مجموع غاوس

في نظرية الأعداد الجبرية ، يُعد مجموع غاوس أو المجموع الغاوسي نوعًا خاصًا من المجموع المحدود لجذور الوحدة ، وعادةً ما يكون

${\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)}$

حيث يكون المجموع على العناصر r من حلقة تبديلية منتهية R ، وψ هو تشاكل زمر من الزمرة الجمعية R ⁺ إلى دائرة الوحدة ، و χ هو تشاكل زمر من زمرة الوحدة R ^× إلى دائرة الوحدة، ممتد إلى r غير الوحدة ، حيث يأخذ القيمة 0. مجاميع غاوس هي نظائر دالة غاما للحقول المنتهية . ^{[ 1 ]} 

تنتشر هذه المجاميع في نظرية الأعداد . وتظهر، على سبيل المثال، في المعادلات الدالية لدوال ديريشليه L ، حيث تتضمن المعادلة التي تربط L ( s , χ ) و L (1 − s , χ ) (حيث χ هو المرافق المركب لـ χ ) عاملاً لخاصية ديريشليه χ  

${\displaystyle {\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}.}$

كانت الحالة التي درسها كارل فريدريش غاوس في الأصل هي مجموع غاوس التربيعي ، حيث R ^{هو حقل البواقي بتردد عدد أولي p، وχ هو رمز ليجندر. في هذه الحالة، أثبت غاوس أن G(χ) = p 1/2} أو ip 1/2 عندما يكون p متطابقًا مع 1 أو ³ بتردد 4 على التوالي ( يمكن ^أيضًا حساب مجموع ^غاوس التربيعي ^عن طريق ^تحليل فورييه وكذلك عن طريق التكامل الكفافي ).

صيغة بديلة لمجموع غاوس هذا هي

${\displaystyle \sum e^{2\pi ir^{2}/p}}$.

ترتبط مجاميع جاوس التربيعية ارتباطًا وثيقًا بنظرية دوال ثيتا .

طُوِّرت النظرية العامة لمجاميع غاوس في أوائل القرن التاسع عشر، باستخدام مجاميع جاكوبي وتحليلها الأولي في الحقول الدائرية . مجاميع غاوس على حلقة البواقي للأعداد الصحيحة modulo N هي تراكيب خطية لمجاميع مترابطة ارتباطًا وثيقًا تسمى دورات غاوس .

عادةً ما تُحسب القيمة المطلقة لمجاميع غاوس بتطبيق نظرية بلانشيريل على الزمر المنتهية. في حالة كون R حقلاً ذا p عنصرًا و χ غير تافه، تكون القيمة المطلقة هي p ^{⁄ 2.} يُعدّ تحديد القيمة الدقيقة لمجاميع غاوس العامة، استنادًا إلى نتيجة غاوس في الحالة التربيعية، مسألةً عريقةً. للاطلاع على بعض الحالات، انظر ^مجموع كومر .

مجموع غاوس لخاصية ديريشليه بتردد N هو

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.}$

إذا كانت χ أولية أيضًا ، فإن

${\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {N}},}$

على وجه الخصوص، هي قيمة غير صفرية. وبشكل أعم، إذا كان _N₀ هو موصل χ و χ₀ هو المؤثر الأولي لـ Dirichlet modulo N₀ الذي يُحفز χ ، فإن مجموع غاوس لـ χ يرتبط بمجموع غاوس _لـ χ₀ بالعلاقة _{التالية :}

${\displaystyle G(\chi )=\mu \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\chi _{0}\left({\frac {N}{N_{0}}}\right)G\left(\chi _{0}\right)}$

حيث μ هي دالة موبيوس . وبالتالي، فإن _G ( χ ) لا تساوي الصفر تحديدًا عندما يكون N / N₀ خاليًا ^من المربعات وأوليًا نسبيًا مع N₀ _. ^{[ 2} ]

تشمل العلاقات الأخرى بين G ( χ ) ومجاميع غاوس للخصائص الأخرى ما يلي

${\displaystyle G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},}$

حيث χ هو المرافق المركب لخاصية ديريشليه، وإذا كانت χ ′ خاصية ديريشليه بتردد N ′ بحيث يكون N و N ′ أوليين فيما بينهما، فإن

${\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)=\chi \left(N^{\prime }\right)\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right).}$

يتم قياس العلاقة بين G ( χχ ′) و G ( χ ) و G ( χ ′) عندما تكون χ و χ ′ من نفس المعامل (و χχ ′ بدائية) يتم قياسها بواسطة مجموع جاكوبي J ( χ , χ ′) . خاصة،

${\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)={\frac {G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right)}{J\left(\chi ,\chi ^{\prime }\right)}}.}$

• يمكن استخدام مجاميع جاوس لإثبات التبادلية التربيعية والتبادلية التكعيبية والتبادلية الرباعية .
• يمكن استخدام مجاميع جاوس لحساب عدد حلول المعادلات متعددة الحدود على الحقول المنتهية، وبالتالي يمكن استخدامها لحساب دوال زيتا معينة.

• مجموع جاوس التربيعي
• مجموع غاوس الإهليلجي
• جاكوبي سوم
• كومر سوم
• Kloosterman sum
• الفترة الغاوسية
• علاقة هاس-دافنبورت
• نظرية تشاولا-مورديل
• نظرية ستيكلبرجر

• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001  
• بيرندت، بي سي ؛ إيفانز، آر جيه؛ ويليامز، كيه إس (1998). مجاميع جاوس وجاكوبي . سلسلة الدراسات والنصوص المتقدمة للجمعية الرياضية الكندية. وايلي. ISBN 0-471-12807-4. Zbl 0906.11001 . 
• أيرلندا، كينيث؛ روزن، مايكل (1990). مقدمة كلاسيكية لنظرية الأعداد الحديثة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  84 (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-97329-X. Zbl 0712.11001 . 
• القسم 3.4 من كتاب إيوانيك، هنريك ؛ كوالسكي، إيمانويل (2004)، نظرية الأعداد التحليلية ، منشورات ندوة الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد 53، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN  978-0-8218-3633-0، MR 2061214 ، Zbl 1059.11001