سيلبرغ المتكاملة

في الرياضيات ، يُعدّ تكامل سيلبرغ تعميمًا لدالة بيتا لأويلر إلى n بُعدًا، وقد قدّمه أتلي سيلبرغ . ^{[ 1 ]} وله تطبيقات في الميكانيكا الإحصائية ، ومتعددات الحدود المتعامدة متعددة المتغيرات ، ونظرية المصفوفات العشوائية ، ونموذج كالوجيرو-موسر-سوذرلاند ، ومعادلات كنيجنيك-زامولودتشيكوف . ^{[ 2 ]}

متى${\displaystyle Re(\alpha )>0,Re(\beta )>0,Re(\gamma )>-\min \left({\frac {1}{n}},{\frac {Re(\alpha )}{n-1}},{\frac {Re(\beta )}{n-1}}\right)}$لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )&=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}\\&=\prod _{j=0}^{n-1}{\frac {\Gamma (\alpha +j\gamma )\Gamma (\beta +j\gamma )\Gamma (1+(j+1)\gamma )}{\Gamma (\alpha +\beta +(n+j-1)\gamma )\Gamma (1+\gamma )}}\end{محاذاة}}}$

تُشير صيغة سيلبرغ إلى متطابقة ديكسون للمتسلسلات الهندسية الفائقة المتوازنة جيدًا، وبعض الحالات الخاصة من حدسية دايسون . وهذا نتيجة منطقية لأوموتو.

أثبت أوموتو صيغة تكاملية أكثر عمومية بعض الشيء. ^{[ 3 ]} مع نفس الشروط التي استخدمتها صيغة سيلبرغ،

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\prod _{i=1}^{k}t_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}}$

${\displaystyle =S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )\prod _{j=1}^{k}{\frac {\alpha +(nj)\gamma }{\alpha +\beta +(2n-j-1)\gamma }}.}$

يوجد برهان في الفصل  الثامن من كتاب أندروز، أسكي وروي (1999) . ^{[ 4 ]}

متى${\displaystyle Re(\gamma )>-1/n}$،

$\begin{displaystyle} \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} \prod_{i=1}^{n}e^{-t_{i}^{2}/2} \prod_{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma} \,dt_{1} \cdots dt_{n} = \prod_{j=1}^{n}{\frac{\Gamma(1+j\gamma)}{\Gamma(1+\gamma)}}.}$

إنها نتيجة طبيعية لما ذكره سيلبرغ، من خلال تحديد${\displaystyle \alpha =\beta }$وتغيير المتغيرات مع${\displaystyle t_{i}={\frac {1+t'_{i}/{\sqrt {2\alpha }}}{2}}}$ثم أخذ${\displaystyle \alpha \to \infty }$.

وقد افترض ذلك ميهتا ودايسون (1963) ، اللذان لم يكونا على دراية بأعمال سيلبرغ السابقة. ^{[ 5 ]}

هي دالة التوزيع لغاز من الشحنات النقطية المتحركة على خط مستقيم والمتجاذبة نحو نقطة الأصل. ^{[ 6 ]}

على وجه الخصوص، عندما${\displaystyle \gamma =1}$المصطلح الموجود على اليمين هو${\displaystyle \prod _{j=1}^{n}j!}$.

افترض ماكدونالد (1982) الامتداد التالي لتكامل ميهتا لجميع أنظمة الجذور المحدودة ، حيث تتوافق حالة ميهتا الأصلية مع نظام الجذور A _{n − 1.} ^{[ 7 ]}

$\begin{displaystyle} \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int \cdots \int \left|\prod_{r}{\frac{2(x,r)}{(r,r)}}\right|^{\gamma}e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})/2}dx_{1}\cdots dx_{n}=\prod_{j=1}^{n}{\frac{\Gamma(1+d_{j}\gamma)}{\Gamma(1+\gamma)}}}$

يكون الناتج على جذور نظام الجذور r، والأعداد d _j هي درجات مولدات حلقة الثوابت لمجموعة الانعكاس. قدم أوبدام (1989) برهانًا موحدًا لجميع مجموعات الانعكاس البلورية. ^{[ 8 ]} وبعد عدة سنوات، أثبته بشكل عام تمامًا، مستخدمًا حسابات جارفان بمساعدة الحاسوب. ^{[ 9 ]}

• فورستر، بيتر (2010). "4. تكامل سيلبرغ". الغازات اللوغاريتمية والمصفوفات العشوائية . سلسلة منشورات الجمعية الرياضية بلندن. برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-12829-0.