مُركب ظل الزاوية

يُعدّ أحد التطبيقات المباشرة الأولى لمركب الظل التمام في نظرية التشوه. على سبيل المثال، إذا كان لدينا مخطط${\displaystyle f:X\to S}$وسماكة متناهية الصغر تساوي صفرًا مربعًا${\displaystyle S\to S'}$، أي تشاكل المخططات حيث النواة

${\displaystyle {\mathcal {I}}={\text{ker}}\{{\mathcal {O}}_{S'}\to {\mathcal {O}}_{S}\}}$

لها الخاصية التي مربعها هو حزمة الصفر، لذلك

${\displaystyle {\mathcal {I}}^{2}=0}$

أحد الأسئلة الأساسية في نظرية التشوه هو بناء مجموعة من${\displaystyle X'}$تتناسب مع المربعات الديكارتية من الشكل

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}X&\to &X'\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S'\end{matrix}}\right\}}$

من الأمثلة التي يجب مراعاتها توسيع المخططات المحددة على${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ل${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{2}}$أو المخططات المحددة على حقل${\displaystyle k}$ذات خصائص مميزة${\displaystyle 0}$إلى الخاتم${\displaystyle k[\varepsilon ]}$أين${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$. مُركب ظل التمام${\displaystyle \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }}$ثم يتحكم في المعلومات المتعلقة بهذه المشكلة. يمكننا إعادة صياغتها على أنها تأخذ في الاعتبار مجموعة امتدادات المخطط التبادلي.

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to &{\mathcal {O}}_{X}&\to &0\\&&\uparrow &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {I}}&\to &{\mathcal {O}}_{S'}&\to &{\mathcal {O}}_{S}&\to &0\end{matrix}}}$

وهي مسألة تماثلية. إذن، مجموعة هذه المخططات التي نواتها هي${\displaystyle {\mathcal {G}}}$متماثل مع المجموعة الأبيلية

${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})}$

يُظهر أن مُركب الظل التمام يتحكم في مجموعة التشوهات المتاحة. ^{[ 1 ]} علاوة على ذلك، من الاتجاه الآخر، إذا كانت هناك متتالية تامة قصيرة

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to &{\mathcal {O}}_{X}&\to &0\end{matrix}}}$

يوجد عنصر مقابل

${\displaystyle \xi \in {\text{Ext}}^{2}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})}$

والذي يعني تلاشيه أنه حل لمسألة التشوه المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن المجموعة

${\displaystyle {\text{Ext}}^{0}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})}$

يتحكم في مجموعة التشاكلات الذاتية لأي حل ثابت لمسألة التشوه.

من أهم الخصائص الهندسية للمركب الظلي التمام حقيقة أنه بالنظر إلى تشاكل من${\displaystyle S}$-مخططات

${\displaystyle f:X\to Y}$

يمكننا تكوين مركب الظل التمام النسبي${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }}$كمخروط

${\displaystyle f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }}$

يندرج ضمن مثلث مميز

${\displaystyle f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }\xrightarrow {+1} }$

يُعد هذا أحد أركان مجمعات الظل التمام لأنه ينطوي على تشوهات في التشكل${\displaystyle f}$ل${\displaystyle S}$تُسيطر هذه المجموعة المعقدة على المخططات. على وجه الخصوص،${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }}$يتحكم في تشوهات${\displaystyle f}$كشكل ثابت في${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(X,Y)}$تشوهات${\displaystyle X}$والتي يمكن أن تمتد${\displaystyle f}$وهذا يعني وجود تماثل${\displaystyle f':X'\to S}$والتي تؤثر على خريطة الإسقاط${\displaystyle X'\to X}$مؤلف من${\displaystyle f}$وتشوهات${\displaystyle Y}$تم تعريفها بشكل مماثل. تُعد هذه التقنية أساسية لنظرية غروموف-ويتن (انظر أدناه)، التي تدرس التشكلات من المنحنيات الجبرية ذات الجنس الثابت وعدد الثقوب الثابت إلى مخطط${\displaystyle X}$.

لنفترض أن B و C هما جبر A بحيث${\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)=0}$لكل q > 0. ثم توجد شبه تماثلات ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{B\otimes _{A}C/C}&\cong C\otimes _{A}L^{B/A}\\L^{B\otimes _{A}C/A}&\cong \left(L^{B/A}\otimes _{A}C\right)\oplus \left(B\otimes _{A}L^{C/A}\right)\end{aligned}}}$

إذا كانت C جبرًا مسطحًا من النوع A ، فإن الشرط هو${\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)}$يتلاشى تلقائيًا عندما تكون قيمة q أكبر من الصفر . وتثبت الصيغة الأولى أن إنشاء مُركّب الظل التمام محلي على القاعدة في الطوبولوجيا المسطحة .

لتكن f  : A → B. إذن: ^{[ 11 ] [ 12 ]}

• إذا كان B موضعًا لـ A ، فإن${\displaystyle L_{B/A}\simeq 0}$.
• إذا كان f تشاكلًا إيتاليًا ، فإن${\displaystyle L_{B/A}\simeq 0}$.
• إذا كان f تشاكلًا أملسًا ، فإن${\displaystyle L_{B/A}}$متماثلة شبهياً مع${\displaystyle \Omega _{B/A}}$وعلى وجه الخصوص، فإن بُعدها الإسقاطي يساوي صفرًا.
• إذا كان f تشاكل تقاطع كامل محلي ، فإن${\displaystyle L_{B/A}}$هو مركب مثالي بسعة تور في الفترة [-1,0]. ^{[ 13 ]}
• إذا كانت A نوثرية،${\displaystyle B=A/I}$، و${\displaystyle I}$يتم توليدها بواسطة تسلسل منتظم ، ثم${\displaystyle I/I^{2}}$هو وحدة إسقاطية و${\displaystyle L_{B/A}}$متماثلة شبهياً مع${\displaystyle I/I^{2}[1].}$
• إذا كان f تشاكلاً بين جبر k- كامل على حقل k كامل ذي خاصية p > 0 ، فإن${\displaystyle L_{B/A}\simeq 0}$[ ^{14 ]​}

تُتيح نظرية مُركّب الظل المُرافق إمكانية تقديم توصيف هومولوجي لتشاكلات التقاطع الكامل المحلي (lci)، على الأقل في ظل افتراضات نوثرية. ليكن f  : A → B تشاكلًا بين حلقات نوثرية بحيث تكون B جبرًا منتهيًا على A. وكما أعاد كويلين تفسيره، يُظهر عمل ليشتنباوم-شليسنجر أن زمرة أندريه-كويلين الهومولوجي الثانية${\textstyle D_{2}(B/A,M)}$تتلاشى لجميع وحدات B -modules M إذا وفقط إذا كانت f دالة lci. ^{[ 15 ]} وبالتالي، بالجمع مع نتيجة التلاشي المذكورة أعلاه، نستنتج ما يلي:

يكون التشاكل f  : A → B من النوع lci إذا وفقط إذا${\displaystyle L_{B/A}}$هو مركب مثالي بسعة تور في [-1,0].

وافترض كويلين كذلك أنه إذا كان مركب ظل التمام${\displaystyle L_{B/A}}$إذا كان للدالة f بُعد إسقاطي محدود، وكانت B ذات بُعد Tor محدود كوحدة نمطية A ، فإنها تكون دالة lci. ^{[ 16 ]} وقد أثبت ذلك لوتشيزار أفراموف في ورقة بحثية نُشرت عام 1999 في مجلة Annals . ^{[ 17 ]} كما وسّع أفراموف مفهوم تشاكل lci ليشمل حالة النوع غير المحدود، بافتراض أن التشاكل f ذو بُعد مسطح محدود محليًا، وأثبت أن نفس التوصيف الهومولوجي لتشاكلات lci ينطبق هناك (باستثناء${\displaystyle L_{B/A}}$لم تعد مثالية). وقد تم تحسين نتيجة أفراموف مؤخرًا بواسطة بريغز-إينغار، الذي أظهر أن خاصية lci تتبع بمجرد إثبات ذلك.${\displaystyle {\textstyle D_{n}(B/A,-)}}$يختفي لأي شخص واحد${\displaystyle n\geq 2}$[ ^{18 ]​}

في كل هذا، من الضروري افتراض أن الحلقات المعنية هي حلقات نوثرية. على سبيل المثال، ليكن k حقلاً مثالياً ذا خاصية p > 0. عندئذٍ، كما ذُكر أعلاه،${\displaystyle L_{B/A}}$يتلاشى لأي تشاكل A → B لجبر k المثالي . ولكن ليس كل تشاكل لجبر k المثالي هو lci. ^{[ 19 ]}

أظهر بهارجاف بهات أن المركب الظلي يحقق (اشتق) الانحدار المسطح الأمين . ^{[ 20 ]} بعبارة أخرى، لأي تشاكل مسطح أمين f  : A → B لجبر R ، يكون لدينا تكافؤ

${\displaystyle L_{A/R}\simeq \mathrm {Tot} (L_{\mathrm {Cech} (A\to B)/R})}$

في الفئة المشتقة من R ، حيث يشير الجانب الأيمن إلى حد التماثل للكائن المتماثل المعطى بأخذ${\textstyle L_{-/R}}$من Čech conerve لـ f . (إن Čech conerve هو الكائن المتماثل الذي يحدد مركب Amitsur .) بشكل عام، فإن جميع القوى الخارجية لمركب الظل التمام تحقق الهبوط المسطح الأمين.

يترك${\displaystyle X\in \operatorname {Sch} /S}$يكون سلسًا. عندئذٍ يكون مُركب ظل التمام هو${\displaystyle \Omega _{X/S}}$في إطار بيرتيلو، يتضح هذا من خلال أخذ${\displaystyle V=X}$. بشكل عام، étale محليا على${\displaystyle S,X}$هو فضاء أفيني محدود الأبعاد والتشاكل${\displaystyle X\to S}$هو إسقاط، لذلك يمكننا اختزاله إلى الحالة التي${\displaystyle S=\operatorname {Spec} (A)}$و${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A[x_{1},\ldots ,x_{n}]).}$يمكننا اتخاذ قرار بشأن${\displaystyle \operatorname {Spec} (A[x_{1},\ldots ,x_{n}])}$ليكون هو خريطة الهوية، ومن ثم يتضح أن مركب الظل التمام هو نفسه تفاضلات كاهلر.

يترك${\displaystyle i:X\to Y}$كن تضمينًا مغلقًا للمخططات السلسة في${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$باستخدام المثلث الدقيق المقابل للتشاكلات${\displaystyle X\to Y\to S}$، يمكننا تحديد مركب ظل التمام${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$وللقيام بذلك، لاحظ أنه وفقًا للمثال السابق، فإن مركبات ظل التمام${\displaystyle \mathbf {L} _{X/S}}$و${\displaystyle \mathbf {L} _{Y/S}}$تتكون من تروس تفاضلية من نوع كاهلر${\displaystyle \Omega _{X/S}}$و${\displaystyle \Omega _{Y/S}}$تكون قيمها في الدرجة الصفرية، على التوالي، وتساوي صفرًا في جميع الدرجات الأخرى. المثلث التام يعني أن${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$تكون غير صفرية فقط في الدرجة الأولى، وفي تلك الدرجة، تكون نواة التطبيق${\displaystyle i^{*}\mathbf {L} _{Y/S}\to \mathbf {L} _{X/S}.}$هذه النواة هي الحزمة المتعامدة، والمتتالية التامة هي المتتالية التامة المتعامدة، لذا في الدرجة الأولى،${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$هي الحزمة المعيارية المشتركة${\displaystyle C_{X/Y}}$.

وبشكل أعم، تشاكل تقاطع كامل محلي${\displaystyle X\to Y}$مع هدف أملس يكون له مركب ظل تمام مثالي في السعة${\displaystyle [-1,0].}$هذا يُعطى بواسطة المركب

${\displaystyle I/I^{2}\to \Omega _{Y}|_{X}.}$

على سبيل المثال، مُركب ظل التمام للمكعب الملتوي${\displaystyle X}$في${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$يُعطى بواسطة المركب

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {s}}\Omega _{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}.}$

في نظرية غروموف-ويتن، يدرس علماء الرياضيات الثوابت الهندسية العددية للمنحنيات ذات النقاط n على الفضاءات. وبشكل عام، توجد مجموعات جبرية

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

وهي فضاءات المعاملات للخرائط

${\displaystyle \pi :C\to X}$

من الجنس${\displaystyle g}$منحنيات مع${\displaystyle n}$تُحدث هذه الثقوب ثقوبًا في هدف ثابت. وبما أن الهندسة التعدادية تدرس السلوك العام لمثل هذه الخرائط، فإن نظرية التشوه التي تتحكم في هذا النوع من المشكلات تتطلب تشوه المنحنى.${\displaystyle C}$الخريطة${\displaystyle \pi }$والمساحة المستهدفة${\displaystyle X}$لحسن الحظ، يمكن تتبع كل هذه المعلومات المتعلقة بنظرية التشوه بواسطة مُركب الظل التمام.${\displaystyle \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }}$باستخدام المثلث المميز

${\displaystyle \pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }\to }$

مرتبط بتكوين التشكلات

${\displaystyle C\xrightarrow {\pi } X\rightarrow {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

يمكن حساب مُركب الظل التمام في العديد من الحالات. في الواقع، بالنسبة لمتشعب معقد${\displaystyle X}$، ويُعطى مُركب ظل تمامه بالصيغة التالية${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$وسلسة${\displaystyle n}$منحنى مثقوب${\displaystyle C}$وهذا ما يُعطى بواسطة${\displaystyle \Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n})}$من النظرية العامة للفئات المثلثية ، المركب المماسي التمام${\displaystyle \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }}$متماثل تقريبًا مع المخروط

${\displaystyle {\text{Cone}}(\pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet })\simeq {\text{Cone}}(\pi ^{*}\Omega _{X}^{1}\to \Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n}))}$

• https://mathoverflow.net/questions/372128/what-is-the-cotangent-complex-good-for

• مُركب ظل التمام اللوغاريتمي
• طيف المعقد الظلي وطيف ثوم