Kloosterman sum

في الرياضيات ، يُعدّ مجموع كلوسترمان نوعًا خاصًا من المجاميع الأسية . سُمّي هذا المجموع نسبةً إلى عالم الرياضيات الهولندي هندريك كلوسترمان ، الذي قدّمه عام 1926 ^{[ 1 ]} عندما عدّل طريقة هاردي-ليتلوود الدائرية لمعالجة مسألة تتضمن أشكالًا تربيعية قطرية موجبة التحديد في أربعة متغيرات، مما عزز بحثه في أطروحته عام 1924 حول خمسة متغيرات أو أكثر. ^{[ 2 ]}

لتكن a و b و m أعدادًا طبيعية .

${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{\stackrel {0\leq x\leq m-1}{\gcd(x,m)=1}}e^{{\frac {2\pi i}{m}}(ax+bx^{*})}.}$

هنا x* هو معكوس x modulo m .

تُعدّ مجاميع كلوسترمان نظيراً لدوال بيسل في الحلقات المنتهية . وتظهر (على سبيل المثال) في متسلسلة فورييه للأشكال النمطية .

هناك تطبيقات للقيم المتوسطة التي تتضمن دالة زيتا لريمان ، والأعداد الأولية في فترات قصيرة، والأعداد الأولية في المتتابعات الحسابية، والنظرية الطيفية للدوال التلقائية والمواضيع ذات الصلة.

• إذا كانت a = 0 أو b = 0 فإن مجموع كلوسترمان يختزل إلى مجموع رامانوجان .
• تعتمد قيمة K ( a , b ; m ) فقط على فئة الباقي لـ a و b بتردد m . علاوة على ذلك، فإن K ( a , b ; m ) = K ( b , a ; m ) و K ( ac , b ; m ) = K ( a , bc ; m ) إذا كان القاسم المشترك الأكبر لـ c و m يساوي 1 .
• ليكن m = m₁m₂ حيث m₁ و m₂ _عددان أوليان _{فيما بينهما} . اختر n₁ و n₂ بحيث _يكون n₁m₁ ≡ 1 mod _{m₂ و} n₂m₂ ≡ ₁ mod _{m₁ .} عندئذٍ_​​​_​

${\displaystyle K(a,b;m)=K\left(n_{2}a,n_{2}b;m_{1}\right)K\left(n_{1}a,n_{1}b;m_{2}\right).}$

يؤدي هذا إلى اختزال تقييم مجاميع كلوسترمان إلى الحالة التي يكون فيها m = p ^k لعدد أولي p وعدد صحيح k ≥ 1 .

• قيمة K ( a , b ; m ) هي دائمًا عدد حقيقي جبري . في الواقع، K ( a , b ; m ) هو عنصر من الحقل الجزئي${\displaystyle K\subset \mathbb {R} }$وهو مزيج من الحقول

${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p^{\alpha }}+\zeta _{p^{\alpha }}^{-1}\right)}$

حيث يتراوح p على جميع الأعداد الأولية الفردية بحيث يكون p ^α || m و

${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{2^{\alpha -1}}+\zeta _{2^{\alpha -1}}^{-1}\right)}$

لـ 2 ^α || m مع α > 3 .

• هوية سيلبرغ:

${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{d\mid \gcd(a,b,m)}d\cdot K\left({\tfrac {ab}{d^{2}}},1;{\tfrac {m}{d}}\right).}$

وقد ذكرها أتلي سيلبرغ وأثبتها كوزنيتسوف لأول مرة باستخدام النظرية الطيفية للأشكال النمطية . وفي الوقت الحاضر، تُعرف براهين أولية لهذه المتطابقة. ^{[ 3 ]}

• بالنسبة لعدد أولي فردي p ، لا توجد صيغة بسيطة معروفة لـ K ( a , b ; p ) ، وتشير حدسية ساتو-تيت إلى عدم وجودها. مع ذلك، فإن صيغ الرفع المذكورة أدناه غالبًا ما تكون جيدة كالحساب الصريح. إذا كان القاسم المشترك الأكبر لـ a و p يساوي 1، فإنه يتوفر أيضًا التحويل المهم التالي:

${\displaystyle K(a,a;p)=\sum _{m=0}^{p-1}\left({\frac {m^{2}-4a^{2}}{p}}\right)e^{\frac {2\pi im}{p}},}$

أين${\displaystyle \left({\tfrac {\ell }{m}}\right)}$يرمز إلى رمز جاكوبي .

• لنفترض أن m = p ^k حيث k > 1، و p عدد أولي، ولنفترض أن القاسم المشترك الأكبر ( p ، 2ab ) = 1. إذن:

${\displaystyle K(a,b;m)={\begin{cases}2\left({\frac {\ell }{m}}\right){\sqrt {m}}{\text{ Re}}\left(\varepsilon _{m}e^{\frac {4\pi i\ell }{m}}\right)&\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {b}{p}}\right)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

حيث يتم اختيار ℓ بحيث يكون ℓ ² ≡ ab mod m ويتم تعريف ε _m على النحو التالي (لاحظ أن m فردي):

${\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&m\equiv 1{\bmod {4}}\\i&m\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

تم اكتشاف هذه الصيغة لأول مرة بواسطة هانز سالي ^{[ 4 ]} وهناك العديد من البراهين البسيطة في المراجع. ^{[ 5 ]}

بما أن مجاميع كلوسترمان تظهر في متسلسلة فورييه للأشكال النمطية، فإن تقديرات مجاميع كلوسترمان تُعطي تقديرات لمعاملات فورييه للأشكال النمطية أيضًا. وأشهر هذه التقديرات يعود إلى أندريه ويل، وينص على ما يلي:

${\displaystyle |K(a,b;m)|\leq \tau (m){\sqrt {\gcd(a,b,m)}}{\sqrt {m}}.}$

هنا${\displaystyle \tau (m)}$يمثل عدد القواسم الموجبة للعدد m . وبسبب الخصائص الضربية لمجاميع كلوسترمان، يمكن اختزال هذه التقديرات إلى الحالة التي يكون فيها m عددًا أوليًا p . وتُختزل التقديرات باستخدام تقنية أساسية لـ ويل.

${\displaystyle |K(a,b;p)|\leq 2{\sqrt {p}},}$

عندما يكون ab ≠ 0، فإن نتائجه المتعلقة بدوال زيتا المحلية تنطبق هنا . هندسيًا، يُؤخذ المجموع على طول "قطع زائد" XY = ab ، ونعتبر هذا بمثابة تعريف لمنحنى جبري فوق الحقل المنتهي ذي p عنصرًا. يمتلك هذا المنحنى غطاءً متفرعًا من نوع آرتن-شراير C ، وقد أثبت ويل أن دالة زيتا المحلية لـ C قابلة للتحليل إلى عوامل؛ هذه هي نظرية دالة آرتن L لحالة الحقول الشاملة التي هي حقول دوال، والتي يستشهد ويل فيها بورقة بحثية لج. فايسينجر نُشرت عام 1938 (وفي العام التالي، استشهد بورقة بحثية لهاس نُشرت عام 1935 كمرجع سابق للفكرة؛ ونظرًا لملاحظة ويل الانتقاصية نوعًا ما حول قدرات علماء نظرية الأعداد التحليلية على حل هذا المثال بأنفسهم، في أوراقه البحثية المجمعة ، فمن المفترض أن هذه الأفكار كانت "معتقدات شائعة" راسخة منذ زمن طويل). العوامل غير القطبية من النوع 1 − Kt ، حيث K هو مجموع كلوسترمان. ويستند التقدير بعد ذلك إلى العمل الأساسي الذي قام به ويل عام 1940.

تُظهر هذه التقنية في الواقع بشكل عام أن المجاميع الأسية الكاملة "على طول" الأصناف الجبرية لها تقديرات جيدة، اعتمادًا على تخمينات ويل في البعد > 1. وقد تم تطويرها إلى أبعد من ذلك بكثير بواسطة بيير ديلين ، وجيرار لومون ، ونيكولاس كاتز .

تُعرَّف مجاميع كلوسترمان القصيرة بأنها مجاميع مثلثية من الشكل

${\displaystyle \sum _{n\in A}\exp \left(2\pi i{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right),}$

حيث يمثل n مجموعة من الأعداد A ، وهو عدد أولي نسبيًا بالنسبة إلى m ، وهو عدد العناصر${\displaystyle \|A\|}$حيث يكون أصغر من m بشكل أساسي ، والرمز${\displaystyle n^{*}}$يشير إلى فئة التطابق، معكوس n modulo m :${\displaystyle nn^{*}\equiv 1{\bmod {m}}.}$

حتى أوائل التسعينيات، كانت تقديرات المجاميع من هذا النوع معروفة بشكل رئيسي في حالة كون عدد الحدود أكبر من √m . وقد نُسبت هذه التقديرات إلى كل من إتش دي كلوسترمان ، وآي إم فينوغرادوف ، وإتش سالي، وإل كارليتز ، وإس أوتشياما، وإيه ويل . وكانت الاستثناءات الوحيدة هي الوحدات الخاصة من الشكل m = p ^α ، حيث p عدد أولي ثابت، ويتزايد الأس α إلى ما لا نهاية (وقد درس هذه الحالة إيه جي بوستنيكوف باستخدام طريقة إيفان ماتفييفيتش فينوغرادوف ).

في تسعينيات القرن العشرين، طوّر أناتولي أليكسيفيتش كاراتسوبا ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} طريقة جديدة لتقدير مجاميع كلوسترمان القصيرة. تُمكّن طريقة كاراتسوبا من تقدير مجاميع كلوسترمان التي لا يتجاوز عدد حدودها [6] حدًا.${\displaystyle m^{\varepsilon }}$وفي بعض الحالات حتى${\displaystyle \exp\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}}$، أين${\displaystyle \varepsilon >0}$هو عدد ثابت صغير بشكل تعسفي. نُشرت آخر ورقة بحثية لـ أ. أ. كاراتسوبا حول هذا الموضوع ^{[ 9 ] بعد وفاته.}

وجدت جوانب مختلفة من طريقة كاراتسوبا تطبيقات في حل المشكلات التالية في نظرية الأعداد التحليلية :

• إيجاد السلوك التقاربي لمجموع الأجزاء الكسرية من الشكل التالي:

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},{\sum _{p\leq x}}'\left\{{\frac {ap^{*}+bp}{m}}\right\},}$

حيث يمر n ، واحداً تلو الآخر، عبر الأعداد الصحيحة التي تحقق الشرط${\displaystyle (n,m)=1}$، و p يمر عبر الأعداد الأولية التي لا تقسم المعيار m (AAKaratsuba)؛

• إيجاد الحد الأدنى لعدد حلول المتباينات من الشكل التالي:

${\displaystyle \alpha <\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\}\leq \beta }$

في الأعداد الصحيحة n ، 1 ≤ n ≤ x ، الأولية فيما بينها مع m ،${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$(أأ كاراتسوبا)؛

• دقة تقريب عدد حقيقي عشوائي في القطاع [0، 1] بواسطة أجزاء كسرية من الشكل التالي:

${\displaystyle \left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},}$

أين${\displaystyle 1\leq n\leq x,(n,m)=1,x<{\sqrt {m}}}$(أأ كاراتسوبا)؛

• ثابت أكثر دقة c في نظرية برون-تيتشمارش  :

${\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}$

أين${\displaystyle \pi (x;q,l)}$يمثل عدد الأعداد الأولية p ، التي لا تتجاوز x وتنتمي إلى المتتابعة الحسابية.${\displaystyle p\equiv l{\bmod {q}}}$( ج. فريدلاندر ، ه. إيوانيك )؛

• حد أدنى لأكبر قاسم أولي لحاصل ضرب أعداد من الشكل: n ³ + 2، N < n ≤ 2 N .( DR Heath-Brown );
• إثبات أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية على الشكل: a ² + b ⁴ .( J. Friedlander , H. Iwaniec );
• الخصائص التوافقية لمجموعة الأعداد (AAGlibichuk):

${\displaystyle n^{*}{\bmod {m}},1\leq n\leq m^{\varepsilon }.}$

على الرغم من أنه لا يمكن حساب مجاميع كلوسترمان بشكل عام، إلا أنه يمكن "رفعها" إلى حقول عددية جبرية، مما ينتج عنه غالبًا صيغ أكثر ملاءمة.${\displaystyle \tau }$ليكن عددًا صحيحًا خاليًا من المربعات مع${\displaystyle \gcd(\tau ,m)=1.}$لنفترض أنه لأي عامل أولي p للعدد m لدينا

${\displaystyle \left({\frac {\tau }{p}}\right)=-1.}$

ثم لكل عددين صحيحين a و b أوليين فيما بينهما مع m، لدينا

${\displaystyle K(a,b;m)=(-1)^{\Omega (m)}\sum _{\stackrel {v,w{\bmod {m}}}{v^{2}-\tau w^{2}\equiv ab{\bmod {m}}}}e^{\frac {4\pi iv}{m}}.}$

هنا ، Ω( m ) هو عدد العوامل الأولية للعدد m مع مراعاة التكرار. ويمكن إعادة تفسير المجموع على اليمين على أنه مجموع على الأعداد الصحيحة الجبرية في الحقل${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\tau }}).}$هذه الصيغة من ابتكار يانغبو يي، مستوحاة من دون زاغير، وامتدادًا لعمل هيرفيه جاكيه ويي على صيغة الأثر النسبي لـ GL(2) . ^{[ 10 ]} في الواقع، يمكن استخلاص مجاميع أسية أكثر عمومية. ^{[ 11 ]}

تربط صيغة كوزنتسوف أو صيغة الأثر النسبي مجاميع كلوسترمان على مستوى عميق بنظرية الطيف للأشكال التلقائية . في الأصل، كان من الممكن صياغة ذلك على النحو التالي. ليكن${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$إذا كانت دالة " جيدة السلوك " بدرجة كافية، فإن المرء يسمي متطابقات من النوع التالي صيغة أثر كوزنتسوف :

${\displaystyle \sum _{c\equiv 0{\bmod {N}}}c^{-r}K(m,n,c)g\left({\frac {4\pi {\sqrt {mn}}}{c}}\right)={\text{ Integral transform }}\ +\ {\text{ Spectral terms}}.}$

الجزء التحويلي التكاملي هو تحويل تكاملي للدالة g ، أما الجزء الطيفي فهو مجموع معاملات فورييه، مأخوذة على فضاءات الأشكال النمطية الهولومورفية وغير الهولومورفية الملتوية بتحويل تكاملي للدالة g . وقد اكتشف كوزنتسوف صيغة الأثر أثناء دراسته لنمو الدوال الذاتية الوزن الصفري. ^{[ 12 ]} وباستخدام تقديرات على مجاميع كلوسترمان، تمكن من اشتقاق تقديرات لمعاملات فورييه للأشكال النمطية في الحالات التي لم يكن فيها برهان بيير ديلين لتخمينات ويل قابلاً للتطبيق.

وقد ترجمها جاكيه لاحقًا إلى إطار نظري تمثيلي . ليكن G زمرة اختزالية على حقل عددي F و${\displaystyle H\subset G}$لتكن مجموعة فرعية. بينما تدرس صيغة الأثر المعتادة التحليل التوافقي على G ، فإن صيغة الأثر النسبي هي أداة لدراسة التحليل التوافقي على الفضاء المتناظر G / H . للاطلاع على نظرة عامة والعديد من التطبيقات، انظر المراجع. ^{[ 13 ]}

يمكن الآن دراسة تقدير ويل في كتاب دبليو إم شميدت ، المعادلات على الحقول المنتهية: مدخل تمهيدي ، الطبعة الثانية (كيندريك برس، 2004). تعود الأفكار الأساسية هنا إلى إس. ستيبانوف ، وهي مستوحاة من عمل أكسل ثو في التقريب الديوفانتي .

توجد صلات عديدة بين مجاميع كلوسترمان والأشكال النمطية . في الواقع، ظهرت هذه المجاميع لأول مرة (بدون الاسم) في ورقة بحثية لهنري بوانكاريه عام 1912 حول الأشكال النمطية. وقدّم هانز سالي شكلاً من أشكال مجاميع كلوسترمان مُعدّلاً بواسطة خاصية ديريشليه : ^{[ 14 ]} تتميز مجاميع سالي هذه بتقييم أولي. ^{[ 4 ]}

بعد اكتشاف كوزنتسوف في عام 1979 لصيغ مهمة تربط مجاميع كلوسترمان بالأشكال النمطية غير الهولومورفية ، والتي تضمنت بعض "الوفورات في المتوسط" مقارنةً بتقدير الجذر التربيعي، شهدنا تطورات إضافية من قِبل إيوانيك وديشوييه في ورقة بحثية رائدة نُشرت في مجلة Inventiones Mathematicae (1982). وقد طُورت تطبيقات لاحقة في نظرية الأعداد التحليلية من قِبل عدد من المؤلفين، ولا سيما بومبيري ، وفوفري، وفريدلاندر ، وإيوانيك.

لا يزال هذا المجال صعب الفهم إلى حد ما. يُقدّم كتاب "مجاميع كلوسترمان وأشكال ماس" (المجلد الأول، دار نشر كيندريك، 2003) مقدمةً تفصيليةً لنظرية الأطياف اللازمة لفهم صيغ كوزنتسوف. كما يُعدّ كتاب "إيوانيك وكوالسكي " (2004) مرجعًا هامًا للطلاب والباحثين المهتمين بهذا المجال .

استخدم ييتانغ تشانغ مجاميع كلوسترمان في برهانه على وجود فجوات محدودة بين الأعداد الأولية. ^{[ 15 ]}

• هاس مقيد

• أرخيبوف، جي. تشوباريكوف ، ف.ن. كاراتسوبا، أأ (2004). المجاميع المثلثية في نظرية الأعداد وتحليلها . معارض دي جرويتر في الرياضيات. المجلد.  39. برلين – نيويورك: والتر دي جرويتر. رقم ISBN 3-11-016266-0. Zbl 1074.11043 . 
• إيوانيك، هنريك ؛ كوالسكي، إيمانويل (2004). نظرية الأعداد التحليلية . منشورات كولكيوم. المجلد  53. الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 0-8218-3633-1. Zbl 1059.11001 . 
• ليدل، رودولف؛ نيدررايتر، هارالد (1997). الحقول المنتهية . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  20 (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069 . 
• ويل، أندريه (1948). " حول بعض المجاميع الأسية" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 34 (5 ) : 204-207 . Bibcode : 1948PNAS...34..204W . doi : 10.1073/pnas.34.5.204 . PMC 1079093. PMID 16578290. Zbl 0032.26102 .   

• وايسستين، إريك دبليو. “مبلغ كلوسترمان” . عالم الرياضيات .
• مجموع كلوسترمان . بلانيت ماث .
• "موسوعة بومبيري-ويل للرياضيات" . encyclopediaofmath.org .