متابعة تحليلية

في التحليل المركب ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، يُعدّ الاستمرار التحليلي أسلوبًا لتوسيع نطاق تعريف دالة تحليلية معينة . غالبًا ما ينجح الاستمرار التحليلي في تعريف قيم إضافية للدالة، على سبيل المثال في منطقة جديدة حيث يصبح تمثيل المتسلسلة اللانهائية الذي عرّف الدالة في البداية متباعدًا .

مع ذلك، قد تواجه تقنية الاستمرار التدريجي بعض الصعوبات. قد تكون هذه الصعوبات ذات طبيعة طوبولوجية جوهرية، مما يؤدي إلى تناقضات (تحديد أكثر من قيمة واحدة). وقد تتعلق هذه الصعوبات، بدلاً من ذلك، بوجود نقاط شاذة . أما حالة المتغيرات المركبة المتعددة فهي مختلفة تماماً، إذ لا يشترط أن تكون النقاط الشاذة نقاطاً معزولة، وكان البحث فيها سبباً رئيسياً لتطوير علم التماثل الحزمي .

لنفترض أن f دالة تحليلية معرفة على مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة U من المستوى المركب${\displaystyle \mathbb {C} }$إذا كانت V مجموعة فرعية مفتوحة أكبر من${\displaystyle \mathbb {C} }$، التي تحتوي على U ، و F دالة تحليلية معرفة على V بحيث

${\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

عندئذٍ يُطلق على F اسم الامتداد التحليلي لـ f . بعبارة أخرى، فإن تقييد F على U هو الدالة f التي بدأنا بها.

_{تكون الاستمرارات} التحليلية فريدة بالمعنى التالي: إذا كان _V هو المجال المتصل لدالتين تحليليتين F1 و F2 بحيث تكون U محتواة في V ولكل z في U

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),}$

ثم

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

على كامل V. وذلك لأن F1 − F2 دالة تحليلية تتلاشى على المجال المفتوح والمتصل U للدالة f _{، وبالتالي يجب أن} تتلاشى على كامل مجالها. وينتج هذا مباشرةً من نظرية التطابق للدوال التحليلية .  

تتمثل إحدى الطرق الشائعة لتعريف الدوال في التحليل المركب في تحديد الدالة أولاً على نطاق صغير فقط، ثم توسيعها عن طريق الاستمرار التحليلي.

عملياً، يتم هذا الامتداد غالباً عن طريق وضع معادلة دالية أولاً على المجال الصغير، ثم استخدام هذه المعادلة لتوسيع المجال. ومن الأمثلة على ذلك دالة زيتا لريمان ودالة غاما .

طُوِّر مفهوم الغطاء الشامل لأول مرة لتحديد مجال طبيعي للاستمرار التحليلي لدالة تحليلية . وقد أدت فكرة إيجاد الاستمرار التحليلي الأقصى لدالة ما بدورها إلى تطوير فكرة أسطح ريمان .

يُستخدم الاستمرار التحليلي في مشعبات ريمان ، في سياق حلول معادلات أينشتاين . على سبيل المثال، يمكن الاستمرار التحليلي لإحداثيات شوارزشيلد إلى إحداثيات كروسكال-سيكيريس . ^{[ 1 ]}

ابدأ بدالة تحليلية معينة${\displaystyle f}$في هذه الحالة، يتم التعبير عنها بواسطة متسلسلة قوى مركزها عند${\displaystyle z=1}$:

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(z-1)^{k}.}$$

بحسب نظرية كوشي-هادامارد ، فإن نصف قطر تقاربها يساوي 1. أي،${\displaystyle f}$معرفة وتحليلية على المجموعة المفتوحة${\displaystyle U=\{|z-1|<1\}}$والتي لها حدود${\displaystyle \partial U=\{|z-1|=1\}}$في الواقع، يختلف المسلسل عند${\displaystyle z=0\in \partial U}$.

تظاهر بأننا لا نعرف ذلك${\displaystyle f(z)=1/z}$(لأنها متسلسلة هندسية )، والتركيز على إعادة توسيط متسلسلة القوى عند نقطة مختلفة${\displaystyle a\in U}$:

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty}a_{k}(za)^{k}.}$$

سنقوم بحساب${\displaystyle a_{k}}$وحدد ما إذا كانت متسلسلة القوى الجديدة هذه تتقارب في مجموعة مفتوحة${\displaystyle V}$وهو أمر غير موجود في${\displaystyle U}$إذا كان الأمر كذلك، فسنكون قد واصلنا التحليل بشكل مستمر${\displaystyle f}$إلى المنطقة${\displaystyle U\cup V}$وهو أكبر من${\displaystyle U}$.

المسافة من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle \partial U}$يكون${\displaystyle \rho =1-|a-1|>0}$. يأخذ${\displaystyle 0<r<\rho }$؛ يترك${\displaystyle D}$ليكن القرص نصف قطره${\displaystyle r}$حول${\displaystyle a}$ودع${\displaystyle \partial D}$ليكن حدودها. ثم${\displaystyle D\cup \partial D\subset U}$باستخدام صيغة كوشي للتفاضل لحساب المعاملات الجديدة، نحصل على $$\begin{aligned}a_{k}&=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}}\\&=\frac{1}{2\pi i}}\int_{\partial D}{\frac{f(\zeta)d\zeta}{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&=\frac{1}{2\pi i}}\int_{\partial D}{\frac{\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(\zeta -1)^{n}d\zeta}{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&=\frac{1}{2\pi i}}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{\partial D}{\frac{(\zeta \begin{frac{1}{2\pi i}} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \int_{0}^{2\pi} \frac{(a+re^{i\theta}-1)^{n} rie^{i\theta} d\theta} \int_{0}^{2\pi ... d\theta} \int_{0}^{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} \int_{2\pi} d\theta} \int_{2\pi} d\theta} \int_{2\pi} d\theta} \int_{2\pi} d\the \begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \int_{0}^{2\pi}{\frac{\sum_{m=0}^{n}{\binom{n}{m}}(a-1)^{nm}(re^{i\theta})^{m}d\theta}{(re^{i\theta})^{k}}\\&=\frac{1}{2\pi} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \sum_{m=0}^{n}{\binom{n}{m}}(a-1)^{nm}r^{mk} \int_{0}^{2\pi}e^{i(mk)\theta}d\theta \end{aligned}}$$

يؤول التكامل إلى الصفر كلما${\displaystyle m\neq k}$يمكننا بعد ذلك أن نفترض${\displaystyle m=k}$دون التأثير على المجموع، مما يؤدي إلى$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\\&=(-1)^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}(1-a)^{m}\\&=(-1)^{k}a^{-k-1}\end{aligned}}}$$

ينتج المجموع الأخير من الاشتقاق رقم k للمتسلسلة الهندسية ، مما يعطي الصيغة $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{k+1}}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}x^{m}.}$$

ثم، $${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}\\&={\frac {1}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{a}}{\frac {1}{1-\left(1-{\frac {z}{a}}\right)}}\\&={\frac {1}{z}}\\&={\frac {1}{(z+a)-a}}\end{aligned}}}$$

والتي لها نصف قطر تقارب${\displaystyle |a|}$حول${\displaystyle a}$إذا اخترنا${\displaystyle a\in U}$مع${\displaystyle |a|>1}$، ثم${\displaystyle V}$ليست مجموعة فرعية من${\displaystyle U}$وهي في الواقع أكبر مساحة من${\displaystyle U}$يوضح الرسم البياني النتيجة لـ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}(3+i).}$

يمكننا متابعة العملية: اختر${\displaystyle b\in U\cup V}$، أعد توسيط سلسلة الطاقة عند${\displaystyle b}$وحدد أين تتقارب متسلسلة القوى الجديدة. إذا كانت المنطقة تحتوي على نقاط ليست في${\displaystyle U\cup V}$ثم سنكون قد واصلنا التحليل.${\displaystyle f}$بل وأكثر من ذلك. هذا تحديداً.${\displaystyle f}$يمكن مواصلة التحليل إلى المستوى المعقد المثقوب بأكمله${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$

في هذه الحالة تحديدًا، القيم التي تم الحصول عليها لـ${\displaystyle f(-1)}$تكون القيم متطابقة عندما يكون للمراكز المتتالية جزء تخيلي موجب أو جزء تخيلي سالب. لكن هذا ليس هو الحال دائمًا؛ على وجه الخصوص، لا ينطبق هذا على اللوغاريتم المركب ، وهو الدالة الأصلية للدالة المذكورة أعلاه.

تُعمَّم متسلسلة القوى الموضحة أدناه بفكرة النواة . تُعرف النظرية العامة للاستمرار التحليلي وتعميماتها بنظرية الحزم . ليكن

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

لتكن متسلسلة قوى متقاربة في القرص D _r ( z ₀ )، r > 0، معرفة بواسطة

${\displaystyle D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C}$ :|z-z_{0}|<r\}} .

لاحظ أنه دون فقدان للعمومية ، سنفترض هنا وفيما يلي دائمًا أنه تم اختيار قيمة عظمى لـ r ، حتى لو كانت r تساوي ∞. لاحظ أيضًا أنه سيكون مكافئًا البدء بدالة تحليلية معرفة على مجموعة مفتوحة صغيرة. نقول إن المتجه

${\displaystyle g=(z_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )}$

هي نواة الدالة f . أساس g₀ _للدالة g هو z₀ _، وجذع g هو ( _α₀ , _α₁ , _α₂ , ... ) ، وقمة g₁ _للدالة g هي _α₀ . قمة g هي قيمة f عند z₀ _.

أي متجه g = ( z₀ _, α₀ _, α₁ _, ...) يُعتبر جرثومة إذا كان يُمثل متسلسلة قوى لدالة تحليلية حول z₀ بنصف قطر تقارب r > 0. لذلك، يُمكننا أن نتحدث بأمان عن مجموعة الجراثيم _.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

لنفترض أن g و h جرثومتان . إذا${\displaystyle |h_{0}-g_{0}|<r}$حيث r هو نصف قطر تقارب الدالة g ، وإذا كانت متسلسلة القوى المعرفة بواسطة g و h تُحدد دوالًا متطابقة على تقاطع المجالين، فإننا نقول إن h مُولَّدة بواسطة (أو متوافقة مع) g ، ونكتب g ≥ h . شرط التوافق هذا ليس متعديًا ولا متناظرًا ولا مضادًا للتناظر. إذا عممنا العلاقة بالتعدي ، نحصل على علاقة متناظرة ، وهي بالتالي أيضًا علاقة تكافؤ على الجراثيم (ولكنها ليست ترتيبًا). يُعد هذا التعميم بالتعدي أحد تعريفات الاستمرار التحليلي. سنرمز لعلاقة التكافؤ بـ${\displaystyle \cong }$.

يمكننا تعريف طوبولوجيا على${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ليكن r > 0، وليكن

${\displaystyle U_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}}:g\geq h,|g_{0}-h_{0}|<r\}.}$

المجموعات U _r ( g )، لجميع r > 0 و${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$حدد أساسًا للمجموعات المفتوحة للطوبولوجيا على${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

مكون متصل من${\displaystyle {\mathcal {G}}}$(أي فئة التكافؤ ) تسمى حزمة . ونلاحظ أيضًا أن التطبيق المعرف بواسطة${\displaystyle \phi _{g}(h)=h_{0}:U_{r}(g)\to \mathbb {C} ,}$حيث r هو نصف قطر تقارب الدالة g ، و هي خريطة . تشكل مجموعة هذه الخرائط أطلسًا لـ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$، لذلك${\displaystyle {\mathcal {G}}}$هو سطح ريمان .${\displaystyle {\mathcal {G}}}$تُسمى أحيانًا بالدالة التحليلية الشاملة .

${\displaystyle L(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(z-1)^{k}}$

هي متسلسلة قوى تُقابل اللوغاريتم الطبيعي بالقرب من z = 1. يمكن تحويل متسلسلة القوى هذه إلى جرثومة

${\displaystyle g=\left(1,0,1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},\ldots \right)}$

يبلغ نصف قطر تقارب هذه الجرثومة 1، وبالتالي توجد حزمة S مقابلة لها. هذه هي حزمة دالة اللوغاريتم.

تمتد نظرية التفرد للدوال التحليلية لتشمل حزم الدوال التحليلية: إذا احتوت حزمة دالة تحليلية على جرثومة الصفر (أي أن الحزمة تساوي صفرًا بشكل منتظم في جوار معين)، فإن الحزمة بأكملها تساوي صفرًا. وبناءً على هذه النتيجة، يمكننا أن نرى أنه إذا أخذنا أي جرثومة g من حزمة S لدالة اللوغاريتم، كما هو موضح أعلاه، وحولناها إلى متسلسلة قوى f ( z )، فإن هذه الدالة ستتمتع بالخاصية exp( f ( z )) = z . لو قررنا استخدام صيغة من نظرية الدالة العكسية للدوال التحليلية، لأمكننا بناء مجموعة واسعة من الدوال العكسية للدالة الأسية، لكننا سنكتشف أن جميعها ممثلة بجرثومة ما في S. وبهذا المعنى، فإن S هي "الدالة العكسية الحقيقية الوحيدة" للدالة الأسية.

في الأدبيات القديمة، كانت حزم الدوال التحليلية تُسمى الدوال متعددة القيم . انظر إلى مفهوم الحزمة العام.

لنفترض أن متسلسلة قوى لها نصف قطر تقارب r وتُعرّف دالة تحليلية f داخل هذا القرص. لننظر إلى النقاط الواقعة على دائرة التقارب. النقطة التي يوجد لها جوارٌ لدالة f امتداد تحليلي تُسمى منتظمة ، وإلا فهي شاذة . تُعتبر الدائرة حدًا طبيعيًا إذا كانت جميع نقاطها شاذة.

بشكل عام، يمكننا تطبيق التعريف على أي مجال مفتوح متصل تكون فيه f تحليلية، وتصنيف نقاط حدود المجال على أنها منتظمة أو شاذة: فحدود المجال تكون حدودًا طبيعية إذا كانت جميع النقاط شاذة، وفي هذه الحالة يكون المجال مجالًا للتحليل التام .

تعطي نظرية المونودرومي شرطًا كافيًا لوجود استمرار تحليلي مباشر (أي امتداد لدالة تحليلية إلى دالة تحليلية على مجموعة أكبر).

يفترض${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$إذا كانت G مجموعة مفتوحة و f دالة تحليلية على D ، وإذا كانت G مجالًا بسيط الاتصال يحتوي على D ، بحيث يكون لـ f امتداد تحليلي على طول كل مسار في G ، بدءًا من نقطة ثابتة a في D ، فإن لـ f امتدادًا تحليليًا مباشرًا إلى G.

في اللغة المذكورة أعلاه، هذا يعني أنه إذا كانت G مجالًا متصلًا ببساطة، و S حزمة تحتوي مجموعة نقاطها الأساسية على G ، فإنه توجد دالة تحليلية f على G تنتمي جرثوماتها إلى S.

لسلسلة القوى

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{n_{k}}}$

مع

${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {n_{k+1}}{n_{k}}}>1}$

تُعدّ دائرة التقارب حدًا طبيعيًا. وتُسمى هذه المتسلسلة القوى بالمتسلسلة الفجوية . وقد عُممت هذه النظرية بشكل كبير من قِبل يوجين فابري (انظر نظرية فجوة فابري ) وجورج بوليا .

يترك

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

لتكن متسلسلة قوى. عندئذٍ يوجد ε _k ∈ {−1, 1} بحيث

${\displaystyle g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\varepsilon _{k}\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

يحتوي على قرص تقارب f حول z ₀ كحدود طبيعية.

يعتمد برهان هذه النظرية على نظرية الفجوة لهادامارد.

• نجمة ميتاغ-ليفلر
• حساب التفاضل والتكامل الوظيفي الهولومورفي
• الاستمرار التحليلي العددي
• نظرية مقاطعة بوليا

• لارس أهلفورس (1979). التحليل المركب (  الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. الصفحات  172، 284.
• لودفيج بيبرباخ (1955). التحليلات التحليلية . سبرينغر-فيرلاغ.
• ب. دينيس (1957). متسلسلة تايلور: مقدمة في نظرية الدوال ذات المتغير المركب . نيويورك: منشورات دوفر. رمز Bibcode : 1957tsai.book.....D .

• "الاستمرار التحليلي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• الاستمرار التحليلي في MathPages
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الاستمرار التحليلي" . عالم الرياضيات .