العامل الذاتي

في الرياضيات ، يُعد العامل الذاتي نوعًا معينًا من الدوال التحليلية ، مُعرَّفًا على الزمر الجزئية من SL(2,R) ، ويظهر في نظرية الأشكال النمطية . أما الحالة العامة، للزمر العامة، فتُستعرض في مقالة " عامل التشاكل الذاتي ".

العامل الذاتي ذو الوزن k هو دالة $${\displaystyle \nu$$ :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C} } التي تحقق الخصائص الأربع المذكورة أدناه. هنا، الترميز${\displaystyle \mathbb {H} }$و${\displaystyle \mathbb {C} }$يشير هذان المصطلحان إلى النصف العلوي من المستوى المركب والمستوى المركب ، على التوالي.${\displaystyle \Gamma }$هي زمرة جزئية من SL(2,R)، مثل، على سبيل المثال، زمرة فوكسية . عنصر${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$هي مصفوفة 2×2 $${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$$ حيث a و b و c و d أعداد حقيقية، تحقق الشرط ad − bc =1.

يجب أن يحقق العامل الذاتي الشكل الشروط التالية:

1. مقابل مبلغ ثابت${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$، الوظيفة${\displaystyle \nu (\gamma ,z)}$هي دالة هولومورفية لـ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$.
2. للجميع${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$و${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$، لدى المرء$${\displaystyle \vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}$$لعدد حقيقي ثابت k .
3. للجميع${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$و${\displaystyle \gamma ,\delta \in \Gamma }$، لدى المرء$${\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)}$$هنا،${\displaystyle \delta z}$هو التحويل الخطي الكسري لـ${\displaystyle z}$بواسطة${\displaystyle \delta }$.
4. لو${\displaystyle -I\in \Gamma }$ثم للجميع${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$و${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$، لدى المرء$${\displaystyle \nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)}$$هنا، I تشير إلى مصفوفة الوحدة .

يمكن كتابة كل عامل ذاتي الشكل على النحو التالي:

${\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}}$

مع

${\displaystyle \vert \upsilon (\gamma )\vert =1}$

الوظيفة${\displaystyle \upsilon$ يُطلق على النظام Γ → S¹ اسم نظام المضاعف . من الواضح أن

${\displaystyle \upsilon (I)=1}$،

بينما، إذا${\displaystyle -I\in \Gamma }$، ثم

${\displaystyle \upsilon (-I)=e^{-i\pi k}}$

وهو ما يساوي${\displaystyle (-1)^{k}}$عندما يكون k عددًا صحيحًا .

توجد عوامل ذاتية الشكل غير هولومورفية من النوع

${\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{\alpha }(c{\bar {z}}+d)^{\beta }}$

أين${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$هي أوزان مشتركة اختيارية. الشرط$${\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)}$$يتقلص إلى${\displaystyle \upsilon (\gamma \delta )=\upsilon (\gamma )\upsilon (\delta )}$لو${\displaystyle \alpha -\beta \in \mathbb {Z} }$.

لو${\displaystyle \Gamma =SL_{2}(\mathbb {Z} )}$هي المجموعة المعيارية و${\displaystyle \Re \alpha ,\Re \beta \in [0,1)}$إذن، يوجد نظام مضاعف بحيث

$\displaystyle \upsilon \left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=e^{i\frac {\pi }{6}}(\alpha -\beta )}\quad ,\quad \upsilon \left(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)=e^{-i\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )}}$

ل${\displaystyle \eta (z)}$دالة إيتا ديديكيند ، الشكل النمطي${\displaystyle f_{\alpha ,\beta}(z)=\eta (z)^{2\alpha }{\overline {\eta (z)^{2{\overline {\beta }}}}}}$بحيث${\displaystyle f_{\alpha ,\beta}(\gamma (z))=\nu (\gamma ,z)f_{\alpha ,\beta }(z)}$لأي${\displaystyle \gamma \in SL_{2}(\mathbb {Z} )}$.

• روبرت رانكين ، الأشكال والدوال النمطية ، (1977) مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-21212-X( الفصل الثالث مخصص بالكامل للعوامل الذاتية الشكل للمجموعة النمطية.)
• Pasles، Paul C. (2003)، “أنظمة المضاعفة” ، اكتا أريثميتيكا ، 108 (3): 235–243 ، ISSN 0065-1036 ( للتعميم المعقد.)