القانون الدائري

ل${\displaystyle \beta =2}$، القيم الذاتية لـ${\displaystyle G_{N}}$يتم توزيعها وفقًا لـ ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \rho _{N}\left(z_{1},\ldots ,z_{N}\right)={\frac {1}{Z}}\exp \left(-\sum _{k=1}^{N}\left|z_{k}\right|^{2}\right)\prod _{1\leq j<k\leq N}\left|z_{j}-z_{k}\right|^{2}}$$أين${\displaystyle Z=\pi ^{N}\prod _{k=1}^{N}k!}$هو تكامل سيلبرغ . مع تجاهل المصطلح${\displaystyle Z}$ويمكن الحصول على بقية الصيغة من خلال استغلال التناظر الثنائي للمجموعة. أي، لأي مجموعة وحدوية${\displaystyle U,V}$، المجموعة${\displaystyle UGV}$له نفس التوزيع.

ل${\displaystyle \beta =4}$، ال${\displaystyle 2N\times 2N}$تحتوي المصفوفة على قيم ذاتية مركبة تأتي في أزواج مترافقة. قم بفهرسة القيم الذاتية كما يلي:${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n},z_{n+1},\dots ,z_{2n}}$بحيث${\displaystyle z_{j}={\bar {z}}_{n+j}}$ثم ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \rho _{N}\left(z_{1},\ldots ,z_{N}\right)\propto \prod _{l=1}^{N}e^{-2\left|z_{l}\right|^{2}}\left|z_{l}-{\bar {z}}_{l}\right|^{2}\prod _{1\leq j<k\leq N}\left|z_{k}-z_{j}\right|^{2}\left|z_{k}-{\bar {z}}_{j}\right|^{2},\quad \operatorname {Im} z_{l}>0}$$ل${\displaystyle \beta =1}$، ال${\displaystyle N\times N}$المصفوفة تحتوي على${\displaystyle N}$القيم الذاتية المركبة، ولكل قيمة ذاتية قيمة ذاتية مرافقة. مع ذلك، قد لا تأتي هذه القيم في أزواج مترافقة ، إذ قد تكون بعض القيم الذاتية حقيقية بحتة. وهي ليست متصلة اتصالاً مطلقاً، وبالتالي لا تملك دالة كثافة احتمالية، بل تنقسم إلى قطاعات تبعاً لعدد القيم الذاتية الحقيقية. ^{[ 2 ]} مع ذلك، عند${\displaystyle N\to \infty }$عند الوصول إلى الحد، يتم استعادة القانون الدائري، حيث لا يوجد سوى${\displaystyle O({\sqrt {N}})}$ القيم الذاتية تقع تمامًا على خط الأعداد الحقيقية. ^{[ 3 ]}

ل${\displaystyle \beta =2}$، تشكل القيم الذاتية عملية نقطية محددة$${\displaystyle \rho _{(k),N}\left(z_{1},\ldots ,z_{k}\right)=\det \left[K_{N}\left(z_{j},z_{l}\right)\right]_{j,l=1}^{k}}$$مع نواة الارتباط$${\displaystyle K_{N}(w,z)={\frac {1}{\pi }}e^{-\left(|w|^{2}+|z|^{2}\right)/2}\sum _{j=1}^{N}{\frac {(w{\bar {z}})^{j-1}}{(j-1)!}}={\frac {1}{\pi }}e^{-\left(|w|^{2}+|z|^{2}\right)/2}e^{w{\bar {z}}}{\frac {\Gamma (N;w{\bar {z}})}{\Gamma (N)}}}$$أين${\displaystyle \Gamma (j;x)=\int _{x}^{\infty }t^{j-1}e^{-t}dt}$يرمز إلى دالة غاما غير الكاملة العليا . ولها السلوك التقاربي التالي$${\displaystyle K_{\infty }^{\mathrm {b} }(w,z):=\lim _{N\rightarrow \infty }K_{N}(w,z)={\frac {1}{\pi }}e^{-\left(|w|^{2}+|z|^{2}\right)/2}e^{w{\bar {z}}},}$$$${\displaystyle K_{\infty }^{\mathrm {e} }\left(z_{1},z_{2}\right):=\lim _{N\rightarrow \infty }K_{N}\left(-i{\sqrt {N}}+z_{1},-i{\sqrt {N}}+z_{2}\right)=e^{-\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)/2}e^{z_{1}{\bar {z}}_{2}}h\left({\frac {1}{2}}\left(-iz_{1}+i{\bar {z}}_{2}\right)\right)}$$أين${\displaystyle h(z)={\frac {1}{2\pi }}(1+\operatorname {erf} ({\sqrt {2}}z))}$.

بإدخال دالة الارتباط، يكون متوسط ​​توزيع جميع القيم الذاتية هو$${\displaystyle {\frac {1}{N}}K_{N}(z,z)={\frac {\Gamma (N;|z|^{2})}{\pi N!}}={\frac {\int _{|z|^{2}}^{\infty }t^{N-1}e^{-t}dt}{\pi N!}}}$$تقليص الحجم بواسطة${\displaystyle {\sqrt {N}}}$، نجد أن التوزيع المتوسط ​​للقيم الذاتية لـ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}G_{N}}$أن يكون لدينا دالة كثافة احتمالية$${\displaystyle \rho (z)={\frac {N^{N}}{\pi (N-1)!}}\int _{|z|^{2}}^{\infty }t^{N-1}e^{-Nt}dt}$$والتي تتقارب بسرعة إلى${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}&{\text{if }}|z|<1\\0&{\text{if }}|z|>1\end{cases}}}$.

والأهم من ذلك، لدينا القانون العالمي القوي. فلندع${\displaystyle (G_{N})_{N=1}^{\infty }}$ليكن تسلسلًا مأخوذًا من مجموعة جينيبر المعقدة. عرّف${\displaystyle \displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}}}$ليكون المقياس الطيفي التجريبي لـ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}G_{N}}$ثم، بشكل شبه مؤكد (أي باحتمال واحد)، يتقارب تسلسل القياسات في التوزيع إلى القياس المنتظم على قرص الوحدة.

تذكر التوزيع الطيفي$${\displaystyle \rho _{N}\left(z_{1},\ldots ,z_{N}\right)={\frac {1}{Z}}\exp \left(-\sum _{k=1}^{N}\left|z_{k}\right|^{2}\right)\prod _{1\leq j<k\leq N}\left|z_{j}-z_{k}\right|^{2}}$$يمكن تفسير ذلك على أنه توزيع بولتزمان لغاز كولوم ، أو بشكل أكثر تحديدًا لبلازما ثنائية الأبعاد أحادية المكون (OCP)، عند درجة حرارة معكوسة${\displaystyle \beta =2}$لاحظ ذلك هنا${\displaystyle \beta }$يُستخدم بمعنى مختلف، وقد يأخذ أي قيمة ضمن${\displaystyle (0,\infty )}$.

يحتوي الغاز على${\displaystyle N}$جسيمات متطابقة، جميعها موضوعة داخل المستوى${\displaystyle \mathbb {C} }$، مع الطاقة الكلية$${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}|z_{k}|^{2}-\sum _{1\leq j<k\leq N}\ln |z_{j}-z_{k}|}$$يشير الحد الأول إلى أن كل جسيم ينجذب إلى نقطة الأصل بقوة مقدارها${\displaystyle F_{k}=|z_{k}|}$يشير الحد الثاني إلى أن كل زوج من الجسيمات يتنافر مع بعضه البعض بقوة مقدارها${\displaystyle F_{jk}={\frac {1}{|z_{j}-z_{k}|}}}$.

بالنسبة لدرجة الحرارة المعكوسة العامة${\displaystyle \beta }$، تحتوي مسألة التحكم الأمثل على دالة تقسيم${\displaystyle Z_{N}^{\text{OCP}}(\beta )=\int _{\mathbb {C} ^{N}}e^{-\beta E}d^{N}z}$والطاقة المجانية${\displaystyle -\beta ^{-1}\ln Z_{\beta ,N}^{\text{OCP}}}$ومع ذلك، من الناحية النظرية، من الطبيعي أكثر النظر في دالة التقسيم المعيارية$${\displaystyle Z_{N}^{D_{R},\mathrm {OCP} }(\beta )={\frac {1}{N!}}A_{N,\beta }Z_{N}^{\mathrm {OCP} }(\beta ),\quad A_{N,\beta }=e^{-\beta N^{2}\left({\frac {1}{4}}\log N-{\frac {3}{8}}\right)}}$$حيث${\displaystyle N!}$ويرجع جزء من ذلك إلى حقيقة أن الجسيمات لا يمكن تمييزها عن بعضها البعض، و${\displaystyle A_{N,\beta }}$يزيل الطاقة الذاتية للبلازما المتوسطة، أي الطاقة الذاتية لقرص نصف قطره${\displaystyle R={\sqrt {N}}}$وكثافة الشحنة${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}}$. هكذا،${\displaystyle Z_{N}^{D_{R},\mathrm {OCP} }(\beta )}$هي دالة التوزيع لدائرة الحماية من التيار الزائد "المحايدة الشحنة". ^{[ 2 ]}

تحقق دالة التقسيم اللوغاريتمي ما يلي:$${\displaystyle -\ln Z_{N}^{D_{R},\mathrm {OCP} }(\beta ){\Big |}_{\beta =2}=N\beta f(\beta ){\Big |}_{\beta =2}+{\frac {1}{12}}\ln N-\zeta ^{\prime }(-1)-{\frac {1}{720N^{2}}}+O\left({\frac {1}{N^{4}}}\right)}$$أين${\displaystyle \beta f(\beta ){\Big |}_{\beta =2}={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1}{2\pi ^{3}}}\right)}$هي متوسط ​​الطاقة الحرة لكل جسيم عند${\displaystyle N\to \infty }$الحد. يُفترض أنه بالنسبة للحالة العامة${\displaystyle \beta }$, ^{[ 4 ]}$${\displaystyle -\ln Z_{N}^{D_{R},\mathrm {OCP} }(\beta )=N\beta f(\beta ){\Big |}_{\beta =2}+{\frac {4\log(\beta /2)}{3\pi ^{1/2}}}{\sqrt {N}}+{\frac {1}{12}}\ln N+O(1)}$$