برنامج لانغلاندز

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 10 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعدّ برنامج لانغلاندز مجموعة من التخمينات حول الروابط بين نظرية الأعداد ، ونظرية الأشكال التلقائية ، والهندسة . وقد اقترحه عالم الرياضيات الكندي روبرت لانغلاندز ( 1967 ، 1970 ) . وبشكل أدق، يسعى البرنامج إلى ربط بنية زمر غالوا في نظرية الأعداد الجبرية بالأشكال التلقائية ، وبشكل أعم، بنظرية تمثيل الزمر الجبرية على الحقول المحلية والأديلات . 

خلفية

يستند برنامج لانجلاندز إلى أفكار موجودة: فلسفة الأشكال الحدية التي صاغها هاريش تشاندرا وجيلفاند قبل بضع سنوات ، [ 1 ] والعمل ونهج هاريش تشاندرا بشأن مجموعات لي شبه البسيطة ، ومن الناحية الفنية صيغة الأثر لسيلبرج وآخرين.

ما كان جديدًا في عمل لانجلاندز، إلى جانب العمق التقني، هو الصلة المقترحة بنظرية الأعداد، بالإضافة إلى هيكلها التنظيمي الغني المفترض (ما يسمى بالوظيفية ).

استغل عمل هاريش-تشاندرا مبدأ إمكانية تطبيق ما يُمكن تطبيقه على زمرة لي شبه بسيطة (أو اختزالية) على جميع الزمر. ولذلك، بمجرد إدراك دور بعض زمر لي منخفضة الأبعاد، مثل GL(2)، في نظرية الأشكال النمطية، وGL(1) في نظرية حقول الفئات ، أصبح المجال مفتوحًا للتكهن بشأن GL( n ) لقيم n > 2 العامة.

انبثقت فكرة "الشكل المدبب" من المدببات الموجودة على المنحنيات النمطية ، ولكن كان لها أيضًا معنى واضح في نظرية الأطياف باعتبارها " طيفًا منفصلاً "، على عكس " الطيف المتصل " من متسلسلات أيزنشتاين . يصبح الأمر أكثر تعقيدًا من الناحية التقنية بالنسبة لمجموعات لي الأكبر حجمًا، نظرًا لكثرة المجموعات الفرعية المكافئة .

في جميع هذه المناهج، كانت الأساليب التقنية متاحة، وغالبًا ما تكون استقرائية بطبيعتها وتعتمد على تحليلات ليفي من بين أمور أخرى، لكن المجال ظل يتطلب الكثير. [ 2 ]

من منظور الأشكال المعيارية، تم تطوير أمثلة مثل الأشكال المعيارية لهيلبرت ، والأشكال المعيارية لسيجل ، وسلسلة ثيتا .

أشياء

تطورت هذه الفرضيات منذ أن طرحها لانجلاندز لأول مرة. تنطبق فرضيات لانجلاندز على العديد من المجموعات المختلفة في العديد من المجالات التي يمكن صياغتها فيها، ويقدم كل مجال عدة صيغ لهذه الفرضيات. [ 3 ] بعض هذه الصيغ غامضة، أو تعتمد على كائنات مثل مجموعات لانجلاندز ، التي لم يُثبت وجودها، أو على مجموعة L التي لها عدة تعريفات غير متكافئة.

الأشياء التي يمكن صياغة تخمينات لانجلاندز بشأنها:

  • تمثيلات المجموعات المختزلة على الحقول المحلية (مع حالات فرعية مختلفة تتوافق مع الحقول المحلية الأرخميدية، والحقول المحلية p -adic، وإكمال حقول الدوال)
  • الأشكال التلقائية على المجموعات المختزلة فوق الحقول العامة (مع حالات فرعية تتوافق مع حقول الأعداد أو حقول الدوال).
  • نظائر للحقول المنتهية.
  • حقول أكثر عمومية، مثل حقول الدوال على الأعداد المركبة.

التخمينات

يمكن صياغة التخمينات بطرق مختلفة ذات صلة وثيقة ولكنها ليست متكافئة بشكل واضح.

المعاملة بالمثل

كانت نقطة انطلاق البرنامج قانون التبادلية لإميل آرتين ، الذي يعمم التبادلية التربيعية . ينطبق قانون التبادلية لآرتين على امتداد غالوا لحقل عددي جبري تكون زمرة غالوا الخاصة به تبديلية ؛ حيث يُسند دوال L إلى التمثيلات أحادية البعد لهذه الزمرة، وينص على أن هذه الدوال L مطابقة لمتسلسلات ديريشليه L معينة أو متسلسلات أكثر عمومية (أي نظائر معينة لدالة زيتا لريمان ) مُنشأة من مُحوِّلات هيك . ويُشكل التطابق الدقيق بين هذه الأنواع المختلفة من دوال L قانون التبادلية لآرتين.

بالنسبة لمجموعات غالوا غير التبديلية وتمثيلاتها ذات الأبعاد الأعلى، يمكن تعريف الدوال L بطريقة طبيعية: دوال آرتين L.

تمثلت رؤية لانغلاندز في إيجاد التعميم المناسب لدوال ديريشليه L ، مما يسمح بصياغة عبارة آرتين في إطار لانغلاندز الأكثر عمومية. وكان هيك قد ربط سابقًا دوال ديريشليه L بالأشكال الذاتية ( الدوال التحليلية على النصف العلوي من مستوى الأعداد المركبة).ج{\displaystyle \mathbb {C} } التي تحقق معادلات وظيفية معينة ). ثم عمم لانجلاندز هذه المعادلات إلى تمثيلات ذاتية الشكل ذات رؤوس مدببة ، وهي تمثيلات غير قابلة للاختزال ذات أبعاد لا نهائية للمجموعة الخطية العامة GL( n ) على حلقة أديل .سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }( الأعداد النسبية ). (تتتبع هذه الحلقة جميع عمليات إكمالسؤال،{\displaystyle \mathbb {Q} ,}انظر الأعداد p -adic .

قام لانجلاندز بربط دوال L ذاتية الشكل بهذه التمثيلات ذاتية الشكل، وافترض أن كل دالة L من نوع آرتين تنشأ من تمثيل محدود الأبعاد لمجموعة غالوا لحقل عددي تساوي دالة تنشأ من تمثيل ذاتي الشكل ذي قمة حادة. يُعرف هذا باسم فرضية التبادلية .

بصورة عامة، تُقدّم هذه الفرضية تطابقاً بين التمثيلات الذاتية لمجموعة اختزالية والتشاكلات من مجموعة لانجلاندز إلى مجموعة L. ويُتيح هذا التطابق العديد من التباينات، ويعود ذلك جزئياً إلى أن تعريفات مجموعة لانجلاندز ومجموعة L ليست ثابتة.

من المتوقع أن يُعطي هذا، في الحقول المحلية، تمثيلاً لمعاملات حزم L من التمثيلات غير القابلة للاختزال المقبولة لمجموعة اختزالية على الحقل المحلي. على سبيل المثال، في حقل الأعداد الحقيقية، يُمثل هذا التطابق تصنيف لانجلاندز لتمثيلات المجموعات الاختزالية الحقيقية. أما في الحقول العامة ، فينبغي أن يُعطي تمثيلاً لمعاملات الأشكال التلقائية.

الوظيفة

تنص فرضية الدوال على أنه من المتوقع أن يُعطي تشاكل مناسب بين زمر L تطابقًا بين الأشكال الذاتية (في الحالة العامة) أو التمثيلات (في الحالة المحلية). وبصورة عامة، تُعد فرضية التبادلية لـ Langlands حالة خاصة من فرضية الدوال عندما تكون إحدى الزمر المختزلة تافهة.

الدوال العامة

Langlands generalized the idea of functoriality: instead of using the general linear group GL(n), other connected reductive groups can be used. Furthermore, given such a group G, Langlands constructs the Langlands dual group LG, and then, for every automorphic cuspidal representation of G and every finite-dimensional representation of LG, he defines an L-function. One of his conjectures states that these L-functions satisfy a certain functional equation generalizing those of other known L-functions.

He then goes on to formulate a very general "Functoriality Principle". Given two reductive groups and a (well behaved) morphism between their corresponding L-groups, this conjecture relates their automorphic representations in a way that is compatible with their L-functions. This functoriality conjecture implies all the other conjectures presented so far. It is of the nature of an induced representation construction—what in the more traditional theory of automorphic forms had been called a 'lifting', known in special cases, and so is covariant (whereas a restricted representation is contravariant). Attempts to specify a direct construction have only produced some conditional results.

All these conjectures can be formulated for more general fields in place of Q{\displaystyle \mathbb {Q} }: algebraic number fields (the original and most important case), local fields, and function fields.

Geometric conjectures

The geometric Langlands program, suggested by Gérard Laumon following ideas of Vladimir Drinfeld, arises from a geometric reformulation of the usual Langlands program that attempts to relate more than just irreducible representations. In simple cases, it relates l-adic representations of the étale fundamental group of an algebraic curve to objects of the derived category of l-adic sheaves on the moduli stack of vector bundles over the curve.

In 2024, a 9-person collaborative project led by Dennis Gaitsgory announced a proof of the (categorical, unramified) geometric Langlands conjecture leveraging Hecke eigensheaves as part of the proof.[4][5][6][7]

Status

تتبع مراسلات لانجلاندز لـ GL(1, K ) من (وهي مكافئة بشكل أساسي لـ) نظرية حقل الفئة .

أثبت لانجلاندز صحة تخمينات لانجلاندز للمجموعات فوق الحقول المحلية الأرخميديةR{\displaystyle \mathbb {R} }( الأعداد الحقيقية ) وج{\displaystyle \mathbb {C} }( الأعداد المركبة ) من خلال إعطاء تصنيف لانجلاندز لتمثيلاتها غير القابلة للاختزال.

يمكن اعتبار تصنيف لوزتيج للتمثيلات غير القابلة للاختزال لمجموعات من نوع لي على الحقول المنتهية بمثابة نظير لتخمينات لانجلاندز للحقول المنتهية.

يمكن اعتبار برهان أندرو وايلز على نمطية المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة على الأعداد النسبية مثالاً على حدسية لانجلاندز التبادلية، حيث تتمثل الفكرة الرئيسية في ربط تمثيلات غالوا الناشئة عن المنحنيات الإهليلجية بالأشكال النمطية. على الرغم من تعميم نتائج وايلز بشكل كبير في العديد من الاتجاهات المختلفة، فإن حدسية لانجلاندز الكاملة لـGL(2،سؤال){\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {Q} )}لا يزال الأمر غير مثبت.

في عام 1998، أثبت لوران لافورج نظرية لافورج التي تحققت من تطابق لانجلاندز العالمي للمجموعة الخطية العامة GL( n , K ) لحقول الدوال K. وقد استكمل هذا العمل تحقيقات سابقة أجراها درينفيلد، الذي تناول سابقًا حالة GL(2, K ) في ثمانينيات القرن الماضي.

في عام 2018، وضع فنسنت لافورغ نصف تطابق لانجلاندز العالمي (الاتجاه من الأشكال التلقائية إلى تمثيلات غالوا) للمجموعات الاختزالية المتصلة على حقول الدوال العالمية. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

تخمينات لانجلاندز المحلية

أثبت فيليب كوتزكو [ 11 ] تطابق لانجلاندز المحلي للمجموعة الخطية العامة GL(2, K ) على الحقول المحلية.

أثبت جيرارد لومون ومايكل رابوبورت وأولريش ستوهلر تطابق لانجلاندز المحلي للمجموعة الخطية العامة GL( n , K ) للحقول المحلية المميزة الموجبة K. [ 12 ] يستخدم برهانهم حجة شاملة، حيث يحققون التمثيلات المقبولة الملساء ذات الأهمية كمكونات محلية للتمثيلات الذاتية لمجموعة الوحدات لجبر القسمة على منحنى ، ثم يستخدمون صيغة عد النقاط لدراسة خصائص تمثيلات غالوا الشاملة المرتبطة بهذه التمثيلات.

أثبت مايكل هاريس وريتشارد تايلور صحة حدسية لانغلاندز المحلية للمجموعة الخطية العامة GL( n , K ) للحقول المحلية K ذات الخاصية صفر . [ 13 ] وقدّم غاي هينيارت برهانًا آخر. [ 14 ] يستخدم كلا البرهانين حجة شاملة مشابهة لتلك المذكورة في الفقرة السابقة. وقدّم بيتر شولز برهانًا آخر. [ 15 ]

برنامج فارغيس-شولز

أعاد لوران فارغيس وبيتر شولز صياغة تناظر لانغلاندز المحلي بمصطلحات هندسية باستخدام منحنى فارغيس-فونتين. في نهجهما، يكون الكائن الذاتي الرئيسي هو المكدسكعكةجي{\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}}لجي{\displaystyle G}- الحزم على منحنى فارغيس-فونتين، التي تُعتبر بديلاً هندسياً لنظرية التمثيل لـجي(هـ){\displaystyle G(E)}على حقل محلي غير أرخميدسيهـ{\displaystyle E}[ 16 ]​

قام فارغيس وشولز بتطوير نظرية لـℓ{\displaystyle \ell }-adic sheaves onكعكةجي{\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}}، إثبات نسخة من تكافؤ ساتيك الهندسي لمنحنى فارغيس-فونتين، وتحديد حزمة معاملات هندسية لمعاملات لانجلاندز. [ 16 ]

يُصاغ عملهم أيضًا شكلًا فئويًا تخمينيًا لـ Langlands المحلية، حيث يُتوقع أن تنشأ المطابقة المعتادة بين التمثيلات والمعلمات من علاقة أعمق بين فئات الحزم علىكعكةجي{\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}}والحزم المتماسكة على مكدس معاملات لانجلاندز. وبالتالي، لا يُعد هذا برهانًا كاملاً على تطابق لانجلاندز المحلي لجميع المجموعات المختزلة، بل هو إعادة صياغة هندسية تُفضي إلى نتائج جديدة وإطار مفاهيمي موسع للموضوع. [ 16 ] [ 17 ]

المبرهنة الأساسية

في عام 2008، أثبت نغو باو تشاو " اللمة الأساسية "، التي افترضها لانغلاندز وشيلستاد في عام 1983، وهي مطلوبة لإثبات بعض التخمينات الأساسية في برنامج لانغلاندز. [ 18 ] [ 19 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ جيلفاند 1963 .
  2. ↑ فرينكل 2013 : "كل هذه الأمور، كما قال والدي، معقدة للغاية: لدينا فضاءات هيتشين المعيارية، والتناظر المرآوي، والأغشية A ، والأغشية B ، والحزم ذاتية الشكل... قد يصاب المرء بالصداع لمجرد محاولة تتبعها جميعًا. صدقوني، حتى بين المتخصصين، قليلون هم من يعرفون تفاصيل جميع عناصر هذا البناء."
  3. ↑ فرينكل 2013 ، ص 77 : "يُعدّ برنامج لانجلاندز الآن موضوعًا واسعًا. فهناك مجتمع كبير من الأشخاص يعملون عليه في مجالات مختلفة: نظرية الأعداد، والتحليل التوافقي، والهندسة، ونظرية التمثيل، والفيزياء الرياضية. وعلى الرغم من أنهم يعملون مع أشياء مختلفة تمامًا، إلا أنهم جميعًا يلاحظون ظواهر متشابهة." 
  4. ↑ غايتسغوري، دينيس . "برهان حدسية لانغلاندز الهندسية" . تم الاطلاع عليه في 21 مايو 2026 .
  5. ↑ غايتسغوري وراسكين 2025 .
  6. ↑ أرينكين وآخرون 2024 .
  7. ↑ "برهانٌ هامٌّ يحسمُ تخمينَ لانجلاندز الهندسي" . مجلة كوانتا. 19 يوليو 2024.
  8. ↑ لافورغ، ف. (2018). "شتوكاس للمجموعات المختزلة ومراسلة لانغلاندز لحقول الدوال" . icm2018.org . arXiv : 1803.03791 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2020-02-07 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-09-28 ."مصدر بديل" (ملف PDF) . math.cnrs.fr .
  9. ^ لافورج، ف. (2018). "Chtoucas pour les groupes réductifs et paramétrisation de Langlands" . مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 31 : 719 – 891. أرخايف : 1209.5352 . دوى : 10.1090/مربى/897 . S2CID 118317537 . 
  10. ^ ستروه ، ب. (يناير 2016). إعدادات Langlands العالمية على مجموعة الوظائف (بعد فنسنت لافورج) (PDF) . ندوة بورباكي 68 سنة، 2015-2016، لا. 1110، يناير 2016.  
  11. ↑ كوتزكو 1980 .
  12. ^ لاومون، رابوبورت وستوهلر 1993 .
  13. ↑ هاريس وتايلور 2001 .
  14. ↑ هينيارت 2000 .
  15. ↑ شولز 2013 .
  16. 1 2 3 فارج وشولز 2024 .
  17. ↑ إيماي 2024 .
  18. ↑ تشاو 2010 .
  19. ↑ لانغلاندز 1983 .

مراجع

  • أرينكين، د.؛ بيرالدو، د.؛ كامبل، J.؛ تشن، L.؛ فيرجمان، J .؛ جايتسجوري، د . وصلة.؛ راسكين، س. روزنبلوم، ن. (2024). “إثبات حدسية لانجلاندز الهندسية II: توطين Kac-Moody و FLE”. أرخايف : 2405.03648 [ math.AG ].
  • شودوارد، بيير هنري؛ غان، وي تيك؛ كاليثا، تاشو؛ ساكيلاريديس، يانيس، محررون. (31 مارس 2026). برنامج لانغلاندز . وقائع ندوات في الرياضيات البحتة. المجلد  112. بروفيدنس : الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 978-1-4704-6946-7.
  • جيلفاند، آي إم (1963)، "الدوال التلقائية ونظرية التمثيلات" ، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات (ستوكهولم، 1962) ، ديورشولم: معهد ميتاغ-ليفلر، ص 74-85 ، MR 0175997 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 17-07-2011 ، تم استرجاعه بتاريخ 29-06-2011  
  • إيماي، ناوكي (2024). "حول هندسة تناظر لانجلاندز المحلي". arXiv : 2408.16571 [ math.NT ].