نحو الفوضى ^{[ 17 ]} عندما يتجاوز تباين الأوزان المشبكية قيمة حرجة، وذلك عند حد حجم النظام اللانهائي. كما أظهرت نتائج المصفوفات العشوائية أن ديناميكيات نماذج المصفوفات العشوائية لا تتأثر بمتوسط ​​قوة الاتصال. وبدلًا من ذلك، يعتمد استقرار التقلبات على تغير قوة الاتصال ^{[ 18 ] [ 19 ]} ، ويعتمد زمن التزامن على بنية الشبكة ^{[ 20 ] [ 21 ] .}

في تحليل البيانات الضخمة، مثل بيانات التصوير بالرنين المغناطيسي الوظيفي (fMRI) ، تُستخدم نظرية المصفوفات العشوائية لتقليل الأبعاد. عند تطبيق خوارزمية مثل تحليل المكونات الرئيسية (PCA) ، من المهم تحديد عدد المكونات المهمة. يمكن أن تتعدد معايير اختيار المكونات (بناءً على التباين المُفسَّر، أو طريقة كايزر، أو القيم الذاتية، إلخ). في هذا السياق، تُمثِّل نظرية المصفوفات العشوائية توزيع مارشينكو-باستور ، الذي يضمن الحدود النظرية العليا والدنيا للقيم الذاتية المرتبطة بمصفوفة التغاير لمتغير عشوائي. تُصبح هذه المصفوفة، المحسوبة بهذه الطريقة، الفرضية الصفرية التي تُتيح إيجاد القيم الذاتية (ومتجهاتها الذاتية) التي تنحرف عن النطاق العشوائي النظري. تُشكِّل المكونات المُستبعدة بذلك الفضاء المُختزل الأبعاد (انظر أمثلة في التصوير بالرنين المغناطيسي الوظيفي ^{[ 22 ] و[ 23 ]} ).

في نظرية التحكم الأمثل ، يعتمد تطور n من متغيرات الحالة عبر الزمن في أي لحظة على قيمها الخاصة وعلى قيم k من متغيرات التحكم. في حالة التطور الخطي، تظهر مصفوفات المعاملات في معادلة الحالة (معادلة التطور). في بعض المسائل، لا تُعرف قيم المعاملات في هذه المصفوفات على وجه اليقين، وفي هذه الحالة توجد مصفوفات عشوائية في معادلة الحالة، وتُعرف المسألة باسم التحكم العشوائي . ^{[ 24 ] : الفصل 13 [ 25 ]} تتمثل إحدى النتائج الرئيسية في حالة التحكم الخطي التربيعي مع المصفوفات العشوائية في أن مبدأ التكافؤ اليقيني لا ينطبق: فبينما في غياب عدم اليقين المضاعف (أي مع عدم اليقين الجمعي فقط)، تتطابق السياسة المثلى ذات دالة الخسارة التربيعية مع ما كان سيُقرر لو تم تجاهل عدم اليقين، قد تختلف السياسة المثلى إذا احتوت معادلة الحالة على معاملات عشوائية.

في الميكانيكا الحسابية ، تُؤدي الشكوك المعرفية الكامنة وراء نقص المعرفة بفيزياء النظام المُنمذج إلى ظهور مُؤثرات رياضية مرتبطة بالنموذج الحسابي، وهي مُتعدّدة أوجه قصور. تفتقر هذه المُؤثرات إلى خصائص مُعينة مُرتبطة بالفيزياء غير المُنمذجة. عند تقسيم هذه المُؤثرات إلى عناصر منفصلة لإجراء عمليات محاكاة حسابية، تكون دقتها محدودة بسبب نقص الفيزياء. وللتعويض عن هذا القصور في المُؤثر الرياضي، لا يكفي جعل مُعاملات النموذج عشوائية، بل من الضروري النظر في مُؤثر رياضي عشوائي يُمكنه توليد مجموعات من النماذج الحسابية على أمل أن يُجسّد أحدها الفيزياء المفقودة. وقد استُخدمت المصفوفات العشوائية في هذا السياق ^{[ 26 ]} ، مع تطبيقات في علم الصوتيات الاهتزازية، وانتشار الموجات، وعلم المواد، وميكانيكا الموائع، وانتقال الحرارة، وغيرها.

يمكن تطبيق نظرية المصفوفات العشوائية على جهود البحث في الهندسة الكهربائية والاتصالات لدراسة وتصميم وتطوير أنظمة الراديو الضخمة متعددة المدخلات والمخرجات ( MIMO ).

تُعدّ مجموعات غاوس، مثل GOE وGUE وGSE، من أكثر توزيعات المصفوفات العشوائية دراسةً . ويُشار إليها عادةً بمؤشر دايسون ، حيث β  =  1 لـ GOE، وβ  =  2 لـ GUE، و β  =  4 لـ GSE. ويُحسب هذا المؤشر عدد المكونات الحقيقية لكل عنصر من عناصر المصفوفة.

التوزيع الطيفي

دالة الكثافة الاحتمالية المشتركة للقيم الذاتية λ ₁ ، λ ₂ ، ...، λ _n لـ GUE/GOE/GSE معطاة بالصيغة التالية

$${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\beta ,n}}}\prod _{k=1}^{n}e^{-{\frac {\beta }{4}}\lambda _{k}^{2}}\prod _{i<j}\left|\lambda _{j}-\lambda _{i}\right|^{\beta }~,}$$

1

حيث Z _{β ، n} ثابت تطبيع يمكن حسابه صراحةً، انظر تكامل سيلبرغ . في حالة GUE ( β  =  2)، تصف الصيغة (1) عملية نقطية محددة . تتنافر القيم الذاتية لأن دالة الكثافة الاحتمالية المشتركة لها صفر (من${\displaystyle \beta }$الرتبة th) للقيم الذاتية المتطابقة${\displaystyle \lambda _{j}=\lambda _{i}}$، و${\displaystyle Z_{2,n}=(2\pi )^{n/2}\prod _{k=1}^{n}k!}$.

باختصار أكثر،$${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\beta ,n}}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\|\lambda \|_{2}^{2}}|\Delta _{n}(\lambda )|^{\beta }}$$أين${\displaystyle \Delta _{n}}$هو المحدد فاندرموند .

يمكن حل توزيع أكبر قيمة ذاتية لـ GOE و GUE بشكل صريح. ^{[ 27 ]} وهي تتقارب مع توزيع Tracy–Widom بعد إزاحتها وتوسيع نطاقها بشكل مناسب.

الطيف، مقسومًا على${\displaystyle {\sqrt {N\sigma ^{2}}}}$، يتقارب في التوزيع إلى التوزيع نصف الدائري على الفترة${\displaystyle [-2,+2]}$:${\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}}$. هنا${\displaystyle \sigma ^{2}}$يمثل هذا التباين تباين العناصر غير القطرية. أما تباين العناصر القطرية فلا يهم.

مصفوفات ويشارت هي مصفوفات عشوائية من الرتبة n  × n على الصورة H = X X ^* ، حيث X مصفوفة عشوائية من الرتبة n × m ( m ≥ n ) ذات عناصر مستقلة، و X ^* هي منقولتها المرافقة . في الحالة الخاصة المهمة التي تناولها ويشارت، تكون عناصر X متغيرات عشوائية غاوسية موزعة توزيعًا متطابقًا (سواء كانت حقيقية أو مركبة).     

تم إيجاد حد المقياس الطيفي التجريبي لمصفوفات ويشارت ^{[ 28 ]} بواسطة فلاديمير مارشينكو وليونيد باستور .

مصفوفات النطاقات العشوائية هي مصفوفات عشوائية تتميز بأن جميع عناصرها خارج نطاق معين تساوي صفرًا. ^{[ 29 ]} ويمكن استخدامها لنمذجة أنظمة الجسيمات المتفاعلة المرتبة تقريبًا في شبكة بحيث لا يُسمح لكل جسيم بالتفاعل إلا مع جيرانه، وهو ما يُعد تحسينًا لنموذج المجال المتوسط. ^{[ 29 ]}

في أحد الأبعاد، هذا يعني أن${\textstyle H_{ij}=0}$لو${\textstyle |i-j|>W}$حيث W هو عرض النطاق. فيزيائيًا، هذا يعني أن مقدار تفاعل الجسيمين i و j يساوي صفرًا إذا كانت المسافة بينهما على W. في أكثر من بُعد، لم يعد i و j عددين صحيحين، بل متجهين من n بُعدًا بمكونات صحيحة، و${\textstyle H_{ij}=0}$لو${\displaystyle |i-j|_{L^{1}}}$، أين${\displaystyle |\cdot |_{L^{1}}}$يشير إلى المسافة التي تقطعها سيارة الأجرة بين الموقعين.${\textstyle H_{ij}=H_{ji}}$لجميع قيم i و j والقيم غير الصفرية لـ${\textstyle H_{ij}}$توجد اختلافات${\displaystyle \sigma _{ij}^{2}}$من نفس رتبة المقدار، مُعَيَّرة بحيث${\textstyle \sum _{j}\sigma _{ij}^{2}=1}$لكل قيمة من قيم j. ^{[ 29 ]}

المقياس الطيفي التجريبي${\displaystyle \mu _{H}}$ل${\displaystyle H}$يتم تعريفها بواسطة$${\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{eigenvalues of }}H{\text{ in }}A\right\}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R} .}$$ أو باختصار أكثر، إذا${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$هي القيم الذاتية لـ${\displaystyle H}$$${\displaystyle \mu _{H}(d\lambda )={\frac {1}{n}}\sum _{i}\delta _{\lambda _{i}}(d\lambda ).}$$

عادةً، يكون الحد الأقصى لـ${\displaystyle \mu _{H}}$هو مقياس حتمي؛ وهذه حالة خاصة من التوسط الذاتي . تُسمى دالة التوزيع التراكمي للمقياس الحدي كثافة الحالات المتكاملة ويُرمز لها بـ N ( λ ). إذا كانت كثافة الحالات المتكاملة قابلة للتفاضل، فإن مشتقتها تُسمى كثافة الحالات ويُرمز لها بـ ρ ( λ ). 

بالنظر إلى مجموعة مصفوفات، نقول إن مقاييسها الطيفية تتقارب تقاربًا ضعيفًا إلى${\displaystyle \rho }$إذا وفقط إذا لأي مجموعة قابلة للقياس${\displaystyle A}$، يتقارب المتوسط ​​الجماعي:$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} _{H}[\mu _{H}(A)]=\rho (A)}$$التقارب ضعيف شبه مؤكد : إذا قمنا بأخذ عينات${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3},\dots }$بشكل مستقل عن المجموعة، ثم باحتمالية 1،$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)}$$لأي مجموعة قابلة للقياس${\displaystyle A}$.

بمعنى آخر ، يعني التقارب شبه المؤكد الضعيف أننا نقوم بأخذ عينات${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3},\dots }$، ليس بشكل مستقل، ولكن عن طريق "النمو" ( عملية عشوائية )، ثم باحتمال 1،${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)}$لأي مجموعة قابلة للقياس${\displaystyle A}$.

على سبيل المثال، يمكننا "تنمية" سلسلة من المصفوفات من مجموعة غاوسية على النحو التالي:

• قم بأخذ عينة من سلسلة لا نهائية مزدوجة اللانهائية من المتغيرات العشوائية القياسية${\displaystyle \{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,3,\dots }}$.
• عرّف كل منها${\displaystyle H_{n}=(G_{n}+G_{n}^{T})/{\sqrt {2n}}}$أين${\displaystyle G_{n}}$هل المصفوفة مكونة من مدخلات${\displaystyle \{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,\dots ,n}}$.

لاحظ أن مجموعات المصفوفات العامة لا تسمح لنا بالنمو، ولكن معظم المجموعات الشائعة، مثل مجموعات غاوس الثلاث، تسمح لنا بالنمو.

في النظام العالمي ، يهتم المرء بتوزيع الإحصاءات الخطية من الشكل${\displaystyle N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)}$.

وصف يوجين ويغنر حدّ المقياس الطيفي التجريبي لمصفوفات ويغنر ؛ انظر توزيع نصف دائرة ويغنر وتخمين ويغنر . أما فيما يخص مصفوفات التغاير العيني، فقد طوّر مارشينكو وباستور نظريةً في هذا الشأن . ^{[ 28 ] [ 31 ]}

يتم وصف حد المقياس الطيفي التجريبي لمجموعات المصفوفات الثابتة بواسطة معادلة تكاملية معينة تنشأ من نظرية الكمون . ^{[ 32 ]}

^{[ 36 ] [ 37 ]} الصيغة النموذجية لقانون ويغنر نصف الدائري مكافئة للصيغة التالية: لكلفترةثابتة${\displaystyle [\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}$متمركزة عند نقطة${\displaystyle \lambda _{0}}$، مثل${\displaystyle N}$كلما زاد عدد أبعاد المجموعة الغاوسية، تقاربت نسبة القيم الذاتية الواقعة ضمن الفترة إلى${\displaystyle \int _{[\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}\rho (t)dt}$، أين${\displaystyle \rho (t)}$هي كثافة التوزيع شبه الدائري.

لو${\displaystyle \Delta \lambda }$يمكن السماح لها بالانخفاض مع${\displaystyle N}$تزداد، ثم نحصل على نظريات أقوى بشكل صارم، تسمى "القوانين المحلية" أو "النظام الميزوسكوبي".

يُعدّ النظام الميزوسكوبي وسيطًا بين النظامين المحلي والعالمي. في هذا النظام ، يُهتمّ بالتوزيع الحدّي للقيم الذاتية في مجموعة تتقلّص إلى الصفر، ولكن ببطء كافٍ، بحيث يكون عدد القيم الذاتية داخلها${\displaystyle \to \infty }$.

فعلى سبيل المثال، يمتلك تجميع جينيبر قانونًا متوسطًا: لأي سلسلة من الأقراص المتقلصة ذات المساحات${\displaystyle u}$داخل القرص الموحد، إذا كانت الأقراص تحتوي على مساحة${\displaystyle A_{n}=O(n^{-1+\epsilon })}$كما أن التوزيع الشرطي للطيف داخل الأقراص يتقارب أيضاً إلى توزيع منتظم. أي، إذا قمنا بقطع الأقراص المتقلصة مع الطيف الواقع داخلها، ثم قمنا بتكبير الأقراص إلى وحدة مساحة، فسنرى الأطياف تتقارب إلى توزيع مسطح في الأقراص. ^{[ 37 ]}

في النظام المحلي ، يهتم المرء بالتوزيع الحدي للقيم الذاتية في مجموعة تتقلص بسرعة كبيرة بحيث يظل عدد القيم الذاتية ثابتًا${\displaystyle O(1)}$.

يعني هذا عادةً دراسة المسافات بين القيم الذاتية، وبشكل أعم، دراسة التوزيع المشترك للقيم الذاتية في فترة طولها من رتبة 1/ n . ويُفرّق بين الإحصاءات الكلية ، المتعلقة بالفترات داخل نطاق المقياس الطيفي الحدي، وإحصاءات الحواف ، المتعلقة بالفترات القريبة من حدود النطاق.

تُشير ظاهرة الصلابة الطيفية إلى أن القيم الذاتية لمعظم مجموعات المصفوفات الشائعة الاستخدام تميل إلى أن تكون موزعة بشكل أكثر انتظامًا مما لو تم أخذ عينات منها بشكل مستقل وعشوائي. أي أنها تتكتل معًا بشكل أقل من عملية بواسون النقطية البحتة . وتُسمى هذه الظاهرة أيضًا بصلابة القيم الذاتية أو تنافر المستويات .

بصورة كمية أكثر، لنفترض أن مجموعة المصفوفات لها مقياس كثافة طيفية حدية${\displaystyle \mu }$. أصلح بعض المجموعات الفرعية${\displaystyle S}$بحيث${\displaystyle 0<\mu (S)<1}$هذه هي نسبة القيم الذاتية التي تقع ضمن${\displaystyle S}$على حدود الكبير${\displaystyle N}$وبالتالي فإن العدد المتوقع للقيم الذاتية التي تقع ضمن${\displaystyle S}$يكون${\displaystyle N\mu (S)}$الآن، لو كانت العملية النقطية تعتمد كليًا على توزيع بواسون، لكان العدد الفعلي لـ${\displaystyle N\mu (S)+O({\sqrt {N\mu (S)(1-\mu (S))}})}$، منذ${\displaystyle {\sqrt {N\mu (S)(1-\mu (S))}}}$هو الانحراف المعياري لعدد النقاط التي تقع ضمن${\displaystyle S}$عندما تكون النقاط مستقلة تمامًا عن بعضها البعض. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت النقاط ثابتة تمامًا، فإن العدد الفعلي سيكون مساويًا لـ${\displaystyle N\mu (S)}$بدون تذبذب. الآن، اتضح أنه في العديد من مجموعات المصفوفات، يكون عدد النقاط التي تقع ضمن${\displaystyle S}$يكون${\displaystyle N\mu (S)+O({\sqrt {\ln N}})}$أي أنها ليست صلبة تمامًا، ولكنها قريبة جدًا من ذلك. ^{[ 43 ] [ 44 ]} وقد لوحظت الصلابة الطيفية عدديًا في أصفار دالة زيتا لريمان . ^{[ 45 ]}

دالة الكثافة الاحتمالية المشتركة للقيم الذاتية لـ${\displaystyle n\times n}$المصفوفات الهرميتية العشوائية${\displaystyle M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}$، مع دوال التقسيم من الشكل $${\displaystyle Z_{n}=\int _{M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}d\mu _{0}(M)e^{{\text{tr}}(V(M))}}$$ أين $${\displaystyle V(x):=\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}x^{j}}$$ و${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$هو مقياس ليبيغ القياسي على الفضاء${\displaystyle \mathbf {H} ^{n\times n}}$من هرمس${\displaystyle n\times n}$المصفوفات، تُعطى بواسطة $${\displaystyle p_{n,V}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{Z_{n,V}}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}e^{-\sum _{i}V(x_{i})}.}$$ ال${\displaystyle k}$تُعرَّف دوال الارتباط النقطي (أو التوزيعات الهامشية ) على النحو التالي:$${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {n!}{(n-k)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\cdots \int _{\mathbb {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$$ وهي دوال متناظرة منحرفة لمتغيراتها. وعلى وجه الخصوص، فإن دالة الارتباط أحادية النقطة، أو كثافة الحالات ، هي $${\displaystyle R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=n\int _{\mathbb {R} }dx_{2}\cdots \int _{\mathbf {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$$ تكامله على مجموعة بوريل${\displaystyle B\subset \mathbf {R} }$يعطي العدد المتوقع للقيم الذاتية الموجودة في${\displaystyle B}$: $${\displaystyle \int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{{\text{eigenvalues in }}B\}\right).}$$

تُعبّر النتيجة التالية عن دوال الارتباط هذه كمحددات للمصفوفات المُشكّلة من تقييم النواة التكاملية المناسبة عند الأزواج${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$من النقاط التي تظهر داخل المُرتبط.

نظرية [دايسون-ميهتا] لأي ${\displaystyle k}$،${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ال${\displaystyle k}$دالة الارتباط النقطي${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}}$يمكن كتابتها كمحدد $${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})=\det _{1\leq i,j\leq k}\left(K_{n,V}(x_{i},x_{j})\right),}$$ أين${\displaystyle K_{n,V}(x,y)}$هو${\displaystyle n}$نواة كريستوفيل-داربو $${\displaystyle K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y),}$$ مرتبط بـ${\displaystyle V}$، مكتوبة بدلالة كثيرات الحدود شبه $${\displaystyle \psi _{k}(x)={1 \over {\sqrt {h_{k}}}}\,p_{k}(z)\,e^{-V(z)/2},}$$ أين${\displaystyle \{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }}$هي متتالية كاملة من كثيرات الحدود أحادية المعامل، من الدرجات المشار إليها، والتي تحقق شروط التعامد $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)dx=\delta _{jk}.}$$

• ميهتا، إم إل (2004). المصفوفات العشوائية . أمستردام: إلسيفير/أكاديميك برس. ISBN 0-12-088409-7.
• ديفت، بيرسي؛ جيويف، ديمتري (2009). نظرية المصفوفات العشوائية: المجموعات الثابتة والشمولية . سلسلة محاضرات كورانت في الرياضيات. نيويورك  : بروفيدنس، رود آيلاند: معهد كورانت للعلوم الرياضية؛ الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-4737-4.
• فورستر، بيتر (2010). الغازات اللوغاريتمية والمصفوفات العشوائية . سلسلة منشورات الجمعية الرياضية بلندن. برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-12829-0.
• أندرسون، جي دبليو؛ غيونيه، أ؛ زيتوني، أ. (2010). مقدمة في المصفوفات العشوائية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-19452-5.
• باي، تشيدونغ؛ سيلفرشتاين، جاك دبليو. (2010). التحليل الطيفي للمصفوفات العشوائية ذات الأبعاد الكبيرة . سلسلة سبرينغر في الإحصاء (  الطبعة الثانية). نيويورك؛ لندن: سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4419-0661-8 . ISBN 978-1-4419-0660-1ISSN 0172-7397​​ 
• أكيمان، ج.؛ بايك، ج.؛ دي فرانشيسكو، ب. (2011). دليل أكسفورد لنظرية المصفوفات العشوائية . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-957400-1.
• تاو، تيرينس (2012). موضوعات في نظرية المصفوفات العشوائية . دراسات عليا في الرياضيات. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-7430-1.
• بوترز، مارك؛ بوشو، جان فيليب (30 نوفمبر 2020). مدخل إلى نظرية المصفوفات العشوائية: للفيزيائيين والمهندسين وعلماء البيانات . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/9781108768900 . ISBN 978-1-108-76890-0.

• إيدلمان، أ.؛ راو، ن. ر. (2005). "نظرية المصفوفات العشوائية". أكتا نوميريكا . 14 : 233-297 . Bibcode : 2005AcNum..14..233E . doi : 10.1017/S0962492904000236 . S2CID 16038147 . 
• باستور، ل. أ. (1973). "أطياف المؤثرات الذاتية المرافقة العشوائية". مجلة الرياضيات الروسية ، 28 (1): 1-67 . رمز Bibcode : 1973RuMaS..28....1P . doi : 10.1070/RM1973v028n01ABEH001396 . S2CID 250796916 . 
• دياكونيس، بيرسي (2003). "أنماط في القيم الذاتية: المحاضرة السبعون لجوزايا ويلارد جيبس" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . السلسلة الجديدة. 40 (2): 155-178 . doi : 10.1090/S0273-0979-03-00975-3 . MR 1962294 . 
• دياكونيس، بيرسي (2005). "ما هي ... المصفوفة العشوائية؟" . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 52 (11): 1348-1349 . ISSN 0002-9920 . MR 2183871 .  
• اينارد، برتراند؛ كيمورا، تارو؛ ريبولت ، سيلفان (2015/10/15). “المصفوفات العشوائية”. أرخايف : 1510.04430v2 [ الرياضيات-الفتاه ].
• بيناكر، كارلو (1997). "نظرية المصفوفة العشوائية للنقل الكمومي". مراجعات الفيزياء الحديثة . 69 (3): 731-808 . arXiv : cond-mat/9612179 . Bibcode : 1997RvMP...69..731B . doi : 10.1103/RevModPhys.69.731 .

• ويغنر، إي. (1955). "المتجهات المميزة للمصفوفات ذات الحدود ذات الأبعاد اللانهائية". حوليات الرياضيات . 62 (3): 548-564 . Bibcode : 1955AnMat..62..548W . doi : 10.2307/1970079 . JSTOR 1970079 . 
• ويشارت، ج. (1928). "توزيع عزم المنتج المعمم في العينات". بيومتريكا . 20أ ( 1-2 ): 32-52 . doi : 10.1093/biomet/20a.1-2.32 .
• فون نيومان، ج.؛ غولدستين، هـ. هـ. (1947). "العكس العددي للمصفوفات ذات الرتبة العالية" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 53 ( 11): 1021-1099 . doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08909-6 .