دالة زيتا الأولية

عادةً ما يكون التكامل على دالة زيتا الأولية مثبتًا عند اللانهاية، لأن القطب عند${\displaystyle s=1}$يحظر تحديد حد أدنى جيد عند عدد صحيح محدود دون الدخول في نقاش حول قطع الفروع في المستوى المركب :

${\displaystyle \int _{s}^{\infty }P(t)\,dt=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}\log p}}}$

والقيم الجديرة بالملاحظة هي تلك التي تتقارب فيها المجاميع ببطء:

${\displaystyle s}$	القيمة التقريبية${\displaystyle \sum _{p}1/(p^{s}\log p)}$	OEIS
1	${\displaystyle 1.63661632\ldots }$	OEIS : A137245
2	${\displaystyle 0.50778218\ldots }$	OEIS : A221711
3	${\displaystyle 0.22120334\ldots }$
4	${\displaystyle 0.10266547\ldots }$

المشتق الأول هو

${\displaystyle P'(s)\equiv {\frac {d}{ds}}P(s)=-\sum _{p}{\frac {\log p}{p^{s}}}}$

القيم المهمة هي تلك التي تتقارب فيها المجاميع ببطء:

${\displaystyle s}$	القيمة التقريبية${\displaystyle P'(s)}$	OEIS
2	${\displaystyle -0.493091109\ldots }$	OEIS : A136271
3	${\displaystyle -0.150757555\ldots }$	OEIS : A303493
4	${\displaystyle -0.060607633\ldots }$	OEIS : A303494
5	${\displaystyle -0.026838601\ldots }$	OEIS : A303495

بما أن دالة زيتا لريمان هي مجموع قوى معكوسة على الأعداد الصحيحة، ودالة زيتا الأولية هي مجموع قوى معكوسة للأعداد الأولية، فإن${\displaystyle k}$الأعداد الأولية (الأعداد الصحيحة التي هي ناتج ضرب${\displaystyle k}$(ليست بالضرورة أعدادًا أولية متميزة) تحدد نوعًا من المجاميع الوسيطة:

${\displaystyle P_{k}(s)\equiv \sum _{n:\Omega (n)=k}{\frac {1}{n^{s}}},}$

أين${\displaystyle \Omega }$يمثل العدد الإجمالي للعوامل الأولية .

${\displaystyle k}$	${\displaystyle s}$	القيمة التقريبية${\displaystyle P_{k}(s)}$	OEIS
2	2	${\displaystyle 0.14076043434\ldots }$	OEIS : A117543
2	3	${\displaystyle 0.02380603347\ldots }$
3	2	${\displaystyle 0.03851619298\ldots }$	OEIS : A131653
3	3	${\displaystyle 0.00304936208\ldots }$

كل عدد صحيح في مقام دالة زيتا لريمان${\displaystyle \zeta }$يمكن تصنيفها حسب قيمة المؤشر ⁠${\displaystyle k}$، الذي يحلل دالة زيتا لريمان إلى مجموع لانهائي من${\displaystyle P_{k}}$⁠ :

${\displaystyle \zeta (s)=1+\sum _{k=1,2,\ldots }P_{k}(s)}$

بما أننا نعلم أن متسلسلة ديريشليه (في بعض المعاملات الرسمية )${\displaystyle u}$) يرضي

${\displaystyle P_{\Omega }(u,s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {u^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1-up^{-s}\right)^{-1},}$

يمكننا استخدام صيغ المتغيرات متعددة الحدود المتناظرة ذات الدالة المولدة من النوع الأيمن. أي أن لدينا المتطابقة المعاملية التي${\displaystyle P_{k}(s)=[u^{k}]P_{\Omega }(u,s)=h(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )}$عندما تتوافق التسلسلات مع${\displaystyle x_{j}:=j^{-s}\chi _{\mathbb {P} }(j)}$أين${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$يرمز إلى الدالة المميزة للأعداد الأولية . باستخدام متطابقات نيوتن ، لدينا صيغة عامة لهذه المجاميع معطاة بـ

${\displaystyle P_{n}(s)=\sum _{{k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n} \atop {k_{1},\ldots ,k_{n}\geq 0}}\left[\prod _{i=1}^{n}{\frac {P(is)^{k_{i}}}{k_{i}!\cdot i^{k_{i}}}}\right]=-[z^{n}]\log \left(1-\sum _{j\geq 1}{\frac {P(js)z^{j}}{j}}\right).}$

تشمل الحالات الخاصة التوسعات الصريحة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(s)&=P(s)\\P_{2}(s)&={\frac {1}{2}}\left(P(s)^{2}+P(2s)\right)\\P_{3}(s)&={\frac {1}{6}}\left(P(s)^{3}+3P(s)P(2s)+2P(3s)\right)\\P_{4}(s)&={\frac {1}{24}}\left(P(s)^{4}+6P(s)^{2}P(2s)+3P(2s)^{2}+8P(s)P(3s)+6P(4s)\right).\end{aligned}}}$

إن بناء المجموع ليس على جميع الأعداد الأولية ولكن فقط على الأعداد الأولية التي تنتمي إلى نفس فئة modulo يؤدي إلى أنواع أخرى من المتسلسلات اللانهائية التي تمثل اختزالًا لدالة Dirichlet L.