مخطط مشتق

كما أن الهندسة الجبرية الأفينية مكافئة ( بالمعنى الفئوي ) لنظرية الحلقات التبديلية (المعروفة باسم الجبر التبديلي )، فإن الهندسة الجبرية الأفينية المشتقة على خاصية الصفر مكافئة لنظرية الحلقات التفاضلية المتدرجة التبديلية . أحد الأمثلة الرئيسية للمخططات المشتقة يأتي من التقاطع المشتق للمخططات الفرعية لمخطط ما، مما ينتج عنه مُركب كوزول . على سبيل المثال، ليكن${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]=R}$ثم يمكننا الحصول على مخطط مشتق

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{\bullet })=\mathbf {RSpec} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})\right)}$

أين

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}:({\textbf {dga}}_{\mathbb {C} })^{op}\to {\textbf {DerSch}}}$

هو الطيف الإيتالي . بما أننا نستطيع بناء دقة

${\displaystyle {\begin{matrix}0\to &R&{\xrightarrow {\cdot f_{i}}}&R&\to 0\\&\downarrow &&\downarrow &\\0\to &0&\to &R/(f_{i})&\to 0\end{matrix}}}$

الحلقة المشتقة${\displaystyle R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})}$، وهو ناتج موتر مشتق ، هو مركب كوزول${\displaystyle K_{R}(f_{1},\ldots ,f_{k})}$اقتطاع هذا المخطط المشتق إلى السعة${\displaystyle [-1,0]}$يُقدّم نموذجًا كلاسيكيًا يُحفّز الهندسة الجبرية المشتقة. لاحظ أنه إذا كان لدينا مخطط إسقاطي

${\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)}$

أين${\displaystyle \deg(f_{i})=d_{i}}$يمكننا بناء المخطط المشتق${\displaystyle (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {E}}^{\bullet },(f_{1},\ldots ,f_{k}))}$أين

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-d_{k}){\xrightarrow {(\cdot f_{1},\ldots ,\cdot f_{k})}}{\mathcal {O}}]}$

بسعة${\displaystyle [-1,0]}$.

يترك${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$ليكن جبرًا تفاضليًا متدرجًا ثابتًا معرفًا على حقل مميز${\displaystyle 0}$ثم${\displaystyle A_{\bullet }}$- الجبر التفاضلي المتدرج${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})}$يُطلق عليه اسم شبه حر إذا تحققت الشروط التالية:

1. الجبر المتدرج الأساسي${\displaystyle R_{\bullet }}$هي جبر متعدد الحدود على${\displaystyle A_{\bullet }}$وهذا يعني أنه متماثل مع${\displaystyle A_{\bullet }[\{x_{i}\}_{i\in I}]}$
2. يوجد ترشيح${\displaystyle \varnothing =I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots }$على مجموعة الفهرسة${\displaystyle I}$أين${\displaystyle \textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=I}$و${\displaystyle d_{R}(x_{i})\in A_{\bullet }[\{x_{j}\}_{j\in I_{n}}]}$لأي${\displaystyle x_{i}\in I_{n+1}}$.

اتضح أن كل${\displaystyle A_{\bullet }}$تقبل الجبر المتدرج التفاضلي شبه تماثل شامل من شبه حر${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$الجبر التفاضلي المتدرج، ويُسمى حلاً شبه حر. هذه الحلول فريدة حتى تكافؤ التماثل في فئة نموذجية مناسبة . مُركب الظل التمام (النسبي) لـ${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$- الجبر التفاضلي المتدرج${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B})}$يمكن بناؤها باستخدام حل شبه حر${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})\to (B_{\bullet },d_{B})}$: يتم تعريفه على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbb {L} _{B_{\bullet }/A_{\bullet }}:=\Omega _{R_{\bullet }/A_{\bullet }}\otimes _{R_{\bullet }}B_{\bullet }.}$

يمكن إنشاء العديد من الأمثلة عن طريق أخذ الجبر${\displaystyle B}$تمثيل مجموعة متنوعة على حقل ذي خاصية 0، وإيجاد عرض لـ${\displaystyle R}$باعتبارها خارج قسمة جبر متعدد الحدود، مع أخذ مُركب كوزول المرتبط بهذا العرض. يعمل مُركب كوزول كحل شبه حر للجبر التفاضلي المتدرج.${\displaystyle (B_{\bullet },0)}$أين${\displaystyle B_{\bullet }}$هو الجبر المتدرج مع الجزء المتدرج غير التافه في الدرجة 0.

المعقد الظلي لسطح فائق${\displaystyle X=\mathbb {V} (f)\subset \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}}$يمكن حسابها بسهولة: بما أن لدينا dga${\displaystyle K_{R}(f)}$يمثل التحسين المشتق لـ${\displaystyle X}$يمكننا حساب مُركب ظل التمام على النحو التالي:

${\displaystyle 0\to R\cdot ds{\xrightarrow {\Phi }}\bigoplus _{i}R\cdot dx_{i}\to 0}$

أين${\displaystyle \Phi (gds)=g\cdot df}$و${\displaystyle d}$هذا هو الاشتقاق العالمي المعتاد. إذا أخذنا تقاطعًا كاملاً، فإن مُركَّب كوزول

${\displaystyle R^{\bullet }={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1})}}\otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{k})}}}$

هو شبه متماثل مع المركب

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}[+0].}$

وهذا يعني أنه يمكننا بناء مركب الظل التمام للحلقة المشتقة${\displaystyle R^{\bullet }}$باعتباره حاصل الضرب الموتري للمركب الظل التمام أعلاه لكل${\displaystyle f_{i}}$.

يرجى ملاحظة أن مُركب الظل التمام في سياق الهندسة المشتقة يختلف عن مُركب الظل التمام في المخططات الكلاسيكية. أي، إذا كانت هناك نقطة تفرد في السطح الفائق المُعرَّف بواسطة${\displaystyle f}$عندئذٍ، سيكون للمركب الظلي التمام سعة لا نهائية. توفر هذه الملاحظات دافعًا لفلسفة السلاسة الخفية للهندسة المشتقة، نظرًا لأننا نتعامل الآن مع مركب ذي طول محدود.

بفرض دالة متعددة الحدود${\displaystyle f:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m},}$ثم ضع في اعتبارك مخطط السحب العكسي (التماثلي).

${\displaystyle {\begin{matrix}Z&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\downarrow f\\\{pt\}&{\xrightarrow {0}}&\mathbb {A} ^{m}\end{matrix}}}$

حيث يمثل السهم السفلي تضمين نقطة عند نقطة الأصل. ثم، المخطط المشتق${\displaystyle Z}$له متجه مماس عند${\displaystyle x\in Z}$يتم تحديده بواسطة التشكل

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}=T_{x}\mathbb {A} ^{n}{\xrightarrow {df_{x}}}T_{0}\mathbb {A} ^{m}}$

حيث يكون المركب ذو سعة${\displaystyle [-1,0]}$لاحظ أنه يمكن استعادة الفضاء المماسي باستخدام${\displaystyle H^{0}}$و${\displaystyle H^{-1}}$يقيس مدى البعد${\displaystyle x\in Z}$هو من كونه نقطة ملساء.

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle [X/G]}$يوجد وصف جيد للمركب المماسي:

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}={\mathfrak {g}}_{x}\to T_{x}X.}$

إذا لم يكن التشكل أحاديًا، فإن${\displaystyle H^{-1}}$يقيس هذا مجددًا مدى تفرد الفضاء. بالإضافة إلى ذلك، تُعطي خاصية أويلر لهذا المركب البُعد الصحيح (الافتراضي) لمجموعة القسمة . على وجه الخصوص، إذا نظرنا إلى مجموعة معاملات العناصر الرئيسية${\displaystyle G}$إذا كانت الحزم - فإن المركب المماسي يكون ببساطة${\displaystyle {\mathfrak {g}}[+1]}$.

لنأخذ في الاعتبار التنوع الأفيني

${\displaystyle M=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y])}$

والدالة المنتظمة المعطاة بواسطة${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{3}}$. ثم،

${\displaystyle \Gamma _{df}(a,b)=(a,b,2a,3b^{2})}$

حيث نتعامل مع الإحداثيين الأخيرين على النحو التالي:${\displaystyle dx,dy}$. الموضع الحرج المشتق هو المخطط المشتق

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(dx,dy)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2x-dx,3y^{2}-dy)}}\right).}$

لاحظ أنه بما أن الحد الأيسر في التقاطع المشتق هو تقاطع كامل، فيمكننا حساب مُركب يُمثل الحلقة المشتقة على النحو التالي:

${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2-dx,3y^{2}-dy)}}}$

أين${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])}$هو مجمع كوزول.

على سبيل المثال، إذا

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=x^{2}+y^{3}\end{cases}}}$

لدينا مجمع

${\displaystyle R\cdot \partial x\wedge \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R\cdot \partial x\oplus R\cdot \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R}$

يمثل التحسين المشتق لـ${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$.