وظائف خاصة

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Special functions" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (July 2021) (Learn how and when to remove this message)

الوظائف الخاصة هي وظائف رياضية معينة لها أسماء ورموز ثابتة إلى حد ما بسبب أهميتها في التحليل الرياضي ، أو التحليل الوظيفي ، أو الهندسة ، أو الفيزياء ، أو التطبيقات الأخرى.

يتم تعريف المصطلح بالإجماع، وبالتالي يفتقر إلى تعريف رسمي عام، ولكن قائمة الوظائف الرياضية تحتوي على وظائف مقبولة بشكل عام على أنها خاصة.

تظهر العديد من الدوال الخاصة كحلول للمعادلات التفاضلية أو تكاملات الدوال الأولية . لذلك، تتضمن جداول التكاملات ^{[1] عادةً أوصافًا للدوال الخاصة، وتتضمن جداول الدوال الخاصة [2]} أهم التكاملات؛ على الأقل، التمثيل التكاملي للدوال الخاصة. نظرًا لأن تناظرات المعادلات التفاضلية ضرورية لكل من الفيزياء والرياضيات، فإن نظرية الدوال الخاصة ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية مجموعات لي وجبر لي ، بالإضافة إلى موضوعات معينة في الفيزياء الرياضية .

عادةً ما تتعرف محركات الحساب الرمزي على غالبية الوظائف الخاصة.

الدوال ذات التدوينات الدولية المعمول بها هي الجيب ( )، وجيب التمام ( )، والدالة الأسية ( )، ودالة الخطأ ( أو ). ${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \cos }$${\displaystyle \exp }$${\displaystyle \operatorname {erf} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} }$

بعض الوظائف الخاصة لها عدة تدوينات:

• يمكن الإشارة إلى اللوغاريتم الطبيعي بـ ، ، ، أو حسب السياق.${\displaystyle \ln }$${\displaystyle \log }$${\displaystyle \log _{e}}$${\displaystyle \operatorname {Log} }$
• يمكن الإشارة إلى دالة الظل [ ^{المرساة المكسورة ]} بـ أو أو (تستخدم في العديد من اللغات الأوروبية).${\displaystyle \tan }$${\displaystyle \operatorname {Tan} }$${\displaystyle \operatorname {tg} }$
• يمكن الإشارة إلى الظل العكسي بـ ، ، ، أو .${\displaystyle \arctan }$${\displaystyle \operatorname {atan} }$${\displaystyle \operatorname {arctg} }$${\displaystyle \tan ^{-1}}$
• يمكن الإشارة إلى وظائف بيسل
  • ${\displaystyle J_{n}(x),}$
  • ${\displaystyle \operatorname {besselj} (n,x),}$
  • ${\displaystyle {\rm {BesselJ}}[n,x].}$

تُستخدم الفهارس السفلية غالبًا للإشارة إلى الحجج، وعادةً الأعداد الصحيحة. وفي بعض الحالات، تُستخدم الفاصلة المنقوطة (;) أو حتى الشرطة المائلة العكسية (\) كفاصل للحجج. وقد يؤدي هذا إلى إرباك الترجمة إلى اللغات الخوارزمية.

قد تشير الحروف العلوية ليس فقط إلى قوة (أس)، بل إلى بعض التعديلات الأخرى للدالة. تتضمن الأمثلة (خاصة مع الدوال المثلثية والزائدية ) ما يلي:

• ${\displaystyle \cos ^{3}(x)}$يعني عادة${\displaystyle (\cos(x))^{3}}$
• ${\displaystyle \cos ^{2}(x)}$عادة ما يكون ، ولكن لا يحدث أبدًا${\displaystyle (\cos(x))^{2}}$${\displaystyle \cos(\cos(x))}$
• ${\displaystyle \cos ^{-1}(x)}$عادة ما يعني ، ليس ؛ وهذا قد يسبب ارتباكًا، حيث أن معنى هذا النص العلوي يتعارض مع الآخرين.${\displaystyle \arccos(x)}$${\displaystyle (\cos(x))^{-1}}$

تعتبر أغلب الدوال الخاصة دالة لمتغير مركب . وهي دالة تحليلية ؛ حيث يتم وصف التفردات والقطع؛ ويتم معرفة التمثيلات التفاضلية والتكاملية ويتم توفير التوسع إلى سلسلة تايلور أو السلسلة المقاربة . بالإضافة إلى ذلك، توجد أحيانًا علاقات مع دوال خاصة أخرى؛ ويمكن التعبير عن دالة خاصة معقدة من حيث الدوال الأكثر بساطة. ويمكن استخدام تمثيلات مختلفة للتقييم؛ وأبسط طريقة لتقييم دالة هي توسيعها إلى سلسلة تايلور. ومع ذلك، قد يتقارب هذا التمثيل ببطء أو لا يتقارب على الإطلاق. في اللغات الخوارزمية، تُستخدم التقريبات النسبية عادةً، على الرغم من أنها قد تتصرف بشكل سيئ في حالة الحجج المعقدة.

في حين تم تنظيم وتوحيد علم المثلثات والدوال الأسية بحلول القرن الثامن عشر، استمر البحث عن نظرية كاملة وموحدة للوظائف الخاصة منذ القرن التاسع عشر. كانت ذروة نظرية الوظائف الخاصة في الفترة من 1800 إلى 1900 هي نظرية الوظائف الإهليلجية ؛ حيث شرحت الأطروحات التي كانت مكتملة بشكل أساسي، مثل أطروحة تانيري ومولك ، ^[3] جميع الهويات الأساسية للنظرية باستخدام تقنيات من نظرية الوظيفة التحليلية (بناءً على التحليل المركب ). كما شهد نهاية القرن مناقشة مفصلة للغاية للتوافقيات الكروية .

في حين سعى علماء الرياضيات البحتة إلى نظرية واسعة تستمد أكبر عدد ممكن من الدوال الخاصة المعروفة من مبدأ واحد، ظلت الدوال الخاصة لفترة طويلة من اختصاص الرياضيات التطبيقية . حددت التطبيقات في العلوم الفيزيائية والهندسية الأهمية النسبية للدوال. قبل الحوسبة الإلكترونية ، تم تأكيد أهمية الدالة الخاصة من خلال الحساب الشاق لجداول موسعة من القيم للبحث الجاهز ، كما هو الحال بالنسبة لجداول اللوغاريتم المألوفة . (كان محرك الفرق لباباج محاولة لحساب مثل هذه الجداول). لهذا الغرض، التقنيات الرئيسية هي:

• التحليل العددي ، اكتشاف سلسلة لا نهائية أو تعبيرات تحليلية أخرى تسمح بالحساب السريع؛ و
• اختزال أكبر عدد ممكن من الوظائف إلى الوظيفة المعطاة.

تتضمن الأسئلة النظرية الأخرى ما يلي: التحليل المقارب ؛ والاستمرارية التحليلية والتماثل في المستوى المركب ؛ ومبادئ التناظر والمعادلات البنيوية الأخرى.

شهد القرن العشرين عدة موجات من الاهتمام بنظرية الوظيفة الخاصة. سعى كتاب ويتاكر وواتسون الكلاسيكي (1902) ^[4] إلى توحيد النظرية باستخدام التحليل المركب؛ دفع كتاب GN Watson بعنوان A Treatise on the Theory of Bessel Functions التقنيات إلى أقصى حد ممكن لنوع مهم واحد، بما في ذلك النتائج المقاربة.

حاول مشروع مخطوطات باتمان اللاحق ، تحت تحرير آرثر إرديلي ، أن يكون موسوعيًا، وجاء في وقت كانت فيه الحوسبة الإلكترونية في المقدمة ولم تعد الجداول هي القضية الرئيسية.

النظرية الحديثة للمتعددات الحدودية المتعامدة هي ذات نطاق محدد ولكن محدود. أصبحت المتسلسلة فوق الهندسية ، التي لاحظ فيليكس كلاين أنها مهمة في علم الفلك والفيزياء الرياضية ، ^[5] نظرية معقدة تتطلب ترتيبًا مفاهيميًا لاحقًا. تعطي تمثيلات مجموعة لي تعميمًا فوريًا للوظائف الكروية ؛ منذ عام 1950 فصاعدًا، تمت إعادة صياغة أجزاء كبيرة من النظرية الكلاسيكية من حيث مجموعات لي. علاوة على ذلك، أحيا العمل على التوليفات الجبرية أيضًا الاهتمام بالأجزاء الأقدم من النظرية. ساعدت تخمينات إيان جي ماكدونالد في فتح مجالات جديدة كبيرة ونشطة بنكهة دالة خاصة. بدأت معادلات الفرق تأخذ مكانها بجانب المعادلات التفاضلية كمصدر للوظائف الخاصة.

في نظرية الأعداد ، تمت دراسة بعض الدوال الخاصة بشكل تقليدي، مثل سلسلة ديريتشليت الخاصة والأشكال المعيارية . تنعكس جميع جوانب نظرية الدوال الخاصة تقريبًا هناك، بالإضافة إلى بعض الجوانب الجديدة، مثل تلك التي خرجت من نظرية مونشاين الوحشية .

تم تعريف نظائر للعديد من الدوال الخاصة على فضاء المصفوفات المحددة الموجبة ، من بينها دالة القوة التي تعود إلى أتل سيلبيرج ، ^[6] ودالة جاما المتعددة المتغيرات ، ^[7] وأنواع دوال بيسل . ^[8]

تحتوي المكتبة الرقمية للوظائف الرياضية التابعة للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا على قسم يغطي العديد من الوظائف الخاصة لحجج المصفوفة. ^[9]

• قائمة الدوال الرياضية
• قائمة الوظائف الخاصة والأسماء المرتبطة بها
• وظيفة ابتدائية

• أندروز، جورج إي .؛ أسكي، ريتشارد ؛ روي، رانجان (1999). الوظائف الخاصة . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 71. مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0-521-62321-6. السيد  1688958.
• تيراس، أودري (2016). التحليل التوافقي على المساحات المتماثلة – المساحات ذات الرتبة الأعلى، ومساحات المصفوفات المحددة الإيجابية والتعميمات (الطبعة الثانية). سبرينغر نيتشر . رقم ISBN 978-1-4939-3406-5. السيد  3496932.
• ويتاكر، إي تي؛ واتسون، جي إن (13 سبتمبر 1996). دورة في التحليل الحديث . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-58807-2 . 
• NN Levedev (ترجمة وتحرير ريتشارد أ. سليفرمان): الوظائف الخاصة وتطبيقاتها ، دوفر، ISBN 978-0-486-60624-8 (1972). # نُشر في الأصل من Prentice-Hall Inc.(1965).
• نيكو م. تيم: الوظائف الخاصة: مقدمة إلى الوظائف الكلاسيكية للفيزياء الرياضية ، وايلي-إنترسايس، ISBN 978-0-471-11313-1 (1996).
• يوري أ. بريتشكوف: دليل الوظائف الخاصة: المشتقات والتكاملات والمتسلسلات والصيغ الأخرى ، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-1-58488-956-4 (2008).
• WW Bell: وظائف خاصة: للعلماء والمهندسين ، دوفر، ISBN 978-0-486-43521-3 (2004).

• شانجي تشانغ وجيان مينج جين: حساب الوظائف الخاصة ، وايلي إنترساينس، ISBN 978-0-471-11963-0 (1996).
• ويليام جيه تومسون: أطلس لحساب الوظائف الرياضية: دليل مصور للممارسين؛ مع برامج في فورتران 90 وماثماتيكا ، وايلي إنترساينس، ISBN 978-0-471-18171-2 (1997).
• أمبارو جيل، خافيير سيجورا ونيكو إم. تيمي: الطرق العددية للوظائف الخاصة ، SIAM، ISBN 978-0-898716-34-4 (2007).

• المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا ، وزارة التجارة الأمريكية. مكتبة المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا الرقمية للوظائف الرياضية. مؤرشف من الأصل في 13 ديسمبر 2018.
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الدالة الخاصة". MathWorld .
• آلة حاسبة علمية عبر الإنترنت تحتوي على أكثر من 100 وظيفة (>=32 رقمًا، العديد من العمليات المعقدة) (اللغة الألمانية)
• وظائف خاصة في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية
• الدوال الخاصة ومتعددات الحدود بقلم جيرارد ت هوفت وستيفان نوبنهاوس (8 أبريل 2013)
• الأساليب العددية للوظائف الخاصة، بقلم أ. جيل، ج. سيجورا، ن. م. تيمي (2007).
• ر. جاغاناثان، (P,Q)-الوظائف الخاصة
• وظائف خاصة