المكدس (الرياضيات)

منذ ظهور مفهوم الرزم الجبرية، كان من المتوقع أن تكون رزمًا جزئية محلية من الشكل التالي:${\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/G]}$أين${\displaystyle G}$هي زمرة جبرية اختزالية خطيًا . وقد ثبت مؤخرًا صحة ذلك: ^{[ 1 ]} بالنظر إلى رزمة جبرية شبه منفصلة${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$محليًا من النوع المحدود على حقل مغلق جبريًا${\displaystyle k}$والتي تكون مثبتاتها خطية، و${\displaystyle x\in {\mathfrak {X}}(k)}$نقطة ملساء ومغلقة مع مجموعة مثبتة اختزالية خطية${\displaystyle G_{x}}$يوجد غلاف إيتالي لحاصل GIT${\displaystyle (U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)}$، أين${\displaystyle N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }}$بحيث يكون الرسم التخطيطي

${\displaystyle {\begin{matrix}([W/G_{x}],w)&\to &([N_{x}/G_{x}],0)\\\downarrow &&\downarrow \\(U,u)&\to &(N_{x}//G_{x},0)\end{matrix}}}$

هي ديكارتية، ويوجد تشاكل إيتالي

${\displaystyle f:([W/G_{x}],w)\to ({\mathfrak {X}},x)}$

مما يؤدي إلى تماثل مجموعات المثبت عند${\displaystyle w}$و${\displaystyle x}$.

لو${\displaystyle X}$هو مخطط${\displaystyle (Sch/S)}$و${\displaystyle G}$هو مخطط مجموعة أفيني سلس يعمل على${\displaystyle X}$ثم يوجد مكدس جبري خارج القسمة${\displaystyle [X/G]}$[ ^{2 ] اتخاذ} مخطط${\displaystyle Y\to S}$إلى المجموعة الجزئية لـ${\displaystyle G}$-التورسورس فوق${\displaystyle S}$-مخطط${\displaystyle Y}$مع${\displaystyle G}$الخرائط المتغيرة إلى${\displaystyle X}$. بشكل صريح، بالنظر إلى مساحة${\displaystyle X}$مع${\displaystyle G}$- الإجراء، تشكيل المكدس${\displaystyle [X/G]}$، وهو ما (بشكل بديهي) يرسل مساحة${\displaystyle Y}$إلى مجموعة مخططات السحب الخلفي

${\displaystyle [X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z&{\xrightarrow {\Phi }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\Y&{\xrightarrow {\phi }}&[X/G]\end{Bmatrix}}}$

أين${\displaystyle \Phi }$هو${\displaystyle G}$-التشكل المتغير للفضاءات و${\displaystyle Z\to Y}$هو مدير${\displaystyle G}$- حزمة. التشاكلات في هذه الفئة هي مجرد تشاكلات للمخططات حيث تكون الأسهم على الجانب الأيمن متساوية والأسهم على الجانب الأيسر هي تشاكلات للمبادئ${\displaystyle G}$-حزم.

حالة خاصة من هذا عندما تكون X نقطة تعطي مكدس التصنيف BG لمخطط مجموعة أفينية سلسة G :${\displaystyle {\textbf {B}}G:=[pt/G].}$وقد سُميت بذلك نسبةً إلى الفئة${\displaystyle \mathbf {B} G(Y)}$، الألياف فوق Y ، هي الفئة تحديدًا${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$من المدير${\displaystyle G}$-حزم أكثر${\displaystyle Y}$. لاحظ أن${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$يمكن اعتبارها في حد ذاتها بمثابة مكدس، وهو مكدس المعاملات للحزم الرئيسية G على Y.

ومن الأمثلة الفرعية المهمة من هذا التركيب ما يلي:${\displaystyle \mathbf {B} GL_{n}}$، وهو مكدس المعاملات للمبادئ${\displaystyle GL_{n}}$-حزم. بما أن بيانات جهة رئيسية${\displaystyle GL_{n}}$-bundle يعادل بيانات رتبة${\displaystyle n}$حزمة المتجهات، وهي متماثلة مع حزمة المعاملات من الرتبة${\displaystyle n}$حزم المتجهات${\displaystyle Vect_{n}}$.

الجربة هي مجموعة في الزمر الجزئية غير فارغة محليًا، على سبيل المثال الجربة التافهة${\displaystyle BG}$التي تُعيّن لكل مخطط زمرة من الرئيسيات${\displaystyle G}$-حزم على المخطط، لمجموعة ما${\displaystyle G}$.

إذا كانت A حزمة جبر شبه متماسكة في مكدس جبري X فوق مخطط S ، فإنه يوجد مكدس Spec( A ) يعمم بناء طيف Spec( A ) لحلقة تبديلية A. يُعطى عنصر Spec( A ) بواسطة مخطط S - T ، وعنصر x من X ( T )، وتشاكل حزم الجبر من x *( A ) إلى حلقة الإحداثيات O ( T ) لـ T.

إذا كانت A عبارة عن حزمة شبه متماسكة من الجبر المتدرج في مكدس جبري X على مخطط S ، فإن هناك مكدس Proj( A ) يعمم بناء المخطط الإسقاطي Proj( A ) لحلقة متدرجة A.

• قام مامفورد (1965) بدراسة حزمة المعاملات M _1,1 للمنحنيات الإهليلجية ، وأظهر أن مجموعة بيكارد الخاصة بها دورية من الرتبة 12. بالنسبة للمنحنيات الإهليلجية على الأعداد المركبة، فإن الحزمة المقابلة تشبه خارج قسمة النصف العلوي من المستوى بفعل المجموعة المعيارية .
• فضاء المعاملات للمنحنيات الجبرية${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$تُعرَّف بأنها عائلة عالمية من المنحنيات الملساء ذات جنس معين${\displaystyle g}$لا يوجد كصنف جبري لأنه على وجه الخصوص توجد منحنيات تقبل تحويلات ذاتية غير تافهة. ومع ذلك، توجد حزمة معاملات ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$، وهو بديل جيد لمساحة المعاملات الدقيقة غير الموجودة في جنس الأملس${\displaystyle g}$المنحنيات. وبشكل عام، هناك مجموعة من المعاملات${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$من جنس${\displaystyle g}$منحنيات مع${\displaystyle n}$النقاط المحددة. بشكل عام، هذا عبارة عن مكدس جبري، وهو مكدس ديلين-مامفورد لـ${\displaystyle g\geq 2}$أو ${\displaystyle g=1,n\geq 1}$أو${\displaystyle g=0,n\geq 3}$(بمعنى آخر، عندما تكون مجموعات التشاكل الذاتي للمنحنيات منتهية). تحتوي هذه الحزمة المعيارية على إكمال يتكون من حزمة معيارية للمنحنيات المستقرة (لـ ε معطى).${\displaystyle g}$و${\displaystyle n}$، وهو ما ينطبق على Spec Z. على سبيل المثال،${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$هي مكدس التصنيف${\displaystyle B{\text{PGL}}(2)}$من المجموعة الخطية العامة الإسقاطية . (يوجد دقة في تعريفها)${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$(حيث يتعين على المرء استخدام الفضاءات الجبرية بدلاً من المخططات لبنائها.)

تُعد فضاءات كونتسيفيتش المعيارية فئة أخرى من فضاءات المعاملات التي حظيت بدراسة واسعة، حيث تُحدد هذه الفضاءات معلمات فضاء الخرائط المستقرة بين منحنيات جنس ثابت إلى فضاء ثابت.${\displaystyle X}$والتي تمثل صورتها فئة تماثل ثابتة. ويُشار إلى فضاءات المعاملات هذه بالرمز ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

ويمكن أن تتصرف بشكل غير متوقع، مثل كونها مكدسات قابلة للاختزال ذات مكونات غير متساوية الأبعاد. على سبيل المثال، ^{[ 3 ]} مكدس المعاملات

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,0}(\mathbb {P} ^{2},3[H])}$

تحتوي على منحنيات سلسة يتم تحديدها بواسطة مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))}$على حدود فضاء المعاملات، حيث قد تتحول المنحنيات إلى منحنيات قابلة للاختزال، توجد مجموعة فرعية تُحدد معلمات المنحنيات القابلة للاختزال بجنس معين.${\displaystyle 0}$مكون وجنس${\displaystyle 1}$يتقاطع المكون عند نقطة واحدة، وترسل الخريطة الجنس${\displaystyle 1}$ينحني إلى نقطة. بما أن جميع هذه الأنواع${\displaystyle 1}$يتم تحديد خصائص المنحنيات بواسطة${\displaystyle U}$وهناك إضافة${\displaystyle 1}$الاختيار البُعدي لمكان تقاطع هذه المنحنيات على الجنس${\displaystyle 1}$المنحنى، يكون للمكون الحدودي بُعد${\displaystyle 10}$.

• تُعمم مجموعة بيكارد تنوع بيكارد .
• تقوم مجموعة المعاملات لقوانين المجموعة الرسمية بتصنيف قوانين المجموعة الرسمية .
• المخطط الفردي مثل الفضاء الإسقاطي اللانهائي والمخطط الرسمي هو عبارة عن مكدس.
• تُستخدم مجموعة من وحدات شتوكا في برنامج لانجلاندز الهندسي . (انظر أيضًا شتوكا ).

يتضمن بناء الفضاءات الإسقاطية الموزونة أخذ صنف القسمة لبعض${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}-\{0\}}$بواسطة${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$- الإجراء. على وجه الخصوص، يرسل الإجراء مجموعة بيانات

${\displaystyle g\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto (g^{a_{0}}x_{0},\ldots ,g^{a_{n}}x_{n})}$

وناتج قسمة هذا الفعل يعطي الفضاء الإسقاطي الموزون${\displaystyle \mathbb {WP} (a_{0},\ldots ,a_{n})}$وبما أنه يمكن اعتبار هذا بدلاً من ذلك ناتج قسمة مكدس، فإن المكدس الإسقاطي الموزون ^{[ 4 ] صفحة 30} هو

${\displaystyle {\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}):=[\mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]}$

أخذ موضع التلاشي لكثير الحدود الموزون في حزمة خطية${\displaystyle f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))}$يُعطي تنوعًا إسقاطيًا مرجحًا متراصًا .

يمكن إنشاء المنحنيات المكدسة ، أو المنحنيات المدارية، عن طريق أخذ خارج قسمة المكدس لتشكل منحنيات بواسطة مجموعة المونودرومي للغطاء فوق النقاط العامة. على سبيل المثال، خذ تشكلًا إسقاطيًا

${\displaystyle {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])}$

وهو بشكل عام إيتالي . خارج قسمة المكدس للمجال بواسطة${\displaystyle \mu _{5}}$يعطي طبقة${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$مع نقاط متراصة تحتوي على مجموعة مثبتة${\displaystyle \mathbb {Z} /5}$عند الجذور الخامسة للوحدة في${\displaystyle x/y}$-المخطط. وذلك لأن هذه هي النقاط التي يتفرع عندها الغلاف.

من الأمثلة على المكدس غير الأفيني نصف الخط ذو الأصلين المكدسين. ويمكن بناء هذا على أنه النهاية المشتركة لتضمينين لـ${\displaystyle [\mathbb {G} _{m}/(\mathbb {Z} /2)]\to [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]}$.