إحداثيات شوارزشيلد

في نظرية مشعبات لورنتز ، تسمح الزمكانات المتناظرة كرويًا بوجود مجموعة من الكرات المتداخلة . في مثل هذا الزمكان، يُعد مخطط شوارزشيلد نوعًا مهمًا من مخططات الإحداثيات ، وهو نوع من مخططات الإحداثيات الكروية القطبية على زمكان ثابت ومتناظر كرويًا ، مُكيَّف مع هذه الكرات المتداخلة. السمة المميزة لمخطط شوارزشيلد هي أن الإحداثي القطري له تفسير هندسي طبيعي بدلالة مساحة السطح وانحناء غاوس لكل كرة. مع ذلك، لا يتم تمثيل المسافات والزوايا القطرية بدقة.

تُستخدم هذه المخططات في العديد من تطبيقات النظريات المترية للجاذبية، مثل النسبية العامة . وهي تُستخدم غالبًا في الزمكانات الساكنة ذات التناظر الكروي. في حالة النسبية العامة ، تنص نظرية بيركوف على أن كل حل فراغي أو فراغي كهربائي معزول ذي تناظر كروي لمعادلة أينشتاين للمجال يكون ساكنًا، لكن هذا لا ينطبق بالضرورة على الموائع المثالية . إن امتداد المنطقة الخارجية لحل فراغ شوارزشيلد داخل أفق حدث ثقب أسود ذي تناظر كروي ليس ساكنًا داخل الأفق، ولا يمكن تمديد مجموعة الكرات المتداخلة (الفضائية) داخل الأفق، لذا فإن مخطط شوارزشيلد لهذا الحل ينهار بالضرورة عند الأفق.

تحديد موتر متري${\displaystyle g}$يُعدّ جزءًا من تعريف أيّ فضاء لورنتزي . وأبسط طريقة لتعريف هذا الموتر هي تعريفه في مخططات إحداثيات محلية متوافقة ، والتحقق من تعريف الموتر نفسه على مناطق التداخل بين نطاقات هذه المخططات. في هذه المقالة، سنحاول فقط تعريف موتر القياس في نطاق مخطط واحد.

في مخطط شوارزشيلد (على فضاء-زمن ثابت متناظر كرويًا)، يأخذ عنصر الخط الشكل التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}g&=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\\&=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega }\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}-\infty &<t<\infty ,\,&r_{0}&<r<r_{1},\,\\0&<\theta <\pi ,\,&-\pi &<\phi <\pi \end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$هي الإحداثيات الكروية القياسية و${\displaystyle g_{\Omega }}$هو المقياس القياسي على الكرة ثنائية الأبعاد. انظر قسم "اشتقاق حل شوارزشيلد" لمزيد من التفاصيل حول اشتقاق هذا التعبير.

بحسب السياق، قد يكون من المناسب اعتبار a و b دالتين غير محددتين للإحداثي القطري (على سبيل المثال، عند اشتقاق حل دقيق ثابت متناظر كرويًا لمعادلة أينشتاين للمجال ). بدلاً من ذلك، يمكننا إدخال دوال محددة (قد تعتمد على بعض المعاملات) للحصول على مخطط إحداثيات شوارزشيلد على فضاء لورنتزي محدد.

إذا تبين أن هذا يسمح بوجود موتر إجهاد-طاقة بحيث يفي النموذج الناتج بمعادلة مجال أينشتاين (على سبيل المثال، لسائل مثالي ثابت متناظر كرويًا يخضع لشروط طاقة مناسبة وخصائص أخرى متوقعة من سائل مثالي معقول)، فعندئذٍ، مع حقول موتر مناسبة تمثل كميات فيزيائية مثل كثافات المادة والزخم، يكون لدينا جزء من زمكان أكبر محتمل؛ جزء يمكن اعتباره حلاً محليًا لمعادلة مجال أينشتاين.

فيما يتعلق بمخطط شوارزشيلد، يتم توليد جبر لي لحقول متجهات كيلينج بواسطة حقل متجهات كيلينج غير الدوراني الزمني$${\displaystyle \partial _{t}}$$^{[ ملاحظة 1 ]} وثلاثة حقول متجهة كيلينج فضائية $${\displaystyle \جزئي _{\phi }}$$$${\displaystyle \sin \phi \,\partial _{\theta }+\cot \theta \,\cos \phi \,\partial _{\phi }}$$$${\displaystyle \cos \phi \,\partial _{\theta }-\cot \theta \,\sin \phi \,\partial _{\phi }}$$ هنا، أقول ذلك${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$يعني كون الحقل غير دوراني أن موتر الدوامة للتوافق الزمني المقابل يتلاشى؛ وبالتالي، فإن حقل متجه كيلينغ هذا يكون متعامدًا مع السطح الفائق . إن حقيقة أن الزمكان لدينا يقبل حقل متجه كيلينغ زمنيًا غير دوراني هي في الواقع السمة المميزة للزمكان الساكن . إحدى النتائج المباشرة هي أن أسطح الإحداثيات ذات الزمن الثابت${\displaystyle t=t_{0}}$تشكل عائلة من الشرائح المكانية الفائقة (المتساوية القياس) . (هذا لا ينطبق على سبيل المثال في مخطط بوير-ليندكويست للمنطقة الخارجية لفراغ كير ، حيث لا يكون متجه الإحداثيات الزمني متعامدًا مع السطح الفائق ).

لاحظ أن الحقلين الأخيرين هما دوران أحدهما للآخر، تحت تحويل الإحداثيات${\displaystyle \phi \mapsto \phi +\pi /2}$. تقدم المقالة المتعلقة بحقول متجهات كيلينج اشتقاقًا مفصلاً ومناقشة للحقول الثلاثة الشبيهة بالفضاء.

في مخطط شوارزشيلد، الأسطح${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$تظهر على شكل كرات مستديرة (عندما نرسم المواضع بطريقة كروية قطبية)، ومن شكلها، نرى أن مقياس شوارزشيلد المقيد بأي من هذه الأسطح موجب تمامًا ويُعطى بواسطة $$//$$ أين${\displaystyle g_{\Omega }}$هي المقياس الريماني القياسي على الكرة ثنائية الأبعاد ذات نصف القطر الواحد. أي أن كرات الإحداثيات المتداخلة هذه تمثل في الواقع كرات هندسية ذات

1. مساحة السطح${\displaystyle A=4\pi r_{0}^{2}}$
2. انحناء غاوسي${\displaystyle K=1/r_{0}^{2}}$

على وجه الخصوص، هي كرات دائرية هندسية . علاوة على ذلك، فإن الإحداثيات الزاوية${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$وهي بالضبط الإحداثيات الزاوية الكروية القطبية المعتادة:${\displaystyle \theta }$يُطلق عليه أحيانًا اسم خط العرض المتجاور و${\displaystyle \phi }$يُطلق عليه عادةً خط الطول . وهو في الأساس السمة الهندسية المميزة لمخطط شوارزشيلد.

قد يكون من المفيد الإشارة إلى أن حقول كيلينغ الأربعة المذكورة أعلاه، باعتبارها حقول متجهة مجردة على مشعب لورنتزي، تُعطي التعبير الأمثل عن تناظري الزمكان الساكن ذي التناظر الكروي، بينما يُعد الشكل المثلثي المحدد الذي تتخذه في مخططنا التعبير الأمثل عن معنى مصطلح مخطط شوارزشيلد . وعلى وجه الخصوص، فإن حقول كيلينغ المتجهة المكانية الثلاثة لها نفس شكل حقول كيلينغ المتجهة غير الانتقالية الثلاثة في مخطط ذي تناظر كروي على E3 ^؛ أي أنها تُظهر مفهوم الدوران الإقليدي العشوائي حول نقطة الأصل أو التناظر الكروي.

مع ذلك، تجدر الإشارة جيدًا إلى أن إحداثيات شوارزشيلد القطرية، بشكل عام، لا تمثل بدقة المسافات القطرية ، أي المسافات المأخوذة على طول التطابق الجيوديسي المكاني الذي ينشأ كمنحنيات تكاملية لـ${\displaystyle \partial _{r}}$بل، لإيجاد مفهوم مناسب لـ " المسافة المكانية " بين اثنتين من كراتنا المتداخلة، ينبغي علينا إجراء التكامل${\displaystyle b(r)\,dr}$على طول شعاع إحداثي ما من نقطة الأصل: $${\displaystyle \Delta \rho =\int _{r_{1}}^{r_{2}}b(r)\,dr}$$

وبالمثل، يمكننا اعتبار كل كرة بمثابة موضع سحابة كروية من المراقبين المثاليين، الذين يجب عليهم (بشكل عام) استخدام محركات صاروخية للتسارع شعاعيًا نحو الخارج من أجل الحفاظ على مواقعهم. هؤلاء مراقبون ثابتون ، ولهم خطوط شكل عالمية.${\displaystyle r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}}$والتي تتخذ بالطبع شكل خطوط إحداثيات رأسية في مخطط شوارزشيلد.

لحساب الفاصل الزمني الصحيح بين حدثين على خط العالم لأحد هؤلاء المراقبين، يجب علينا إجراء التكامل${\displaystyle a(r)\,dt}$على طول خط الإحداثيات المناسب: $${\displaystyle \Delta \tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}a(r)\,dt}$$

بالنظر إلى نطاقات الإحداثيات المذكورة أعلاه، لاحظ أن نقطة التفرد الإحداثي عند${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =0}$ يُشير إلى موقع القطب الشمالي لإحدى كراتنا الثابتة المتداخلة، بينما${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =\pi }$يُشير هذا إلى موقع القطب الجنوبي . وكما هو الحال في الخريطة الكروية القطبية العادية على خط الطول E3 ^، لا يُمكننا، لأسباب طوبولوجية، الحصول على إحداثيات متصلة على الكرة الأرضية بأكملها؛ لذا يجب علينا اختيار خط طول ( دائرة عظمى ) ليكون بمثابة خط الزوال الرئيسي.${\displaystyle \phi =0}$ثم نقطع هذا الجزء من المخطط. والنتيجة هي أننا نقطع نصف مستوى مغلق من كل شريحة مكانية فائقة.${\displaystyle t=t_{0}}$بما في ذلك المحور${\displaystyle r=0}$ونصف مستوى يمتد من ذلك المحور.

عندما قلنا أعلاه ذلك${\displaystyle \partial _{\phi }}$هو حقل متجه كيلينغ، وقد أغفلنا الشرط الدقيق ولكن المهم الذي نفكر فيه.${\displaystyle \phi }$كإحداثية دورية ، وبالفعل التفكير في متجهات كيلينج الثلاثة الشبيهة بالفضاء على أنها تعمل على كرات مستديرة.

ربما، بالطبع،${\displaystyle r_{1}>0}$أو${\displaystyle r_{2}<\infty }$وفي هذه الحالة، يجب علينا أيضًا استبعاد المنطقة خارج كرة ما، أو داخل كرة ما، من نطاق مخططنا. يحدث هذا عندما تنفجر الدالة f أو g عند قيمة معينة للإحداثي القطري شوارزشيلد r.

لفهم أهمية الإحداثي الشعاعي لشوارزشيلد بشكل أفضل، قد يكون من المفيد تضمين إحدى الشرائح الفائقة المكانية.${\displaystyle t=t_{0}}$(جميعها متساوية القياس بالطبع) في فضاء إقليدي مسطح. سيسعد من يجد صعوبة في تصور الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد بملاحظة أنه يمكننا الاستفادة من التناظر الكروي لحذف أحد الإحداثيات . ويمكن تحقيق ذلك بسهولة عن طريق وضع${\displaystyle t=0,\theta =\pi /2}$لدينا الآن مشعب ريماني ثنائي الأبعاد مع مخطط إحداثيات شعاعية محلية، $${\displaystyle g|_{t=0,\theta =\pi /2}=b(r)^{2}dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2},\;\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$$ لتضمين هذا السطح (أو حلقة دائرية ) في E ³ ، نعتمد حقل إطار في E ³ والذي

1. يتم تعريفها على سطح ذي معلمات، والذي سيرث المقياس المطلوب من فضاء التضمين،
2. يتم تكييفه مع مخططنا الشعاعي،
3. يتميز بوظيفة غير محددة${\displaystyle f(r)}$.

بمعنى آخر، ضع في اعتبارك السطح المُعَلم. $${\displaystyle (z,r,\phi )\rightarrow (f(r),\,r\cos \phi ,\,r\sin \phi )}$$ حقول متجهات الإحداثيات على هذا السطح هي $${\displaystyle \partial _{r}=(f^{\prime }(r),\,\cos \phi ,\,\sin \phi ),\;\;\partial _{\phi }=(0,-r\sin \phi ,r\cos \phi )}$$ المقياس المستحث الموروث عند تقييد المقياس الإقليدي على E ³ لسطحنا ذي المعلمات هو $${\displaystyle d\rho ^{2}=\left(1+f^{\prime }(r)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\phi ^{2},\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$$ لربط هذا بمقياس شريحة البيانات الفائقة لدينا، ينبغي علينا بوضوح اختيار${\displaystyle f(r)}$بحيث $${\displaystyle f^{\prime }(r)={\sqrt {1-b(r)^{2}}}}$$ على سبيل المثال، قد يكون لدينا${\displaystyle b(r)=f(r)=\sin(r)}$.

ينطبق هذا على الأسطح التي تكون فيها المسافات الحقيقية بين نقطتين متباعدتين شعاعيًا أكبر من الفرق بين إحداثياتهما الشعاعية. أما إذا كانت المسافات الحقيقية أصغر ، فينبغي تضمين مشعب ريمان كسطح فضائي في E ^1,2 . على سبيل المثال، قد يكون لدينا${\displaystyle b(r)=f(r)=\sinh(r)}$قد نحتاج أحيانًا إلى تضمينين محليين أو أكثر للحلقات الدائرية (لمناطق ذات انحناء غاوسي موجب أو سالب). عمومًا، لا ينبغي أن نتوقع الحصول على تضمين شامل في أي فضاء مسطح (مع موتر ريمان معدوم).

النقطة هي أن السمة المميزة لمخطط شوارزشيلد من حيث التفسير الهندسي للإحداثي القطري هي بالضبط ما نحتاجه لتنفيذ (من حيث المبدأ) هذا النوع من التضمين المتناظر كرويًا للشرائح الفائقة المكانية.

غالبًا ما يتم استخدام عنصر الخط المذكور أعلاه، مع اعتبار f و g دوال غير محددة للإحداثي القطري شوارزشيلد r ، كفرضية مترية في اشتقاق حلول متناظرة كرويًا ثابتة في النسبية العامة (أو نظريات الجاذبية المترية الأخرى ).

كمثال توضيحي، سنبين كيفية حساب الاتصال والانحناء باستخدام طريقة حساب التفاضل والتكامل الخارجي لكارتان . أولاً، نقرأ من عنصر الخط حقل الإطار المشترك ، $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{0}&=-a(r)\,dt\\\sigma ^{1}&=b(r)\,dr\\\sigma ^{2}&=rd\theta \\\sigma ^{3}&=r\sin \theta \,d\phi \end{aligned}}}$$ حيث نعتبر${\displaystyle a\,b}$هي دوال سلسة غير محددة حتى الآن${\displaystyle r}$. (إن حقيقة أن الزمكان لدينا يسمح بإطار له هذا الشكل المثلثي المحدد هو تعبير مكافئ آخر لمفهوم مخطط شوارزشيلد في مشعب لورنتزي ثابت ومتناظر كرويًا).

ثانيًا، نحسب المشتقات الخارجية لهذه الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى ذات الأساس المشترك: $${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma ^{0}&=-a'(r)\,dr\wedge dt\\&={\frac {a'(r)}{b(r)}}\,dt\wedge \sigma ^{1}\\[1ex]d\sigma ^{1}&=0\,\\[1ex]d\sigma ^{2}&=dr\wedge d\theta \\[1ex]d\sigma ^{3}&=\sin \theta \,dr\wedge d\phi +r\,\cos \theta \,d\theta \wedge d\phi \\&=-\left({\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}\wedge \sigma ^{1}+\cos \theta \,d\phi \wedge \sigma ^{2}\right)\end{aligned}}}$$ بالمقارنة مع معادلة كارتان الهيكلية الأولى (أو بالأحرى شرط التكامل الخاص بها)، $${\displaystyle d\sigma ^{\hat {m}}=-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}\,\wedge \sigma ^{\hat {n}}}$$ نخمن تعابير الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى للاتصال . (القبعات هي مجرد أداة تدوينية لتذكيرنا بأن المؤشرات تشير إلى الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى للأساس المشترك، وليس إلى الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى للإحداثيات).${\displaystyle dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi }$.)

إذا تذكرنا أزواج المؤشرات المتناظرة (الزمكان) وتلك غير المتناظرة (الفضاء-الفضاء) في${\displaystyle {\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}}$يمكننا التأكيد على أن الأشكال الستة للوصلة هي $${\displaystyle {\begin{aligned}{\omega ^{0}}_{1}&={\frac {a'}{b}}(r)\,dt,&{\omega ^{0}}_{2}&=0,&{\omega ^{0}}_{3}&=0,\\{\omega ^{1}}_{2}&=-{\frac {d\theta }{b(r)}},&{\omega ^{1}}_{3}&=-{\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}},&{\omega ^{2}}_{3}&=-\cos \theta \,d\phi ,\end{aligned}}}$$ (في هذا المثال، أربعة فقط من الستة غير معدومة). يمكننا تجميع هذه الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى في مصفوفة من الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى، أو الأفضل من ذلك، شكل تفاضلي من الدرجة الأولى ذي قيم SO(1,3). لاحظ أن مصفوفة الأشكال التفاضلية الناتجة لن تكون متناظرة تمامًا كما هو الحال بالنسبة لشكل تفاضلي من الدرجة الأولى ذي قيم SO(4)؛ لذا نحتاج إلى استخدام مفهوم النقل الناشئ عن المرافق اللورنتزي .

ثالثًا، نحسب المشتقات الخارجية لأشكال الاتصال من الدرجة الأولى ونستخدم معادلة كارتان الهيكلية الثانية$${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}=d{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {\ell }}\wedge {\omega ^{\hat {\ell }}}_{\hat {n}}}$$ لحساب الانحناء، نستخدم شكلين. رابعًا، باستخدام الصيغة $${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}={R^{\hat {m}}}_{{\hat {n}}|{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}|}\,\sigma ^{\hat {\imath }}\wedge \sigma ^{\hat {\jmath }}}$$ حيث تشير أشرطة باخ إلى أنه يجب علينا الجمع فقط على أزواج المؤشرات الستة المتزايدة ( i ، j )، يمكننا قراءة المكونات المستقلة خطيًا لموتر ريمان بالنسبة لإطارنا المشترك وحقل إطاره الثنائي . نحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}{R^{0}}_{101}&={\frac {-a''\,b+a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r)\\{R^{0}}_{202}&={\frac {1}{r}}{\frac {-a'}{a\,b^{2}}}(r)={R^{0}}_{303}\\{R^{1}}_{212}&={\frac {1}{r}}{\frac {b'}{b^{3}}}(r)={R^{1}}_{313}\\{R^{2}}_{323}&={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {b^{2}-1}{b^{2}}}(r)\end{aligned}}}$$

خامساً، يمكننا خفض المؤشرات وتنظيم المكونات${\displaystyle R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}}$في مصفوفة $${\displaystyle {\begin{bmatrix}R_{0101}&R_{0102}&R_{0103}&R_{0123}&R_{0131}&R_{0112}\\R_{0201}&R_{0202}&R_{0203}&R_{0223}&R_{0231}&R_{0212}\\R_{0301}&R_{0302}&R_{0303}&R_{0323}&R_{0331}&R_{0312}\\R_{2301}&R_{2302}&R_{2303}&R_{2323}&R_{2331}&R_{2312}\\R_{3101}&R_{3102}&R_{3103}&R_{3123}&R_{3131}&R_{3112}\\R_{1201}&R_{1202}&R_{1203}&R_{1223}&R_{1231}&R_{1212}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}E&B\\B^{T}&L\end{bmatrix}}}$$ حيث E وL متناظرتان (ستة مكونات مستقلة خطيًا، بشكل عام) وB عديمة الأثر (ثمانية مكونات مستقلة خطيًا، بشكل عام)، والتي نعتبرها تمثل مؤثرًا خطيًا على فضاء متجهي سداسي الأبعاد ذي شكلين (عند كل حدث). ومن هذا يمكننا استنتاج تحليل Bel بالنسبة لحقل متجه الوحدة الزمني.${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}}$الموتر الكهروجاذبي هو $${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{11}={\frac {a''\,b-a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r),\;E[{\vec {X}}]_{22}=E[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {a'}{a\,b^{2}}}(r)}$$يتلاشى موتر المغناطيسية الجاذبية بشكل مماثل، وكذلك موتر التضاريس الجاذبية ، والذي منه (باستخدام حقيقة أن${\displaystyle {\vec {X}}}$(إذا كانت غير دورانية) يمكننا تحديد موتر ريمان ثلاثي الأبعاد للشرائح الفائقة المكانية، وهو $${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{11}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {1-b^{2}}{b^{2}}}(r),\;L[{\vec {X}}]_{22}=L[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {-b'}{b^{3}}}(r)}$$

كل هذا صحيح لأي متعدد شعب لورنتزي، لكننا نلاحظ أنه في النسبية العامة، يتحكم موتر الجاذبية الكهربائية في إجهادات المد والجزر على الأجسام الصغيرة، كما يقيسها المراقبون المقابلون لإطارنا، ويتحكم موتر الجاذبية المغناطيسية في أي قوى دوران-دوران على الأجسام الدوارة، كما يقيسها المراقبون المقابلون لإطارنا.

حقل الإطار المزدوج لحقل الإطار المشترك لدينا هو $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {e}}_{0}&={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}\\{\vec {e}}_{1}&={\frac {1}{b(r)}}\,\partial _{r}\\{\vec {e}}_{2}&={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }\\{\vec {e}}_{3}&={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }\end{aligned}}}$$ حقيقة أن العامل${\displaystyle {\frac {1}{b(r)}}}$إن ضرب أول حقل من حقول المتجهات المكانية المتعامدة الثلاثة هنا يعني أن مخططات شوارزشيلد ليست متناحية مكانيًا (باستثناء الحالة البسيطة لزمكان مسطح محليًا)؛ بل تظهر مخاريط الضوء إما مسطحة شعاعيًا أو مستطيلة شعاعيًا. وهذا، بالطبع، مجرد طريقة أخرى للقول إن مخططات شوارزشيلد تمثل المسافات داخل كل كرة دائرية متداخلة تمثيلًا صحيحًا، لكن الإحداثي القطري لا يمثل المسافة القطرية الحقيقية بدقة.

تتضمن بعض الأمثلة على الحلول الدقيقة التي يمكن الحصول عليها بهذه الطريقة ما يلي:

• المنطقة الخارجية لفراغ شوارزشيلد ،
• وينطبق الأمر نفسه على فراغ رايسنر-نوردستروم الكهربائي ، الذي يتضمن المثال السابق كحالة خاصة.
• وينطبق الأمر نفسه على جهاز ريسنر-نوردستروم-دي سيتر الكهرومغناطيسي الفراغي، والذي يتضمن المثال السابق كحالة خاصة.
• حل جانيس-نيومان-ويناكور (الذي يمثل الشكل الخارجي لجسم ثابت متناظر كرويًا مزود بحقل قياسي عديم الكتلة ومقترن بشكل طفيف )،
• النماذج النجمية التي تم الحصول عليها عن طريق مطابقة منطقة داخلية تمثل حلاً سائلاً مثالياً ثابتاً ومتماثلاً كروياً عبر موضع كروي للضغط المتلاشي مع منطقة خارجية متساوية القياس محلياً مع جزء من منطقة فراغ شوارزشيلد.

من الطبيعي النظر في الزمكانات غير الساكنة ولكنها متناظرة كرويًا، مع مخطط شوارزشيلد المعمم الذي يأخذ فيه المقياس الشكل التالي $${\displaystyle g=-a(t,r)^{2}\,dt^{2}+b(t,r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}-\infty &<t<\infty ,&\,r_{0}&<r<r_{1},\,\\0&<\theta <\pi ,&\,-\pi &<\phi <\pi \end{aligned}}}$$

وبالتعميم في اتجاه آخر، يمكننا استخدام أنظمة إحداثيات أخرى على كرتينا المستديرتين، للحصول على سبيل المثال على مخطط شوارزشيلد المجسم الذي يكون مفيدًا في بعض الأحيان: $${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}},\;{\begin{aligned}-\infty &<t,x,y<\infty ,\\r_{1}&<r<r_{2}\end{aligned}}}$$

• الزمكان الساكن ،
• الزمكان المتناظر كرويًا ،
• الموائع المثالية المتناظرة كرويًا الساكنة ،
• الإحداثيات المتناحية ، وهي مخطط شائع آخر للزمكانات الثابتة ذات التناظر الكروي،
• الإحداثيات القطبية الغاوسية ، وهي مخطط بديل أقل شيوعًا للزمكانات الثابتة المتناظرة كرويًا،
• إحداثيات غولستراند-بينليف ، وهي مخطط بسيط صالح داخل أفق الحدث لثقب أسود ثابت.
• حقول الإطار في النسبية العامة ، لمزيد من المعلومات حول حقول الإطار وحقول الإطار المشترك،
• تحليل بيل لموتر ريمان،
• التطابق (النسبية العامة) ، لمزيد من المعلومات حول التطابقات مثل${\displaystyle {\vec {X}}}$فوق،
• إحداثيات كروسكال-سيكيريس ، وهي مخطط يغطي كامل فضاء الزمكان لحل شوارزشيلد الممتد إلى أقصى حد، وتكون ذات سلوك جيد في كل مكان خارج التفرد الفيزيائي.
• إحداثيات إيدينجتون-فينكلشتاين ، مخطط بديل للزمكانات الثابتة المتناظرة كرويًا،
• إحداثيات لومتر ، وهي أقدم مخطط منتظم عند أفق الحدث.