الفئة المشتقة

في الرياضيات ، تُعدّ الفئة المشتقة D ( A ) للفئة الأبيلية A بناءً من الجبر الهومولوجي، أُدخل لتحسين وتبسيط نظرية الدوال المشتقة المعرفة على A. ويستند هذا البناء إلى أن عناصر D ( A ) يجب أن تكون سلاسل مركبة في A ، حيث تُعتبر سلسلتان مركبتان متماثلتين عندما توجد دالة سلسلة تُحدث تماثلاً على مستوى هومولوجيتهما . ويمكن بعد ذلك تعريف الدوال المشتقة للسلاسل المركبة، مما يُحسّن مفهوم التماثل الفائق . وتؤدي هذه التعريفات إلى تبسيط كبير للصيغ التي تُوصف (بشكل غير دقيق تمامًا) بمتتاليات طيفية معقدة .

يُعدّ تطوير الفئة المشتقة، على يد ألكسندر غروتينديك وتلميذه جان لويس فيردييه بعد عام 1960 بقليل، بمثابة نقطة تحول في التطور الهائل للجبر التماثلي في خمسينيات القرن العشرين، وهو عقد شهد فيه تقدماً ملحوظاً. وقد دُوّنت النظرية الأساسية لفيردييه في أطروحته، التي نُشرت أخيراً عام 1996 في مجلة أستيريسك (بعد أن نُشر ملخص لها سابقاً في مجلة SGA 4½ ). تطلّبت البديهيات ابتكاراً، وهو مفهوم الفئة المثلثية ، ويستند البناء على توطين الفئة ، وهو تعميم لتوطين الحلقة . وقد انبثق الدافع الأصلي لتطوير الشكلية "المشتقة" من الحاجة إلى إيجاد صياغة مناسبة لنظرية الازدواجية المتماسكة لغروتينديك . ومنذ ذلك الحين، أصبحت الفئات المشتقة ضرورية حتى خارج نطاق الهندسة الجبرية ، على سبيل المثال في صياغة نظرية الوحدات-D والتحليل الميكرولوكالي . أصبحت الفئات المشتقة حديثًا مهمة أيضًا في مجالات أقرب إلى الفيزياء، مثل الأغشية D والتناظر المرآوي .

تم تقديم الفئات المشتقة غير المحدودة بواسطة سبالتنشتاين في عام 1988.

في نظرية الحزم المتماسكة ، عند تجاوز حدود ما يمكن فعله بازدواجية سير دون افتراض مخطط غير شاذ ، برزت الحاجة إلى استخدام مجموعة كاملة من الحزم بدلًا من حزمة ثنائية واحدة. في الواقع، يتوافق شرط حلقة كوهين-ماكولي ، وهو إضعاف لعدم الشذوذ، مع وجود حزمة ثنائية واحدة؛ وهذا بعيد كل البعد عن الحالة العامة. من منظور التفكير التنازلي، الذي تبناه غروتينديك دائمًا، دلّ هذا على ضرورة إعادة الصياغة. وبرزت معه فكرة أن جداء الموتر "الحقيقي" ودوال Hom ستكون تلك الموجودة على المستوى المشتق؛ وبالنسبة لتلك الدوال، يصبح كل من Tor و Ext أشبه بأجهزة حسابية.

على الرغم من مستوى التجريد، حظيت الفئات المشتقة بقبول واسع خلال العقود اللاحقة، لا سيما باعتبارها إطارًا ملائمًا لعلم التماثل الحزمي . ولعلّ أبرز إنجازاتها صياغة تطابق ريمان-هيلبرت في الأبعاد الأكبر من 1 باستخدام المصطلحات المشتقة، حوالي عام 1980. وقد تبنّت مدرسة ساتو لغة الفئات المشتقة، وكان تاريخ وحدات D اللاحق بمثابة نظرية مُعبَّر عنها بهذه المصطلحات.

كان هناك تطور موازٍ يتمثل في فئة الأطياف في نظرية التماثل . وتُعد فئة التماثل للأطياف والفئة المشتقة للحلقة مثالين على الفئات المثلثية .

يترك${\displaystyle {\mathcal {A}}}$أن تكون فئة تبديلية . (تشمل الأمثلة فئة الوحدات فوق حلقة وفئة حزم الزمر التبديلية على فضاء طوبولوجي). الفئة المشتقة${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$يتم تعريفها بواسطة خاصية شاملة فيما يتعلق بالفئة${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$من مركبات السلسلة المشتركة ذات المصطلحات في${\displaystyle {\mathcal {A}}}$أغراض${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$وهي على شكل

${\displaystyle \cdots \to X^{-1}\xrightarrow {d^{-1}} X^{0}\xrightarrow {d^{0}} X^{1}\xrightarrow {d^{1}} X^{2}\to \cdots ,}$

حيث يمثل كل X ⁱ كائنًا من${\displaystyle {\mathcal {A}}}$وكل من المركبات${\displaystyle d^{i+1}\circ d^{i}}$يساوي صفرًا. مجموعة التماثل i للمركب هي${\displaystyle H^{i}(X^{\bullet })=\operatorname {ker} d^{i}/\operatorname {im} d^{i-1}}$. لو${\displaystyle (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })}$و${\displaystyle (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$إذا كان هناك كائنان في هذه الفئة، فإنهما يشكلان تشاكلاً.${\displaystyle f^{\bullet }\colon (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })\to (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$يُعرَّف بأنه عائلة من التشكلات${\displaystyle f_{i}\colon X^{i}\to Y^{i}}$بحيث${\displaystyle f_{i+1}\circ d_{X}^{i}=d_{Y}^{i}\circ f_{i}}$يُحفز هذا النوع من التشاكل تشاكلات على مجموعات التماثل.${\displaystyle H^{i}(f^{\bullet })\colon H^{i}(X^{\bullet })\to H^{i}(Y^{\bullet })}$، و${\displaystyle f^{\bullet }}$يُطلق عليه اسم شبه تماثل إذا كان كل من هذه التشكلات تماثلًا في${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

الخاصية العامة للفئة المشتقة هي أنها تمثل توطينًا لفئة المركبات بالنسبة إلى التشاكلات شبهية. على وجه التحديد، الفئة المشتقة${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$هي فئة، بالإضافة إلى دالة${\displaystyle Q\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to D({\mathcal {A}})}$، ولها الخاصية العامة التالية: لنفترض${\displaystyle {\mathcal {C}}}$وهي فئة أخرى (ليست بالضرورة أبيلية) و${\displaystyle F\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to {\mathcal {C}}}$هو دالة بحيث، كلما${\displaystyle f^{\bullet }}$هو شبه تماثل في${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$صورتها${\displaystyle F(f^{\bullet })}$هو تماثل في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$؛ ثم${\displaystyle F}$العوامل من خلال${\displaystyle Q}$أي فئتين تمتلكان هذه الخاصية العامة تكونان متكافئتين.

كما ذكرنا سابقاً، في الفئة المشتقة، يتم التعبير عن مجموعات hom من خلال الأسقف أو الوديان${\displaystyle X\rightarrow Y'\leftarrow Y}$، أين${\displaystyle Y\to Y'}$هو شبه تماثل. للحصول على صورة أوضح لشكل العناصر، انظر إلى متتالية تامة.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{n}{\overset {\phi _{n,n-1}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{n-1}{\overset {\phi _{n-1,n-2}}{\rightarrow }}\cdots {\overset {\phi _{1,0}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{0}\to 0}$

يمكننا استخدام هذا لإنشاء تشاكل${\displaystyle \phi$ :{\mathcal {E}}_{0}\to {\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)]} عن طريق اقتطاع المركب أعلاه، وإزاحته، واستخدام التشكلات الواضحة أعلاه. على وجه الخصوص، لدينا الصورة

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &0&\to &\cdots &\to &0&\to &0\\\uparrow &&\uparrow &&\uparrow &&\cdots &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &{\mathcal {E}}_{n-1}&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{1}&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &0&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{0}&\to &0\end{matrix}}}$

حيث يحتوي المجمع السفلي${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$مركزة في الدرجة${\displaystyle 0}$السهم الوحيد غير التافه المتجه للأعلى هو تشاكل المساواة، والسهم الوحيد غير التافه المتجه للأسفل هو${\displaystyle \phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$يُعرّف هذا المخطط للمركبات التشكل الهندسي.

${\displaystyle \phi \in \mathbf {RHom} ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)])}$

في الفئة المشتقة. أحد تطبيقات هذه الملاحظة هو بناء فئة أتيياه. ^{[ 5 ]}

لأغراض معينة (انظر أدناه) يتم استخدام المحدود من الأسفل (${\displaystyle X^{n}=0}$ل${\displaystyle n\ll 0}$), محدود من الأعلى (${\displaystyle X^{n}=0}$ل${\displaystyle n\gg 0}$) أو محدودة (${\displaystyle X^{n}=0}$ل${\displaystyle |n|\gg 0}$) مركبات بدلاً من المركبات غير المحدودة. وعادة ما يُشار إلى الفئات المشتقة المقابلة بـ D ⁺ (A) و D ⁻ (A) و D ^b (A) على التوالي.

إذا اعتمدنا المنظور الكلاسيكي للفئات، القائل بوجود مجموعة من التشكلات من كائن إلى آخر (وليس مجرد فئة )، فسيتعين علينا تقديم حجة إضافية لإثبات ذلك. على سبيل المثال، إذا كانت الفئة الأبيلية A صغيرة، أي تحتوي فقط على مجموعة من الكائنات، فلن تُشكل هذه المسألة عائقًا. كذلك، إذا كانت A فئة غروتينديك أبيلية ، فإن الفئة المشتقة D ( A ) تُكافئ فئة فرعية كاملة من فئة التماثل K ( A )، وبالتالي تحتوي فقط على مجموعة من التشكلات من كائن إلى آخر. ^{[ 6 ]} تشمل فئات غروتينديك الأبيلية فئة الوحدات النمطية فوق حلقة، وفئة حزم الزمر الأبيلية على فضاء طوبولوجي، والعديد من الأمثلة الأخرى.

يتم تركيب التشكلات، أي الأسقف، في الفئة المشتقة بإيجاد سقف ثالث فوق السقفين المراد تركيبهما. ويمكن التحقق من إمكانية ذلك، مما ينتج عنه تركيب ترابطي محدد جيدًا.

بما أن K(A) فئة مثلثية ، فإن موضعها D(A) مثلثي أيضًا. بالنسبة لعدد صحيح n وعدد مركب X ، نُعرّف ^{[ 7 ]} العدد المركب X [ n ] بأنه X مُزاح لأسفل بمقدار n ، بحيث

${\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i},}$

مع تفاضلي

${\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.}$

بحسب التعريف، المثلث المميز في D(A) هو مثلث متماثل في D(A) مع المثلث X → Y → Cone( f ) → X [1] لبعض الدوال المركبة f : X → Y. هنا، يرمز Cone( f ) إلى مخروط الدالة f . على وجه الخصوص، بالنسبة لمتتالية تامة قصيرة

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$

في A ، يتم تمييز المثلث X → Y → Z → X [1] في D(A) . أوضح فيردييه أن تعريف الإزاحة X [1] مفروض باشتراط أن يكون X [1] مخروط التشكل X → 0. ^{[ 8 ]}

باعتبار أي عنصر من A مجموعة مركبة مركزة في الدرجة الصفرية، فإن الفئة المشتقة D(A) تحتوي على A كفئة فرعية كاملة . تتضمن التشكلات في الفئة المشتقة معلومات حول جميع مجموعات Ext : لأي عنصرين X و Y في A وأي عدد صحيح j ،

${\displaystyle {\text{Hom}}_{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])={\text{Ext}}_{\mathcal {A}}^{j}(X,Y).}$

يمكن إثبات أن التكافؤ التشاكلي هو شبه تماثل بسهولة ، لذا يمكن حذف الخطوة الثانية في البناء المذكور أعلاه. عادةً ما يُعطى التعريف بهذه الطريقة لأنه يكشف عن وجود دالة قانونية.

${\displaystyle K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}}).}$

في الحالات العملية، يصعب أو يستحيل التعامل مع التشكلات في الفئة المشتقة مباشرةً. لذا، يُبحث عن فئة أسهل في التعامل تُكافئ الفئة المشتقة. تقليديًا، يوجد منهجان (مزدوجان) لهذا الغرض: الحلول الإسقاطية والحلول الحقنية . في كلتا الحالتين، يُؤدي تقييد الدالة الأساسية المذكورة أعلاه على فئة فرعية مناسبة إلى تكافؤ الفئات .

فيما يلي سنصف دور الحلول الحقنية في سياق الفئة المشتقة، والتي تشكل الأساس لتعريف الدوال المشتقة اليمنى ، والتي بدورها لها تطبيقات مهمة في علم التماثل للحزم على الفضاءات الطوبولوجية أو نظريات علم التماثل الأكثر تقدمًا مثل علم التماثل الإيتالي أو علم التماثل الجماعي .

لتطبيق هذه التقنية، يجب افتراض أن الفئة الأبيلية المعنية تحتوي على عدد كافٍ من العناصر الحقنية ، أي أن كل عنصر X في هذه الفئة يقبل تماثلًا أحاديًا مع عنصر حقني I. (لا يشترط تحديد كل من الدالة والعنصر الحقني بشكل فريد). على سبيل المثال، تحتوي كل فئة أبيلية من نوع غروتينديك على عدد كافٍ من العناصر الحقنية. بتضمين X في عنصر حقني I₀ ^، ثم تضمين نواة هذه الدالة في عنصر حقني I₁ ^، وهكذا، نحصل على تحليل حقني لـ X ، أي متتالية تامة (غير منتهية عمومًا).

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,\,}$

حيث تمثل I * كائنات أحادية. تُعمم هذه الفكرة لإعطاء حلول للمجمعات المحدودة من الأسفل X ، أي X ^_n = 0 لقيم n صغيرة بما فيه الكفاية . وكما ذُكر سابقًا، فإن الحلول الأحادية ليست مُعرّفة بشكل فريد، ولكن من المؤكد أن أي حلين متكافئان تماثليًا، أي متماثلان في فئة التماثل. علاوة على ذلك، تمتد تشاكلات المجمعات بشكل فريد إلى تشاكل لحلين أحاديين مُعطيين.

هنا تبرز أهمية فئة التماثل مرة أخرى: إن ربط كائن X من A بأي تحليل حقني I * من A يمتد إلى دالة.

${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\mathrm {Inj} ({\mathcal {A}}))}$

من الفئة المشتقة المحدودة من الأسفل إلى فئة التماثل المحدودة من الأسفل للمركبات التي تكون حدودها كائنات حقنية في A.

ليس من الصعب إدراك أن هذا المؤثر هو في الواقع معكوس لتقييد مؤثر التموضع المتعارف عليه المذكور في البداية. بعبارة أخرى، يمكن حساب التشكلات Hom( X , Y ) في الفئة المشتقة عن طريق تحليل كل من X و Y وحساب التشكلات في فئة التماثل، وهو أمر أسهل نظريًا على الأقل. في الواقع، يكفي تحليل Y : لأي مجموعة مركبة X وأي مجموعة مركبة Y محدودة من الأسفل من الدوال الحقنية،

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).}$

وبالمثل، بافتراض أن A لديها عدد كافٍ من الإسقاطات ، أي لكل كائن X يوجد تشاكل شامل من كائن إسقاطي P إلى X ، يمكن للمرء استخدام الحلول الإسقاطية بدلاً من الحلول الحقنية.

في عام 1988، عرّف سبالتنشتاين فئة مشتقة غير محدودة ( سبالتنشتاين (1988) )، والتي أثبتت فائدتها الفورية في دراسة الفضاءات الشاذة؛ انظر، على سبيل المثال، كتاب كاشيوارا وشابيرا (الفئات والحزم) حول تطبيقات متنوعة للفئة المشتقة غير المحدودة. استخدم سبالتنشتاين ما يُسمى بالتحليلات K-الحقنية و K-الإسقاطية .

يصف كيلر (1994) وماي (2006) الفئة المشتقة من الوحدات النمطية على جبر DG. كما يقدم كيلر تطبيقات على ازدواجية كوزول ، وتماثل جبر لي، وتماثل هوتشيلد .

وبشكل أكثر عمومية، من خلال تكييف التعريفات بعناية، يمكن تعريف الفئة المشتقة من فئة محددة ( كيلر 1996 ) .

تُعدّ الفئة المشتقة إطارًا طبيعيًا لتعريف ودراسة الدوال المشتقة . فيما يلي، لنفترض أن F : A → B دالة للفئات الأبيلية. يوجد مفهومان ثنائيان:

• تُشتق الدوال المشتقة من اليمين من الدوال الدقيقة من اليسار، ويتم حسابها عبر التحليلات الحقنية.
• تُشتق الدوال المشتقة من اليسار من الدوال الدقيقة من اليمين ويتم حسابها عبر التحليلات الإسقاطية.

سنشرح فيما يلي الدوال المشتقة من اليمين. لنفترض أن F دالة تامة من اليسار. من الأمثلة الشائعة F : A → Ab المعطاة بـ X ↦ Hom( X , A ) أو X ↦ Hom( A , X ) لكائن ثابت A ، أو دالة المقاطع العامة على الحزم ، أو دالة الصورة المباشرة . دوالها المشتقة من اليمين هي Ext ⁿ ( – , A ) و Ext ⁿ ( A , – ) و H ⁿ ( X , F ) و R ⁿ f _∗ ( F ) ، على التوالي.

^تتيح لنا الفئة المشتقة تغليف جميع الدوال المشتقة RⁿF في دالة واحدة، وهي ما يُسمى بالدالة المشتقة الكلية RF : D⁺ ⁽ A ) → D⁺ ( B ⁾ . وهي التركيب التالي: D⁺ ( A ⁾ ≅ ^K⁺ ( Inj( A ) ) → K⁺ ⁽ B ) → D⁺ ( B ) ، حيث تم وصف التكافؤ الأول للفئات أعلاه ^. ترتبط الدوال المشتقة الكلاسيكية بالدالة الكلية عبر RⁿF ( X ) = Hⁿ ⁽ RF ( X ) ⁾ . يمكن القول إن RⁿF تتجاهل مُركب السلسلة وتحتفظ ^فقط بالتماثلات، بينما تحتفظ RF بالمُركبات .

تُعدّ الفئات المشتقة، بمعنى ما، المكان "المناسب" لدراسة هذه الدوال. على سبيل المثال، التسلسل الطيفي لغروتينديك لتركيب دالتين

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\stackrel {F}{\rightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {G}{\rightarrow }}{\mathcal {C}},\,}$

بحيث أن F تُسقط الكائنات الحقنية في A على G- اللا دورية (أي R ⁱ G ( F ( I ))  =  0 لجميع i  >  0 و I الحقنية )، هو تعبير عن هوية الدوال المشتقة الكلية التالية.

${\displaystyle R(G\circ F)\cong RG\circ RF.}$

أظهر جيه-إل. فيردييه كيف يمكن اعتبار الدوال المشتقة المرتبطة بفئة أبيلية A بمثابة امتدادات كان على طول تضمينات A في فئات مشتقة مناسبة [ماك لين].

قد يحدث أن لا تكون فئتان أبيليتان A و B متكافئتين، لكن الفئتين المشتقتين منهما D( A ) وD( B ) متكافئتين. غالبًا ما تكون هذه علاقة مثيرة للاهتمام بين A و B. ترتبط هذه التكافؤات بنظرية البنى المثلثية في الفئات المثلثية . فيما يلي بعض الأمثلة. ^{[ 9 ]}

• يترك${\displaystyle \mathrm {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}$لتكن K فئة أبيلية للحزم المتماسكة على الخط الإسقاطي فوق حقل k . ولتكن K ₂ -Rep فئة أبيلية لتمثيلات مخطط كرونكر ذي رأسين. هاتان فئتان أبيليتان مختلفتان تمامًا، لكن فئاتهما المشتقة (المحدودة) متكافئة.
• ليكن Q أي رسم بياني متجهي ، وليكن P رسمًا بيانيًا متجهيًا مُشتقًا من Q بعكس اتجاه بعض الأسهم. عمومًا، تختلف فئات تمثيلات Q و P ، لكن D ^b ( Q -Rep) مكافئ دائمًا لـ D ^b ( P -Rep).
• ليكن X صنفًا أبيليًا ، وY صنفه الأبلي الثنائي . عندئذٍ، يكون D ^b (Coh( X )) مكافئًا لـ D ^b (Coh( Y )) وفقًا لنظرية تحويلات فورييه-موكاي . تُسمى الأصناف ذات الفئات المشتقة المتكافئة من الحزم المتماسكة أحيانًا بشركاء فورييه-موكاي .

• فئة التماثل للمركبات السلسلية
• الهندسة الجبرية غير التبادلية المشتقة
• علم التماثل المتماسك للحزم
• الازدواجية المتماسكة
• الهندسة الجبرية المشتقة

• دورن، إم جي إم فان (2001) [1994]، "الفئة المشتقة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• كيلر، برنارد (1996)، "الفئات المشتقة واستخداماتها" ، في هازوينكل، م. (محرر)، دليل الجبر ، أمستردام: نورث هولاند، ص 671-701 ، ISBN  0-444-82212-7MR 1421815​ 
• كيلر، بيرنهارد (1994)، “اشتقاق فئات المديرية العامة”، الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة ، السلسلة 4، 27 (1): 63–102 ، دوى : 10.24033/asens.1689 ، ISSN 0012-9593 ، MR 1258406  
• ماي، جيه بي (2006)، الفئات المشتقة من وجهة نظر طوبولوجية (ملف PDF)يقدم تفسيراً للفئة المشتقة من الوحدات النمطية على جبر DG.
• سبالتنشتاين، ن. (1988)، "حلول المركبات غير المحدودة" ، كومبوزيتيو ماثيماتيكا ، 65 (2): 121-154 ، ISSN 0010-437X ، MR 0932640  
• فيردير، جان لويس (1996)، “Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes”، Astérisque (بالفرنسية)، 239 ، باريس: Société Mathématique de France ، ISSN 0303-1179 ، MR 1453167  

أربعة كتب دراسية تتناول الفئات المشتقة هي:

• جلفاند، سيرجي الأول؛ مانين ، يوري إيفانوفيتش (2003)، طرق الجبر المتماثل ، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-43583-9، MR 1950475 
• الأماكن القريبة : شابيرا ، بيير (2006)، الفئات والحزم ، Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-27949-5MR 2182076​ 
• ويبل، تشارلز أ. (1994)، مقدمة في الجبر التماثلي ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  38، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-55987-4، MR 1269324 ، OCLC 36131259  
• يكوتيلي، أمنون (2019). الفئات المشتقة . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  183. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1108419338.