دالة بيتا

في الرياضيات ، دالة بيتا ، والتي تُسمى أيضًا تكامل أويلر من النوع الأول، هي دالة خاصة ترتبط ارتباطًا وثيقًا بدالة غاما ومعاملات ذات الحدين . ويتم تعريفها بواسطة التكامل

$${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt}$$ بالنسبة لمدخلات الأعداد المركبة${\displaystyle z_{1},z_{2}}$بحيث${\displaystyle \operatorname {Re} (z_{1})،\operatorname {Re} (z_{2})>0}$.

تمت دراسة دالة بيتا بواسطة ليونارد أويلر وأدريان ماري ليجندر، وقد أطلق عليها جاك بينيه اسمها ؛ رمزها Β هو حرف بيتا كبير يوناني .

دالة بيتا متناظرة ، مما يعني أن ${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})}$لجميع المدخلات${\displaystyle z_{1}}$و${\displaystyle z_{2}}$[ ^{1 ]​}

إحدى الخصائص الرئيسية لدالة بيتا هي علاقتها الوثيقة بدالة جاما : ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}$$

يُقدم الدليل أدناه في §  العلاقة بدالة جاما .

ترتبط دالة بيتا ارتباطًا وثيقًا بمعاملات ذات الحدين . عندما يكون m (أو n ، بسبب التناظر) عددًا صحيحًا موجبًا، فإنه يتبع من تعريف دالة غاما Γ أن ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}}$$

لاستنتاج هذه العلاقة، نكتب حاصل ضرب مضروبين على شكل تكاملات. وبما أنها تكاملات في متغيرين منفصلين، يمكننا دمجها في تكامل متكرر :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}$$

بتغيير المتغيرات u = st و v = s (1 − t ) ، ولأن u + v = s و u / ( u + v ) = t ، فإن حدود التكامل لـ s هي من 0 إلى ∞ وحدود التكامل لـ t هي من 0 إلى 1. وبالتالي ينتج

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\[1ex]&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}}$$

بتقسيم كلا الجانبين على${\displaystyle \Gamma (z_{1}+z_{2})}$يعطي النتيجة المرجوة.

يمكن اعتبار الهوية المذكورة حالة خاصة من هوية تكامل الالتفاف .

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{z_{1}-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{z_{2}-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}}$$

يمتلك المرء:

$${\displaystyle \Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\,\Gamma (z_{1}+z_{2}).}$$

انظر دالة جاما ، الصفحات 18-19 ^{[ 2 ]} للحصول على اشتقاق لهذه العلاقة.

لدينا

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\frac {\Gamma '(z_{1})}{\Gamma (z_{1})}}-{\frac {\Gamma '(z_{1}+z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2}){\big (}\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2}){\big )},}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{m}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\left(\psi (z_{m})-\psi {\left(\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right)}\right),\quad 1\leq m\leq n,}$$

أين${\displaystyle \psi (z)}$يرمز إلى دالة ديغاما .

يُعطي تقريب ستيرلينغ الصيغة التقاربية

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}$$

لقيم x و y الكبيرة .

أما إذا كانت قيمة x كبيرة وقيمة y ثابتة، فإن

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$$

يمكن إعادة كتابة التكامل الذي يحدد دالة بيتا بعدة طرق، بما في ذلك ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{for any }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}}$$

حيث يمثل n في المتطابقة قبل الأخيرة أي عدد حقيقي موجب . ويمكن الانتقال من التكامل الأول إلى التكامل الثاني بالتعويض.${\displaystyle t=\tan ^{2}(\theta )}$.

للحصول على القيم${\displaystyle z=z_{1}=z_{2}\neq 1}$لدينا:

$${\displaystyle \mathrm {B} (z,z)={\frac {1}{z}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt[{z}]{\sin \theta }}+{\sqrt[{z}]{\cos \theta }}\right)^{2z}}}\,d\theta }$$

يمكن كتابة دالة بيتا على شكل مجموع لانهائي ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x)_{n}}{(y+n)\,n!}}}$$ لو${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يساوي عددًا${\displaystyle z}$نحصل على: $${\displaystyle \mathrm {B} (z,z)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2z+n-1)_{n}(-1)^{n}}{(z+n)n!}}=\lim _{x\to 1^{-}}2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2z)_{n}x^{n}}{(z+n)n!}}}$$ أين${\displaystyle (x)_{n}}$هو المضروب المتزايد ، وهو حاصل ضرب لانهائي$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}$$

تحقق دالة بيتا العديد من المتطابقات المشابهة للمتطابقات المقابلة لمعاملات ذات الحدين، بما في ذلك نسخة من متطابقة باسكال.

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y),}$$

ويمكن إثبات ذلك على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)&={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y+1)}{\Gamma (x+y+1)}}+{\frac {\Gamma (x+1)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y+1)}}\\&={\frac {y\Gamma (x)\Gamma (y)+x\Gamma (x)\Gamma (y)}{(x+y)\Gamma (x+y)}}\\&={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\\&=\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}$$

يُظهر البرهان أعلاه أيضًا التكرار البسيط على إحداثية واحدة ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.}$$

تُعدّ القيم الصحيحة الموجبة لدالة بيتا أيضًا مشتقات جزئية لدالة ثنائية الأبعاد: لجميع الأعداد الصحيحة غير السالبة${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$، $${\displaystyle \mathrm {B} (m+1,n+1)={\frac {\partial ^{m+n}h}{\partial a^{m}\,\partial b^{n}}}(0,0),}$$ أين $${\displaystyle h(a,b)={\frac {e^{a}-e^{b}}{a-b}}.}$$ تشير المتطابقة الشبيهة بمعادلات باسكال المذكورة أعلاه إلى أن هذه الدالة هي حل للمعادلة التفاضلية الجزئية من الرتبة الأولى$${\displaystyle h=h_{a}+h_{b}.}$$

ل${\displaystyle x,y\geq 1}$يمكن كتابة دالة بيتا بدلالة عملية التفاف تتضمن دالة القوة المقتطعة${\displaystyle t\mapsto t_{+}^{x}}$: $${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}}$$

قد تتبسط التقييمات في نقاط معينة بشكل كبير؛ على سبيل المثال، $${\displaystyle \mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}}$$ و ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z} }$$

عن طريق أخذ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$في هذه الصيغة الأخيرة، يترتب على ذلك أن${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$يؤدي تعميم هذا إلى متطابقة ثنائية المتغيرات لحاصل ضرب دوال بيتا إلى: $${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.}$$

وباستخدام صيغة تكرار ليجندر ، نحصل على $${\displaystyle 2^{z-1}\mathrm {B} (z/2,z/2)=\mathrm {B} (1/2,z/2).}$$

يمكن تحويل تكامل أويلر لدالة بيتا إلى تكامل على منحنى بوخامر C كما يلي:

$${\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}$$

يتقارب تكامل بوخامر الكفافي هذا لجميع قيم α و β وبالتالي يعطي الاستمرار التحليلي لدالة بيتا.

وكما تصف دالة جاما للأعداد الصحيحة المضروب ، يمكن لدالة بيتا أن تحدد معامل ذي الحدين بعد تعديل المؤشرات: $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\,\mathrm {B} (n-k+1,\,k+1)}}.}$$

علاوة على ذلك، بالنسبة للأعداد الصحيحة n ، يمكن تحليل Β للحصول على دالة استيفاء مغلقة الشكل للقيم المستمرة لـ k : $${\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}$$

دالة بيتا المقلوبة هي الدالة التي تأخذ الشكل

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}}$$

ومن المثير للاهتمام أن تمثيلاتهم التكاملية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالتكامل المحدد للدوال المثلثية مع حاصل ضرب قوتها وزاوية متعددة : ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta &={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\end{aligned}}}$$

يتم تعريف دالة بيتا غير الكاملة ، وهي تعميم لدالة بيتا، على النحو التالي ^{[ 7 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.}$$

عندما x = 1 ، تتطابق دالة بيتا غير الكاملة مع دالة بيتا الكاملة. أما بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة a و b ، فإن دالة بيتا غير الكاملة ستكون متعددة حدود من الدرجة a + b − 1 بمعاملات نسبية.

عن طريق الاستبدال${\displaystyle t=\sin ^{2}\theta }$و${\displaystyle t={\frac {1}{1+s}}}$، يمكننا أن نبين ذلك $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x;\,a,b)&=2\int _{0}^{\arcsin {\sqrt {x}}}\sin ^{2a-1\!}\theta \cos ^{2b-1\!}\theta \,d\theta \\[1ex]&=\int _{\frac {1-x}{x}}^{\infty }{\frac {s^{b-1}}{(1+s)^{a+b}}}\,ds\end{aligned}}}$$

يتم تعريف دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة (أو دالة بيتا المنتظمة باختصار) بدلالة دالة بيتا غير الكاملة ودالة بيتا الكاملة:

$${\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}$$

دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة هي دالة التوزيع التراكمي لتوزيع بيتا ، وهي مرتبطة بدالة التوزيع التراكمي.${\displaystyle F(k;\,n,p)}$لمتغير عشوائي X يتبع توزيعًا ثنائي الحدين باحتمالية نجاح واحد p وعدد محاولات برنولي n :

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;\,n,p)&=\Pr \left(X\leq k\right)\\[1ex]&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\[1ex]&=1-I_{p}(k+1,n-k).\end{aligned}}}$$

يمكن توسيع دالة بيتا لتشمل دالة بأكثر من وسيطين:

$${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.}$$

تُستخدم دالة بيتا متعددة المتغيرات هذه في تعريف توزيع ديريشليه . وتتشابه علاقتها بدالة بيتا مع العلاقة بين معاملات التوزيع متعدد الحدود ومعاملات التوزيع ذي الحدين. فعلى سبيل المثال، تُحقق صيغة مشابهة لهوية باسكال.

$${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=\mathrm {B} (\alpha _{1}+1,\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})+\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2}+1,\ldots \alpha _{n})+\cdots +\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}+1).}$$

تُعدّ دالة بيتا مفيدة في حساب وتمثيل سعة التشتت لمسارات ريجي . علاوة على ذلك، كانت أول سعة تشتت معروفة في نظرية الأوتار ، وقد افترضها غابرييل فينيزيانو . كما تظهر في نظرية عملية الارتباط التفضيلي ، وهي نوع من عمليات الجرار العشوائية . وتُعدّ دالة بيتا مهمة أيضًا في الإحصاء، على سبيل المثال لتوزيع بيتا وتوزيع بيتا الأولي . وكما أُشير إليه سابقًا بإيجاز، ترتبط دالة بيتا ارتباطًا وثيقًا بدالة غاما ، وتلعب دورًا مهمًا في حساب التفاضل والتكامل .

حتى في حالة عدم توفرها بشكل مباشر، يمكن حساب قيم دالة بيتا الكاملة وغير الكاملة باستخدام الدوال الشائعة في جداول البيانات أو أنظمة الجبر الحاسوبي .

في برنامج مايكروسوفت إكسل ، على سبيل المثال، يمكن حساب دالة بيتا الكاملة باستخدام GammaLnالدالة (أو special.gammalnفي حزمة SciPy الخاصة بلغة بايثون ):

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

وتنتج هذه النتيجة عن الخصائص المذكورة أعلاه .

لا يمكن حساب دالة بيتا غير الكاملة مباشرةً باستخدام هذه العلاقات، بل يجب استخدام طرق أخرى. في برنامج GNU Octave ، يتم حسابها باستخدام توسيع الكسر المستمر .

توجد تطبيقات لدالة بيتا غير الكاملة في لغات البرمجة الشائعة. على سبيل المثال، betaincتُستخدم دالة بيتا غير الكاملة في MATLAB و GNU Octave ، بينما تُستخدمpbeta دالة احتمال توزيع بيتا في R و betaincSymPy . في SciPy ، تُحسب دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة ، وهي في الواقع توزيع بيتا التراكمي. للحصول على دالة بيتا غير الكاملة الفعلية، يمكن ضرب نتيجة الدالة في النتيجة التي تُرجعها الدالة المقابلة. في Mathematica ، تُعطي الدالتانspecial.betaincspecial.betaincbetaBeta[x, a, b]BetaRegularized[x, a, b]${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}$و${\displaystyle I_{x}(a,b)}$، على التوالى.

• توزيع بيتا وتوزيع بيتا برايم ، وهما توزيعان احتماليان مرتبطان بدالة بيتا.
• مجموع جاكوبي ، وهو نظير دالة بيتا على الحقول المنتهية .
• تكامل نورلوند-رايس
• توزيع يول-سيمون

• أسكي، ر. أ .؛ روي، ر. (2010)، "دالة بيتا" ، في أولفر، فرانك و. ج .؛ لوزير، دانيال م.؛ بويسفيرت، رونالد ف.؛ كلارك، تشارلز و. (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
• بريس، دبليو إتش؛ تيوكولسكي، إس إيه؛ فيترلينغ، دبليو تي؛ فلانيري، بي بي (2007)، "القسم 6.1 دالة غاما، دالة بيتا، المضروب" ، وصفات عددية: فن الحوسبة العلمية (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-88068-8تمت أرشفة هذا النص من المصدر الأصلي بتاريخ 27 أكتوبر 2021 ، وتمت مراجعته بتاريخ 9 أغسطس 2011.

• "دالة بيتا" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• تقييم دالة بيتا باستخدام تحويل لابلاس في PlanetMath .
• يمكن الحصول على قيم دقيقة بشكل تعسفي من:
  • موقع وظائف Wolfram : تقييم بيتا بيتا غير المكتملة المنتظمة
  • danielsoper.com: حاسبة دالة بيتا غير الكاملة ، حاسبة دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة