دالة ديريشليه L

في الرياضيات ، متسلسلة ديريشليه L هي دالة على الصورة

$${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$$

أين${\displaystyle \chi }$هو شخصية ديريشليه و${\displaystyle s}$متغير مركب جزء حقيقي منه أكبر من${\displaystyle 1}$إنها حالة خاصة من متسلسلة ديريشليه . وباستخدام الاستمرار التحليلي ، يمكن تمديدها إلى دالة ميرومورفية على المستوى العقدي بأكمله ؛ وتسمى حينها دالة ديريشليه L.

سُميت هذه الدوال نسبةً إلى بيتر غوستاف ليجون ديريشليه الذي قدمها عام 1837 ^{[ 1 ]} لإثبات نظريته حول الأعداد الأولية في المتتابعات الحسابية . في برهانه، أظهر ديريشليه أن${\displaystyle L(s,\chi )}$لا يساوي الصفر عند${\displaystyle s=1}$علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle \chi }$إذا كان رئيسيًا، فإن دالة ديريشليه L المقابلة لها قطب بسيط عند${\displaystyle s=1}$وإلا فإن دالة L تكون كاملة .

بما أن شخصية ديريشليه${\displaystyle \chi }$هي دالة ضربية بالكامل ، ويمكن كتابة دالة L الخاصة بها أيضًا كحاصل ضرب أويلر في نصف مستوى التقارب المطلق : $${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,}$$ حيث يكون الناتج على جميع الأعداد الأولية . ^{[ 2 ]}

غالبًا ما تُصاغ نتائج دوال L بشكل أبسط إذا افترضنا أن الخاصية أولية، على الرغم من إمكانية تعميم هذه النتائج على الخصائص غير الأولية مع بعض التعقيدات البسيطة. ^{[ 3 ]} ويعود ذلك إلى العلاقة بين الخاصية غير الأولية${\displaystyle \chi }$والطابع البدائي${\displaystyle \chi ^{\star }}$مما يحفزه: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n)&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1,\\\;\;\;0&\mathrm {otherwise} .\end{cases}}}$$ (هنا،${\displaystyle q}$هو معامل${\displaystyle \chi }$.) تطبيق ضرب أويلر يعطي علاقة بسيطة بين الدوال L المقابلة : ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right).}$$ وباستخدام الاستمرار التحليلي، فإن هذه الصيغة تنطبق على جميع الأعداد المركبة.${\displaystyle s}$، على الرغم من أن جداء أويلر لا يكون صالحًا إلا عندما${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$تُظهر الصيغة أن دالة L لـ${\displaystyle \chi }$يساوي دالة L للخاصية الأولية التي تحث${\displaystyle \chi }$مضروبًا في عدد محدود فقط من العوامل. ^{[ 7 ]}

كحالة خاصة، دالة L للخاصية الرئيسية${\displaystyle \chi _{0}}$modulo${\displaystyle q}$يمكن التعبير عنها بدلالة دالة زيتا لريمان : ^{[ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s}).}$$

تحقق دوال ديريشليه L معادلة دالية ، مما يوفر طريقة لتمديدها تحليليًا عبر المستوى المركب. تربط المعادلة الدالية قيم${\displaystyle L(s,\chi )}$إلى قيم${\displaystyle L(1-s,{\overline {\chi }})}$.

يترك${\displaystyle \chi }$كن حرفًا بدائيًا modulo${\displaystyle q}$، أين${\displaystyle q>1}$إحدى طرق التعبير عن المعادلة الوظيفية هي كما يلي ^{[ 10 ]}$${\displaystyle L(s,\chi )=W(\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+\delta )\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}),}$$ أين${\displaystyle \Gamma }$دالة غاما ،${\displaystyle \delta \in \{0,1\}}$بحيث${\displaystyle \chi (-1)=(-1)^{\delta }}$، و $${\displaystyle W(\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{\delta }{\sqrt {q}}}},}$$ أين${\displaystyle \tau (\chi )}$هو مجموع غاوس$${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{a=1}^{q}\chi (a)\exp(2\pi ia/q).}$$ من خصائص مجاميع غاوس أن${\displaystyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q}}}$، لذا${\displaystyle |W(\chi )|=1}$[ ^{11 ] [ 12 ] معادلة وظيفية} أخرى هي $${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=q^{s/2}\pi ^{-(s+\delta )/2}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {s+\delta }{2}}\right)L(s,\chi ),}$$ والتي يمكن التعبير عنها على النحو التالي ^{[ 10 ] [ 12 ]}$${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=W(\chi )\Lambda (1-s,{\overline {\chi }}).}$$

وهذا يعني أن${\displaystyle L(s,\chi )}$و${\displaystyle \Lambda (s,\chi )}$هي وظائف كاملة لـ${\displaystyle s}$ومرة أخرى، هذا يفترض أن${\displaystyle \chi }$هو حرف بدائي modulo${\displaystyle q}$مع${\displaystyle q>1}$. لو ${\displaystyle q=1}$، ثم${\displaystyle L(s,\chi )=\zeta (s)}$يوجد عمود في${\displaystyle s=1}$[ ^{10 ] [ 12 ]​}

للاطلاع على التعميمات، انظر المقالة المتعلقة بالمعادلات الوظيفية لدوال L.

يترك${\displaystyle \chi }$كن حرفًا بدائيًا modulo${\displaystyle q}$، مع${\displaystyle q>1}$.

لا توجد أصفار من${\displaystyle L(s,\chi )}$مع${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$. ل${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$توجد أصفار عند بعض الأعداد الصحيحة السالبة.${\displaystyle s}$:

• لو${\displaystyle \chi (-1)=1}$، الأصفار الوحيدة لـ${\displaystyle L(s,\chi )}$مع${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$هي أصفار بسيطة عند${\displaystyle -2,-4,-6,\dots }$يوجد أيضًا صفر في${\displaystyle s=0}$متى${\displaystyle \chi }$غير رئيسي. هذه تتوافق مع أقطاب${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s}{2}})}$[ ^{13 ]​}
• لو${\displaystyle \chi (-1)=-1}$ثم الأصفار الوحيدة لـ${\displaystyle L(s,\chi )}$مع${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$هي أصفار بسيطة عند${\displaystyle -1,-3,-5,\dots }$تتوافق هذه مع أقطاب${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s+1}{2}})}$[ ^{13 ]​}

تُسمى هذه الأصفار بالأصفار التافهة. ^{[ 10 ]}

تقع الأصفار المتبقية في الشريط الحرج${\displaystyle 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1}$وتُسمى هذه الأصفار بالأصفار غير التافهة. وتكون الأصفار غير التافهة متناظرة حول الخط الحرج.${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$أي إذا${\displaystyle L(\rho ,\chi )=0}$، ثم${\displaystyle L(1-{\overline {\rho }},\chi )=0}$وذلك أيضاً بسبب المعادلة الوظيفية. إذا${\displaystyle \chi }$إذا كان حرفًا حقيقيًا، فإن الأصفار غير التافهة تكون متناظرة أيضًا حول المحور الحقيقي، ولكن ليس إذا${\displaystyle \chi }$هي خاصية مركبة. فرضية ريمان المعممة هي التخمين بأن جميع الأصفار غير التافهة تقع على الخط الحرج${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$[ ^{10 ]​}

حتى إمكانية وجود صفر سيجل ، المناطق الخالية من الأصفار تشمل الخط وما وراءه${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1}$من المعروف أن دوال زيتا المشابهة لدالة ريمان موجودة لجميع دوال ديريشليه L : على سبيل المثال، بالنسبة لـ${\displaystyle \chi }$خاصية غير حقيقية للمعامل${\displaystyle q}$لدينا

$${\displaystyle \beta <1-{\frac {c}{\log \!\!\;{\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\ }$$

ل${\displaystyle \beta +i\gamma }$صفر غير حقيقي. ^{[ 14 ]}

يمكن كتابة دوال ديريشليه L كتركيبات خطية لدالة زيتا لهورويتز عند قيم نسبية. بتثبيت عدد صحيح${\displaystyle k\geq 1}$دوال ديريشليه L للأحرف modulo${\displaystyle k}$هي تركيبات خطية ذات معاملات ثابتة لـ${\displaystyle \zeta (s,a)}$أين${\displaystyle a=r/k}$و${\displaystyle r=1,2,\dots ,k}$وهذا يعني أن دالة زيتا لهرويتز للأعداد النسبية${\displaystyle a}$لها خصائص تحليلية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بدوال ديريشليه L. على وجه التحديد، إذا${\displaystyle \chi }$هو معامل حرفي${\displaystyle k}$، يمكننا كتابة دالة ديريشليه L الخاصة بها على النحو التالي ^{[ 15 ]}

$${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}\chi (r)\operatorname {\zeta } \left(s,{\frac {r}{k}}\right).}$$

• فرضية ريمان المعممة
• وظيفة L
• نظرية النمطية
• تخمين آرتين
• القيم الخاصة لدوال L

• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001  
• أبوستول، تي إم (2010)، "دالة ديريشليه L" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بوافير، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
• دافنبورت، هـ. (2000). نظرية الأعداد الضربية (  الطبعة الثالثة). سبرينغر. ISBN 0-387-95097-4.
• ديريشليت، PGL (1837). "Beweis des Satzes، dass jede unbegrenzte arithmetische Progression، deren erstes Glied and Differenz ganze Zahlen ohne Gemeinschaftlichen Factor sind، unendlich viele Primzahlen entält". أبهاند. أك. ويس. برلين . 48 .
• أيرلندا، كينيث؛ روزن، مايكل (1990). مقدمة كلاسيكية لنظرية الأعداد الحديثة (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ.
• مونتغمري، هيو ل .؛ فوغان، روبرت س. (2006). نظرية الأعداد الضربية. الجزء الأول: النظرية الكلاسيكية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  97. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-84903-6.
• إيوانيك، هنريك ؛ كوالسكي، إيمانويل (2004). نظرية الأعداد التحليلية . منشورات ندوة الجمعية الرياضية الأمريكية. المجلد  53. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية.
• "Dirichlet-L-function" ، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]