شكل معياري

في نظرية الأعداد والتحليل المركب ، يُعدّ الشكل النمطي نوعًا من الدوال لمتغير عددي مركب يتميز بدرجة عالية من التناظر. وكما هو الحال في الدالة الدورية لمتغير حقيقي، يتكرر الشكل النمطي أو يتحول بطريقة معينة عند إخضاع وسيطه لتحويل محدد. وعلى عكس الدالة الدورية العادية، تشمل تناظراته تحويلات مثل استبدال العدد المركب $z$ بـ $-1/ z$ ، ولا يمثل قانون التحويل تناظرًا تامًا للدالة، بل هو أقرب إلى قانون تحويل الدالة شبه الدورية : إذ تكتسب الدالة عاملًا إضافيًا، تبعًا للتحويل. تُشكّل الأشكال النمطية جسرًا هامًا بين التحليل المركب ونظرية الأعداد والهندسة . كما تظهر الأشكال النمطية في مجالات أخرى ، مثل الطوبولوجيا الجبرية ، وتعبئة الكرات ، ونظرية الأوتار .

بتعبير أدق، الشكل النمطي هو دالة تحليلية على النصف العلوي من المستوى المركب، تحقق تقريبًا معادلة دالية بالنسبة لتأثير المجموعة النمطية وشرط نمو. يُعد الشكل النمطي حالة خاصة من الشكل التلقائي ، وهي دوال معرفة على زمر لي تتحول بسلاسة بالنسبة لتأثير زمر فرعية منفصلة معينة ، مما يُعمم مثال المجموعة النمطية. $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ .

يُنسب مصطلح "الشكل النمطي" ، بوصفه وصفًا منهجيًا، عادةً إلى إريك هيكه . وقد تم التعبير عن أهمية الأشكال النمطية في مختلف مجالات الرياضيات بطريقة فكاهية في اقتباس يُحتمل أن يكون غير موثق، يُنسب إلى مارتن إيخلر، يصف فيه الأشكال النمطية بأنها العملية الأساسية الخامسة في الرياضيات، بعد الجمع والطرح والضرب والقسمة. ^{[ 1 ]}

تعريف

بشكل عام، ^{[ 2 ]} بالنظر إلى مجموعة جزئية $\Gamma <{\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ذات دليل محدود (تسمى المجموعة الحسابية )، شكل نمطي من المستوى $\Gamma$ والوزن $k$ هي دالة هولومورفية $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ من النصف العلوي للمستوى ${\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} |\Im z>0\}$ بشرط استيفاء الشرطين التاليين:

شرط التماثل الذاتي : لأي $\gamma \in \Gamma$ لدينا $f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)$ ، ^{[ ملاحظة 1 ]} و

حالة النمو : لأي $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ، الوظيفة $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))$ محدود بـ ${\text{im}}(z)\to \infty$ .

بالإضافة إلى ذلك، يُطلق على الشكل المعياري اسم شكل ذي قمة حادة إذا استوفى شرط النمو التالي:

حالة الحدبة : لأي $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ لدينا $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0$ مثل ${\text{im}}(z)\to \infty$ .

لاحظ أن $\gamma$ هي مصفوفة

{\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ),}

تم تحديدها بالوظيفة ${\textstyle \gamma (z)=(az+b)/(cz+d)}$ إن تعريف الدوال بالمصفوفات يجعل تركيب الدوال مكافئًا لضرب المصفوفات.

الأشكال النمطية لـ SL(2, Z)

شكل معياري للوزن $k$ بالنسبة للمجموعة المعيارية

{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\ ad-bc=1\right\}

هي دالة $f$ في النصف العلوي من المستوى ${\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}$ استيفاء الشروط الثلاثة التالية:

$f$ هو هولومورفي على ${\mathcal {H}}$ .
لأي $z\in {\mathcal {H}}$ وأي مصفوفة في ${\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )$ لدينا
$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$ .
$f$ محدد بـ $\operatorname {Im} (z)\to \infty$ .

ملاحظات:

الوزن $k$ وهو عادةً عدد صحيح موجب.
للفردي $k$ ، فقط الدالة الصفرية يمكنها تلبية الشرط الثاني.
الشرط الثالث يُصاغ أيضاً بالقول إن $f$ هي "هولومورفية عند الحد الفاصل"، وهو مصطلح سيتم شرحه أدناه. وبشكل أكثر تحديدًا، تعني هذه الحالة وجود شيء ما $M,D>0$ بحيث $\operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D$ ، معنى $f$ يحدها خط أفقي ما.
الشرط الثاني لـ

S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

يقرأ

f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)

على التوالي. بما أن

S

و

T

إنشاء المجموعة

{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )

الشرط الثاني أعلاه يعادل هاتين المعادلتين.

منذ $f(z+1)=f(z)$ ، الأشكال النمطية هي دوال دورية ذات دورة $1$ ، وبالتالي لها متسلسلة فورييه .

تفسير الشبكة والمنحنى الإهليلجي

يمكن تعريف الشكل النمطي بشكل مكافئ على أنه دالة $F$ من مجموعة الشبكات في $C$ إلى مجموعة الأعداد المركبة التي تحقق شروطًا معينة:

إذا اعتبرنا الشبكة $Λ = Z α + Z z$ المتولدة بواسطة ثابت $α$ ومتغير $z$ ، فإن $F (Λ)$ هي دالة تحليلية لـ $z$ .
إذا كان $α$ عددًا مركبًا غير صفري و $α Λ$ هي الشبكة التي تم الحصول عليها بضرب كل عنصر من $Λ$ في $α$ ، فإن $F (α Λ) = α - k F (Λ)$ حيث $k$ ثابت (عادة ما يكون عددًا صحيحًا موجبًا) يسمى وزن الشكل.
تظل القيمة المطلقة لـ $F (Λ)$ محدودة من الأعلى طالما أن القيمة المطلقة لأصغر عنصر غير صفري في $Λ$ محدودة بعيدًا عن 0.

الفكرة الأساسية في إثبات تكافؤ التعريفين هي أن مثل هذه الدالة $F$ يتم تحديدها، بسبب الشرط الثاني، من خلال قيمها على الشبكات من الشكل $Z + Z τ$ ، حيث $τ \in H.$

أمثلة

سلسلة آيزنشتاين

أبسط الأمثلة من هذه الزاوية هي متسلسلة أيزنشتاين . لكل عدد صحيح زوجي $k > 2$ ، نُعرّف $G k (Λ)$ على أنها مجموع $λ - k$ على جميع المتجهات غير الصفرية $λ$ من $Λ$ :

G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.

إذن $، G k$ هي صيغة نمطية ذات وزن $k$ . بالنسبة $لـ Λ = Z + Z τ$ ، لدينا

G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},

و

{\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}

الشرط $k > 2$ ضروري للتقارب ؛ بالنسبة لـ $k$ الفردي، هناك إلغاء بين $λ - k$ و $(- λ) - k$ ، بحيث تكون هذه السلسلة صفرًا بشكل متطابق.

ثانيًا: دوال ثيتا للشبكات أحادية المعامل الزوجية

الشبكة أحادية المعامل الزوجية $L$ في $Rⁿ$ هي شبكة مولدة بواسطة $n$ متجهات تشكل أعمدة مصفوفة محددة بـ 1، وتحقق الشرط التالي: مربع طول كل متجه في $L$ هو عدد صحيح زوجي. تُعرف هذه الشبكة باسم دالة ثيتا $.$

\vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}

يتقارب عندما يكون الجزء التخيلي من z أكبر من الصفر، ونتيجةً لصيغة جمع بواسون، يمكن إثبات أنه شكل نمطي من الوزن $n /2$ . ليس من السهل إنشاء شبكات أحادية النمط، ولكن إليك إحدى الطرق: ليكن $n$ عددًا صحيحًا يقبل القسمة على 8، ولنعتبر جميع المتجهات $v$ $في$ Rⁿ $بحيث$ يكون $لـ 2v$ $إحداثيات$ صحيحة، إما جميعها زوجية أو جميعها فردية، وبحيث يكون مجموع إحداثيات $v$ عددًا زوجيًا. نسمي هذه الشبكة $Lⁿ .$ عندما $n = 8$ ، تكون هذه هي الشبكة المولدة من جذور نظام الجذور المسمى E⁸ _. ولأنه لا يوجد سوى شكل نمطي واحد من الوزن 8 حتى الضرب القياسي،

\vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),

على الرغم من أن الشبكتين $L 8 \times L 8$ و $L 16$ غير متشابهتين، فقد لاحظ جون ميلنور أن الأسطح الحلقية ذات الأبعاد الستة عشر الناتجة عن قسمة $R 16$ على هاتين الشبكتين هي بالتالي أمثلة على مشعبات ريمانية متراصة متساوية الطيف ولكنها ليست متساوية القياس (انظر: سماع شكل الطبل ).

ثالثًا: المميز المعياري

تُعرَّف دالة إيتا ديديكيند على النحو التالي :

\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.

حيث q هو مربع الاسم . ثم المميز المعياري المعياري

\Delta (z)=\eta (z)^{24}=q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{24}

هي دالة ذات شكل مدبب بوزن 12. يرتبط وجود 24 بحقيقة أن شبكة ليتش لها 24 بُعدًا. نصّت حدسية رامانوجان الشهيرة على أنه عند توسيع $Δ($ $z$ $)$ كمتسلسلة قوى في q، فإن معامل qp $لأي$ عدد أولي $p$ $له$ قيمة مطلقة $\leq 2p$ $/$ $11/2$ . وقد تأكدت هذه الحدسية من خلال أعمال إيخلر ، وشيمورا ، وكوغا ، وإيهارا ، وبيير ديلين ، نتيجةً لإثبات ديلين لحدسيات ويل ، والتي تبين أنها تستلزم حدسية رامانوجان.

يُقدّم المثالان الثاني والثالث لمحةً عن العلاقة بين الأشكال النمطية والمسائل الكلاسيكية في نظرية الأعداد، مثل تمثيل الأعداد الصحيحة بالأشكال التربيعية ودالة التقسيم . ويُوفّر الرابط المفاهيمي الأساسي بين الأشكال النمطية ونظرية الأعداد نظرية مؤثرات هيك ، التي تُقدّم بدورها الرابط بين نظرية الأشكال النمطية ونظرية التمثيل .

وظائف معيارية

الدالة النمطية هي دالة ثابتة بالنسبة للمجموعة النمطية، ولكن دون اشتراط أن تكون تامة الشكل في النصف العلوي من المستوى المركب (من بين شروط أخرى). بدلاً من ذلك، الدالة النمطية لمجموعة فرعية ذات فهرس محدود هي دالة ثابتة بالنسبة لمجموعة فرعية ذات فهرس محدود. $\Gamma$ تُعدّ دالة ميرومورفية على النصف العلوي من المستوى، من المجموعة النمطية، ثابتة تحت تأثيرها. $\Gamma$ وهي دالة ميرومورفية عند نقاط الانعطاف. أو بعبارة أخرى، هي دالة ميرومورفية على المنحنى المعياري المضغوط المرتبط بـ $\Gamma$ .

بالنسبة للمجموعة النمطية الكاملة، تكون الدالة النمطية ثابتة تحت تحويلات المجموعة النمطية ولها توسع ميرومورفي عند الحدبة $i\infty$ . من ناحية $q=\exp(2\pi iz)$ وهذا يعني أن توسيعها $q$ يحتوي فقط على عدد محدود من الحدود ذات القوى السالبة.

عندما يكون الوزن $k$ صفرًا، يمكن إثبات، باستخدام نظرية ليوفيل، أن الأشكال النمطية الوحيدة هي الدوال الثابتة. مع ذلك، فإن تخفيف شرط كون $f$ دالة تحليلية يؤدي إلى مفهوم الدوال النمطية . تُسمى الدالة $f : H \to C نمطية إذا حققت الخصائص التالية:$

الدالة $f$ ميرومورفية في نصف المستوى العلوي المفتوح $H$
لكل مصفوفة عددية صحيحة ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ في المجموعة النمطية $Γ$ ، $f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)$ .
الشرط الثاني يعني أن الدالة $f$ دورية، وبالتالي لها متسلسلة فورييه . الشرط الثالث هو أن تكون هذه المتسلسلة على الصورة التالية:

f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.

غالباً ما يُكتب من حيث $q=\exp(2\pi iz)$ (مربع الاسم ) ، كما يلي:

f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.

يُشار إلى هذا أيضًا باسم توسيع q للدالة $f$ . المعاملات $a_{n}$ تُعرف هذه بمعاملات فورييه للدالة $f$ ، ويُسمى العدد $m$ رتبة قطب $f$ عند $i \infty$ . يُطلق على هذه الحالة اسم "التماثل عند الحد"، مما يعني أن عددًا محدودًا فقط من المعاملات السالبة n غير صفرية، وبالتالي فإن توسيع q محدود من الأسفل، مما يضمن أنه ميرومورفي عند $q = 0.$ ^{[ ملاحظة 2 ]}

بالنسبة للمجموعات الفرعية ذات الدليل المحدود، يتم التعبير عن الفكرة نفسها باشتراط خاصية التماثل عند كل نقطة تقاطع للمجموعة الفرعية. يسمح هذا الشرط باعتبار الدالة متماثلة على المنحنى المعياري المضغوط المقابل. ^{[ 3 ]}

يمكن صياغة تعريف الدوال النمطية بطريقة أخرى باستخدام المنحنيات الإهليلجية : كل شبكة $Λ$ تحدد منحنى إهليلجيًا $C /Λ$ على $C$ ؛ وتحدد شبكتان منحنيات إهليلجية متماثلة إذا وفقط إذا تم الحصول على إحداهما من الأخرى بضربها في عدد عقدي غير صفري $α$ . وبالتالي، يمكن اعتبار الدالة النمطية أيضًا دالة ميرومورفية على مجموعة فئات التماثل للمنحنيات الإهليلجية. على سبيل المثال، الدالة $j$ $($ $z$ $)$ الثابتة بالنسبة لـ j لمنحنى إهليلجي، باعتبارها دالة على مجموعة جميع المنحنيات الإهليلجية، هي دالة نمطية. وبشكل أكثر تجريدًا ، يمكن اعتبار الدوال النمطية دوالًا على فضاء المعاملات لفئات التماثل للمنحنيات الإهليلجية المركبة.

بالنسبة للمجموعة النمطية الكاملة، يُطلق على الشكل النمطي f $الذي$ $يتلاشى$ عند $q = 0$ (أو ما يكافئه $a₀ = 0 ،$ أو $z = i\infty$ ) اسم شكل القمة ( Spitzenform بالألمانية ). أما بالنسبة لمجموعة جزئية ذات فهرس محدود من المجموعة النمطية، فإن شكل القمة هو شكل نمطي يتلاشى عند كل قمة من قمم المجموعة الجزئية.

الوحدة النمطية هي دالة نمطية تقتصر أقطابها وأصفارها على النقاط الحدية. ^{[ 4 ]}

أشكال معيارية لمجموعات أكثر عمومية

المعادلة الوظيفية، أي سلوك الدالة f بالنسبة إلى $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$ يمكن تخفيف هذا الشرط من خلال اشتراطه فقط للمصفوفات في مجموعات أصغر.

الشكل النمطي للدالة $G$ من الوزن k هو دالة على H تحقق المعادلة الوظيفية المذكورة أعلاه لجميع المصفوفات في $G$ ، أي أنها دالة تحليلية على H وعند جميع نقاط التقاطع لـ $G.$ وتُسمى الأشكال النمطية التي تتلاشى عند جميع نقاط التقاطع بأشكال التقاطع لـ $G. ويُرمز$ $إلى$ فضاءات المتجهات C للأشكال النمطية وأشكال التقاطع من الوزن k بالرمزين $Mk (G)$ و $Sk$ $($ $G$ $)$ على التوالي. وبالمثل، تُسمى الدالة الميرومورفية على G \ H ^{* دالة نمطية لـ} $G.$ وفي حالة G = Γ₀ ₍ N ) $،$ يُشار إليها أيضًا بالأشكال النمطية/أشكال التقاطع ودوال المستوى N. أما بالنسبة لـ $G = Γ(1) = SL(2, Z)$ ، فإن هذا يُعيد التعريفات المذكورة سابقًا.

التفسير الهندسي

أسطح ريمان

لتكن $G$ زمرة جزئية من $SL(2, Z)$ ذات دليل منتهٍ. تؤثر هذه الزمرة $G$ على H بنفس طريقة تأثير $SL(2,$ $Z$ $)$ . يمكن إثبات أن الفضاء الطوبولوجي الناتج عن القسمة G \ H هو فضاء هاوسدورف . عادةً ما يكون غير متراص، ولكن يمكن تكثيفه بإضافة عدد منتهٍ من النقاط تُسمى نقاطًا مدببة . هذه النقاط تقع على حدود H ، أي في Q ∪{∞}، ^[^{ملاحظة 3}^] بحيث يوجد عنصر مكافئ من $G$ (مصفوفة أثرها ±2) يُثبّت تلك النقطة. ينتج عن ذلك فضاء طوبولوجي متراص G \ H ^∗ . علاوة على ذلك، يمكن تزويده ببنية سطح ريمان ، مما يسمح بالحديث عن الدوال الهولومورفية والميرومورفية.

من الأمثلة المهمة، لأي عدد صحيح موجب N ، إحدى مجموعات التطابق الفرعية

{\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}

بالنسبة لـ G = Γ ₀ ( N ) أو $Γ(N)$ ، يتم الإشارة إلى الفضاءات G \ H و G \ H ^{∗ على التوالي بـ}Y ₀ ( N ) و X ₀ ( N ) و Y ( N )، X ( N ).

يمكن فهم هندسة G \ H ^∗ بدراسة المجالات الأساسية لـ G ، أي المجموعات الجزئية D ⊂ H التي تتقاطع D مع كل مدار من مدارات تأثير $G$ على H مرة واحدة فقط، والتي يتقاطع إغلاق D مع جميع المدارات. على سبيل المثال، يمكن حساب جنس G \ H ^{∗ .}^[⁵^]

يمكن تطبيق نظرية أسطح ريمان على G \ H ^∗ للحصول على مزيد من المعلومات حول الأشكال والدوال النمطية. على سبيل المثال، الفضاءان $M k (G)$ و $S k (G)$ محدودا الأبعاد، ويمكن حساب أبعادهما باستخدام نظرية ريمان-روخ بدلالة هندسة تأثير $G$ على H. ^{[ 6 ]} على سبيل المثال ،

\dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{otherwise}}\end{cases}}

أين $\lfloor \cdot \rfloor$ يرمز إلى دالة الجزء الصحيح و $k$ متساوٍ.

تشكل الدوال النمطية حقل الدوال لسطح ريمان، وبالتالي تشكل حقلاً من درجة التجاوز الأولى (على C ). إذا لم تكن الدالة النمطية f تساوي صفرًا تمامًا، فيمكن إثبات أن عدد أصفار f يساوي عدد أقطابها في إغلاق المنطقة الأساسية R _Γ . بالنسبة لمجموعة التطابق $Γ$ $0$ $($ $N$ $)$ ^، يتولد حقل الدوال النمطية على $X$ $0$ $($ $N$ $) بواسطة الدالتين$ $j$ $($ $z$ $)$ و $j$ $($ $Nz$ $)$ . ^[ 7 ^]

حزم الخطوط

يمكن أيضًا تفسير الأشكال النمطية هندسيًا على أنها مقاطع من حزم الخطوط على المنحنيات النمطية أو على مجموعة معاملات المنحنيات الإهليلجية . في هذا التفسير، تكون حزمة الخطوط ذات الصلة هي حزمة هودج ، والتي يُرمز لها غالبًا بـ $ω$ ، وتكون الأشكال النمطية ذات الوزن $k$ مقاطع من $ω \otimes k$ مع شرط التماثل المناسب عند الرؤوس.

بحسب تماثل كودايرا-سبنسر ، يُعرَّف مربع حزمة هودج بالحزمة القانونية اللوغاريتمية للمنحنى النمطي، أي الحزمة القانونية الملتوية بقاسم القمة . ورمزياً، على منحنى نمطي مضغوط $X$ بقاسم قمة $D$ ، تُكتب هذه العلاقة على النحو التالي:

\omega ^{\otimes 2}\cong K_{X}(D).

يكمن الحدس في أنه بالنسبة لشكل نمطي $f$ من الوزن اثنين، فإن الشكل الأحادي $f(z)dz$ يكون ثابتًا تحت تأثير المجموعة النمطية. عند نقاط التقاطع، ينتج عن ذلك تفاضل لوغاريتمي، بينما تعطي أشكال نقاط التقاطع تفاضلات هولومورفية.

يمكن حساب أبعاد فضاءات الأشكال النمطية باستخدام نظرية ريمان-روخ . ^{[ 8 ]}

هذا التفسير مماثل لدور كثيرات الحدود المتجانسة في الفضاء الإسقاطي . لا تُعدّ هذه كثيرات الحدود دوالًا عادية في الفضاء الإسقاطي، لأنها تتغير بمعامل قياسي عند إعادة قياس المتجه الأساسي. هندسيًا، تُفسَّر على أنها مقاطع من حزم الخطوط. تتصرف الأشكال النمطية بشكل مشابه: باستثناء الوزن الصفري، يمنعها قانون تحويلها من أن تكون دوالًا عادية على منحنى نمطي، ولكنه يسمح بتفسيرها على أنها مقاطع من قوى حزمة هودج.

حلقات من الأشكال المعيارية

بالنسبة لمجموعة جزئية $Γ$ من $SL(2, Z)$ ، فإن حلقة الأشكال النمطية هي الحلقة المتدرجة المولدة بواسطة الأشكال النمطية لـ $Γ$ . بعبارة أخرى، إذا كان $M <sub>k </sub>(Γ)$ هو الفضاء المتجهي للأشكال النمطية ذات الوزن $k$ ، فإن حلقة الأشكال النمطية لـ $Γ$ هي الحلقة المتدرجة. $M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )$ .

تُولَّد حلقات الأشكال النمطية لمجموعات التطابق الفرعية لـ $SL(2, Z)$ توليدًا منتهيًا، وذلك بفضل نتيجة توصل إليها بيير ديلين ومايكل رابوبورت . تُولَّد هذه الحلقات بوزن لا يتجاوز 6، وتُولَّد العلاقات بوزن لا يتجاوز 12 عندما تحتوي مجموعة التطابق الفرعية على أشكال نمطية فردية الوزن غير صفرية، وتكون الحدود المقابلة 5 و10 عندما لا توجد أشكال نمطية فردية الوزن غير صفرية.

وبشكل عام، توجد صيغ للحدود على أوزان مولدات حلقة الأشكال النمطية وعلاقاتها للمجموعات الفوشية العشوائية .

الأنواع

نماذج جديدة

الأشكال الجديدة هي فضاء فرعي من الأشكال النمطية ^{[ 9 ]} ذات مستوى ثابت $N$ والتي لا يمكن بناؤها من أشكال معيارية من مستويات أدنى $M$ الفاصل $N$ أما الأشكال الأخرى فتُسمى الأشكال القديمة . ويمكن بناء هذه الأشكال القديمة باستخدام الملاحظات التالية: إذا $M\mid N$ ثم $\Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)$ مما يؤدي إلى تضمين عكسي للأشكال النمطية $M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))$ .

تتشكل النتوءات

الشكل ذو الحدّ هو شكل نمطي يتلاشى عند جميع نقاط الحدّ. بالنسبة للمجموعة النمطية الكاملة، التي لها حدّ واحد، فإن هذا يُكافئ القول بأن المعامل الثابت في متسلسلة فورييه الخاصة بها يساوي صفرًا.

التعميمات

هناك عدد من الاستخدامات الأخرى لمصطلح "الدالة النمطية"، بصرف النظر عن هذا الاستخدام الكلاسيكي؛ على سبيل المثال، في نظرية مقاييس هار ، هي دالة $Δ(g)$ محددة بواسطة فعل الاقتران.

تُعدّ أشكال ماس دوالًا ذاتية تحليلية حقيقية لمؤثر لابلاس ، ولكنها ليست بالضرورة دوالًا تحليلية . وتُعتبر الأجزاء التحليلية لبعض أشكال موجات ماس الضعيفة دوال ثيتا زائفة لرامانوجان. ويمكن النظر في المجموعات التي ليست مجموعات جزئية من $SL(2,$ $Z$ $) .$

الأشكال النمطية لهيلبرت هي دوال في n متغيرات، كل منها عدد مركب في النصف العلوي من المستوى، وتفي بعلاقة نمطية للمصفوفات 2 × 2 ذات المدخلات في حقل أعداد حقيقية تمامًا .

ترتبط الأشكال النمطية لسيجل بمجموعات سيمبليكتية أكبر بنفس الطريقة التي ترتبط بها الأشكال النمطية الكلاسيكية بـ $SL(2, R)$ ؛ بعبارة أخرى، ترتبط بالأصناف الأبيلية بنفس الطريقة التي ترتبط بها الأشكال النمطية الكلاسيكية (والتي تسمى أحيانًا الأشكال النمطية الإهليلجية للتأكيد على هذه النقطة) بالمنحنيات الإهليلجية.

تُعدّ أشكال جاكوبي مزيجًا من الأشكال النمطية والدوال الإهليلجية. ومن الأمثلة الكلاسيكية على هذه الدوال دوال جاكوبي ثيتا ومعاملات فورييه لأشكال سيجل النمطية من النوع الثاني، ولكن من الملاحظات الحديثة نسبيًا أن لأشكال جاكوبي نظرية حسابية مشابهة جدًا للنظرية المعتادة للأشكال النمطية.

تعمل الأشكال التلقائية على توسيع مفهوم الأشكال النمطية إلى مجموعات لي العامة .

التكاملات المعيارية ذات الوزن $k$ هي دوال ميرومورفية على النصف العلوي من المستوى ذات نمو معتدل عند اللانهاية والتي تفشل في أن تكون معيارية ذات وزن $k$ بواسطة دالة كسرية.

العوامل الذاتية الشكل هي دوال من الشكل $\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}$ والتي تُستخدم لتعميم علاقة النمطية التي تُعرّف الأشكال النمطية، بحيث

f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).

الوظيفة $\varepsilon (a,b,c,d)$ يُطلق عليه اسم النمط الفرعي للشكل النمطي. يمكن تضمين دوال مثل دالة إيتا لديديكيند ، وهي شكل نمطي من الوزن 1/2، ضمن النظرية من خلال السماح بالعوامل الذاتية.

تاريخ

تم تطوير نظرية الأشكال النمطية في أربع فترات:

في سياق نظرية الدوال الإهليلجية ، في أوائل القرن التاسع عشر
على يد فيليكس كلاين وآخرين في أواخر القرن التاسع عشر عندما أصبح مفهوم الشكل التلقائي مفهوماً (لمتغير واحد).
بقلم إريك هيكه ، حوالي عام 1925
في الستينيات، حيث أوضحت احتياجات نظرية الأعداد وصياغة نظرية النمطية على وجه الخصوص أن الأشكال النمطية متضمنة بعمق.

حدد يوتاكا تانياما وغورو شيمورا تطابقًا تامًا بين بعض الأشكال النمطية والمنحنيات الإهليلجية. وقد بنى روبرت لانغلاندز على هذه الفكرة في بناء برنامج لانغلاندز الموسع ، الذي أصبح أحد أكثر برامج البحث تأثيرًا وأهمية في الرياضيات.

في عام ١٩٩٤، استخدم أندرو وايلز الأشكال النمطية لإثبات نظرية فيرما الأخيرة . وفي عام ٢٠٠١، ثبت أن جميع المنحنيات الإهليلجية نمطية على الأعداد النسبية. وفي عام ٢٠١٣، ثبت أن المنحنيات الإهليلجية نمطية على الحقول التربيعية الحقيقية . وفي عام ٢٠٢٣، ثبت أن المنحنيات الإهليلجية نمطية على حوالي نصف الحقول التربيعية التخيلية، بما في ذلك الحقول المتكونة من دمج الأعداد النسبية مع الجذر التربيعي للأعداد الصحيحة حتى -٥. ^{[ ١٠ ]}

انظر أيضاً

برهان وايلز على نظرية فيرما الأخيرة

ملحوظات

↑ يستخدم بعض المؤلفين اصطلاحات مختلفة، مما يسمح بوجود ثابت إضافي يعتمد فقط على $\gamma$ انظر على سبيل المثال "DLMF: §23.15 التعريفات ‣ الدوال النمطية ‣ الفصل 23 دوال فايرشتراس الإهليلجية والنمطية" . dlmf.nist.gov . تاريخ الاسترجاع : 2023-07-07 .
↑ لا يمكن أن تحتوي الدالة الميرومورفية إلا على عدد محدود من الحدود ذات الأسس السالبة في متسلسلة لوران الخاصة بها، أي في توسيعها بالنسبة لـ q . ولا يمكن أن تحتوي إلا على قطب واحد على الأكثر عند $q = 0،$ وليس على نقطة تفرد جوهرية كما هو الحال $في exp(1/ q)$ .
↑ هنا، مصفوفة ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ يرسل ∞ إلى a / c .

الاقتباسات

↑ سيبيلويتش، جوردانا (21-09-2023). "انظروا إلى الأشكال النمطية، 'العملية الأساسية الخامسة' في الرياضيات" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25-02-2025 .
↑ لان، كاي-وين. "علم التماثل للحزم ذاتية الشكل" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 1 أغسطس 2020.
↑ تشاندراسيكاران، ك. (1985). الدوال الإهليلجية . سبرينغر-فيرلاغ. ص 15. ISBN 3-540-15295-4.
^ كوبرت، دانيال س . لانج، سيرج (1981)، الوحدات النمطية ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [المبادئ الأساسية للعلوم الرياضية]، المجلد. 244، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ص. 24، ردمك 978-0-387-90517-4، MR 0648603 ، Zbl 0492.12002
↑ غانينغ، روبرت سي. (1962)، محاضرات في الأشكال النمطية ، حوليات دراسات الرياضيات ، المجلد 48، مطبعة جامعة برينستون ، ص 13
↑ شيمورا، غورو (1971)، مقدمة في النظرية الحسابية للدوال التلقائية ، منشورات الجمعية الرياضية اليابانية، المجلد 11، طوكيو: إيوانامي شوتين ، النظرية 2.33، الاقتراح 2.26
↑ ميلن، جيمس (2010)، الدوال النمطية والأشكال النمطية (ملف PDF) ، ص 88 ، النظرية 6.1.
↑ ميلن، جيمس (2017). "الدوال النمطية والأشكال النمطية" . ص 51.
↑ موكانو، أندريا. "نظرية أتكين لينر $\Gamma _{1}(N)$ -النماذج المعيارية" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 31 يوليو 2020.
↑ فان ويك، جيرهارد (يوليو 2023). "المنحنيات الإهليلجية تكشف أسرارها في نظام عددي جديد" . كوانتا .

مراجع

أبوستول، توم م. (1990)، الدوال النمطية ومتسلسلات ديريشليه في نظرية الأعداد ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 0-387-97127-0
دايموند، فريد؛ شورمان، جيري مايكل (2005)، دورة تمهيدية في الأشكال النمطية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 228، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0387232294يؤدي ذلك إلى نظرة عامة على برهان نظرية النمطية .
جيلبارت، ستيفن س. (1975)، الأشكال التلقائية على مجموعات أديل ، دراسات حوليات الرياضيات ، المجلد 83، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون ، MR 0379375 . يقدم مقدمة عن الأشكال النمطية من وجهة نظر نظرية التمثيل .
هيكي ، إريك (1970)، Mathematische Werke ، غوتنغن: Vandenhoeck & Ruprecht
رانكين، روبرت أ. (1977)، الأشكال والوظائف النمطية ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 0-521-21212-X
ريبيت، ك.؛ شتاين، و.، محاضرات حول الأشكال النمطية ومؤثرات هيك
سير، جان بيير (1973)، دورة في الحساب ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 7، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغيقدم الفصل السابع مقدمة أساسية لنظرية الأشكال النمطية .
سكوروبا، NP. Zagier، D. (1988)، “أشكال جاكوبي ومساحة معينة من الأشكال المعيارية”، اختراعات الرياضيات ، 94 ، سبرينغر : 113 ، بيب كود : 1988InMat..94..113S ، دوى : 10.1007 / BF01394347
إليكم الأشكال النمطية، "العملية الأساسية الخامسة" في الرياضيات

[3] يستخدم بعض المؤلفين اصطلاحات مختلفة، مما يسمح بوجود ثابت إضافي يعتمد فقط على $\gamma$ انظر على سبيل المثال "DLMF: §23.15 التعريفات ‣ الدوال النمطية ‣ الفصل 23 دوال فايرشتراس الإهليلجية والنمطية" . dlmf.nist.gov . تاريخ الاسترجاع : 2023-07-07 .

[4] لا يمكن أن تحتوي الدالة الميرومورفية إلا على عدد محدود من الحدود ذات الأسس السالبة في متسلسلة لوران الخاصة بها، أي في توسيعها بالنسبة لـ q . ولا يمكن أن تحتوي إلا على قطب واحد على الأكثر عند $q = 0،$ وليس على نقطة تفرد جوهرية كما هو الحال $في exp(1/ q)$ .

[7] هنا، مصفوفة ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ يرسل ∞ إلى a / c .

[1] سيبيلويتش، جوردانا (21-09-2023). "انظروا إلى الأشكال النمطية، 'العملية الأساسية الخامسة' في الرياضيات" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25-02-2025 .

[2] لان، كاي-وين. "علم التماثل للحزم ذاتية الشكل" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 1 أغسطس 2020.

[5] تشاندراسيكاران، ك. (1985). الدوال الإهليلجية . سبرينغر-فيرلاغ. ص 15. ISBN 3-540-15295-4.

[6] كوبرت، دانيال س . لانج، سيرج (1981)، الوحدات النمطية ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [المبادئ الأساسية للعلوم الرياضية]، المجلد. 244، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ص. 24، ردمك 978-0-387-90517-4، MR 0648603 ، Zbl 0492.12002

[8] غانينغ، روبرت سي. (1962)، محاضرات في الأشكال النمطية ، حوليات دراسات الرياضيات ، المجلد 48، مطبعة جامعة برينستون ، ص 13

[9] شيمورا، غورو (1971)، مقدمة في النظرية الحسابية للدوال التلقائية ، منشورات الجمعية الرياضية اليابانية، المجلد 11، طوكيو: إيوانامي شوتين ، النظرية 2.33، الاقتراح 2.26

[10] ميلن، جيمس (2010)، الدوال النمطية والأشكال النمطية (ملف PDF) ، ص 88 ، النظرية 6.1.

[11] ميلن، جيمس (2017). "الدوال النمطية والأشكال النمطية" . ص 51.

[12] موكانو، أندريا. "نظرية أتكين لينر $\Gamma _{1}(N)$ -النماذج المعيارية" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 31 يوليو 2020.

[:0-13] فان ويك، جيرهارد (يوليو 2023). "المنحنيات الإهليلجية تكشف أسرارها في نظام عددي جديد" . كوانتا .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ ملاحظة 1 ]

[ ملاحظة 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[

[ 6 ]

،

[ 8 ]

[ 9 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗