سلسلة معقدة

في الرياضيات ، يُعرف المركب السلسلي بأنه بنية جبرية تتكون من سلسلة من الزمر الأبيلية (أو الوحدات النمطية ) وسلسلة من التشاكلات بين الزمر المتتالية، بحيث تكون صورة كل تشاكل موجودة في نواة التشاكل التالي. ويرتبط بالمركب السلسلي خاصية التماثل ، وهي (بشكل عام ) مقياس لمدى عدم دقة المركب السلسلي .

يُشبه مُركّب السلسلة المشتركة مُركّب السلسلة، إلا أن تشاكلاته تكون في الاتجاه المُعاكس. ويُطلق على تماثل مُركّب السلسلة المشتركة اسم التماثل المشترك .

في الطوبولوجيا الجبرية ، يُبنى مُركّب السلسلة الشاذ للفضاء الطوبولوجي X باستخدام تطبيقات متصلة من مُعقّد بسيط إلى X، وتُجسّد تشاكلات مُركّب السلسلة كيفية تقييد هذه التطبيقات بحدود المُعقّد البسيط. يُطلق على تماثل مُركّب السلسلة هذا اسم التماثل الشاذ لـ X، وهو مُتّحد شائع الاستخدام للفضاء الطوبولوجي.

تُدرس سلاسل المركبات في الجبر التماثلي ، ولكنها تُستخدم في العديد من مجالات الرياضيات، بما في ذلك الجبر المجرد ، ونظرية غالوا ، والهندسة التفاضلية ، والهندسة الجبرية . ويمكن تعريفها بشكل أعم في الفئات الأبيلية .

التعريفات

سلسلة معقدة $(A_{\bullet },d_{\bullet })$ هي سلسلة من المجموعات أو الوحدات الأبيلية $\cdots ,A_{0},A_{1},A_{2},\dots$ متصلة بواسطة التماثلات (تسمى عوامل الحدود أو التفاضلات ) $d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}$ بحيث يكون تركيب أي دالتين متتاليتين هو الدالة الصفرية. وبشكل صريح، تحقق التفاضلات $d_{n}\circ d_{n+1}=0$ للجميع $n$ أو باختصار، $d^{2}=0$ يمكن كتابة المركب على النحو التالي:

\cdots \xleftarrow {d_{0}} A_{0}\xleftarrow {d_{1}} A_{1}\xleftarrow {d_{2}} A_{2}\xleftarrow {d_{3}} A_{3}\xleftarrow {d_{4}} A_{4}\xleftarrow {d_{5}} \cdots

مركب السلسلة المشتركة $(A^{\bullet },d^{\bullet })$ هو المفهوم المقابل للمركب السلسلي. ويتكون من سلسلة من المجموعات أو الوحدات الأبيلية $\cdots ,A^{0},A^{1},A^{2},\dots$ متصلة بواسطة التماثلات ( مؤثرات الحدود المشتركة ) $d^{n}:A^{n}\to A^{n+1}$ مُرضٍ $d^{n+1}\circ d^{n}=0$ يمكن كتابة المركب المتشابك بطريقة مشابهة للمركب المتسلسل:

\cdots \xrightarrow {d^{-1}} A^{0}\xrightarrow {d^{0}} A^{1}\xrightarrow {d^{1}} A^{2}\xrightarrow {d^{2}} A^{3}\xrightarrow {d^{3}} A^{4}\xrightarrow {d^{4}} \cdots

في كلتا الحالتين، المؤشر $n$ يُشار إليه بالدرجة ( أو البُعد ). يكمن الفرق بين مُركّبات السلسلة ومُركّبات السلسلة المُشتركة في أن التفاضلات في مُركّبات السلسلة تُقلّل البُعد، بينما في مُركّبات السلسلة المُشتركة تُزيده. تنطبق جميع مفاهيم وتعريفات مُركّبات السلسلة على مُركّبات السلسلة المُشتركة، باستثناء أنها ستتبع هذا الاصطلاح المُختلف للبُعد، وغالبًا ما تُضاف البادئة " مُشتركة" إلى المصطلحات . في هذه المقالة، سنُقدّم تعريفات لمُركّبات السلسلة عندما لا يكون التمييز مطلوبًا.

المعقد السلسلي المحدود هو معقد تكون فيه جميع العناصر تقريبًا $A_{n}$ تكون قيمها صفرًا؛ أي أن المركب المحدود ممتد إلى اليسار واليمين بمقدار صفر. ومن الأمثلة على ذلك المركب السلسلي الذي يُعرّف التماثل التبسيطي لمركب تبسيطي محدود . يكون المركب السلسلي محدودًا من الأعلى إذا كانت جميع الوحدات النمطية التي تزيد عن درجة ثابتة معينة موجودة. $N$ تكون جميع الوحدات التي تقل عن درجة ثابتة معينة تساوي صفرًا، ويكون المعقد محدودًا من الأسفل إذا كانت جميع الوحدات التي تقل عن درجة ثابتة معينة تساوي صفرًا. من الواضح أن المعقد يكون محدودًا من الأعلى والأسفل إذا وفقط إذا كان المعقد محدودًا.

تُسمى عناصر المجموعات الفردية لمركب السلسلة (المشتركة) بالسلاسل (المشتركة) . العناصر الموجودة في نواة $d$ تُسمى هذه العناصر دورات (أو عناصر مغلقة )، وتُسمى العناصر الموجودة في صورة d حدودًا (أو عناصر دقيقة ). من تعريف التفاضل، جميع الحدود هي دورات. زمرة التماثل (أو التماثل المشترك) من الرتبة n ، H _n ( H  ^n )، هي زمرة الدورات (أو الحدود) بتردد الحدود (أو الحدود) من الدرجة n ، أي

H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)

التسلسلات الدقيقة

المتتالية التامة (أو المركب التام ) هي سلسلة مركبة تكون فيها جميع مجموعات التماثل صفرًا. وهذا يعني أن جميع العناصر المغلقة في المركب تامة. المتتالية التامة القصيرة هي متتالية تامة محدودة، حيث لا تكون المجموعات A _k ، A _{k +1} ، A _{k +2} غير صفرية. على سبيل المثال، السلسلة المركبة التالية هي متتالية تامة قصيرة.

\cdots {\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\;\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {\times p}}\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\cdots

في المجموعة الوسطى، العناصر المغلقة هي العناصر p Z ؛ من الواضح أن هذه هي العناصر الدقيقة في هذه المجموعة.

خرائط السلسلة

خريطة سلسلة f بين سلسلتين معقدتين $(A_{\bullet },d_{A,\bullet })$ و $(B_{\bullet },d_{B,\bullet })$ هو تسلسل $f_{\bullet }$ من التشاكلات $f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}$ لكل قيمة n تتبادل مع عوامل الحدود على مجمعي السلسلة، لذلك $d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}$ . هذا موضح في الرسم التخطيطي التبادلي التالي .

تُرسل خريطة السلسلة الدورات إلى دورات والحدود إلى حدود، وبالتالي تُنشئ خريطة على التماثل. $(f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })$ .

يُنشئ تطبيقٌ متصل f بين الفضاءين الطوبولوجيين X و Y تطبيقًا متسلسلًا بين مُركّبات السلاسل الشاذة في X و Y ، وبالتالي يُنشئ تطبيقًا f _* بين التماثل الشاذ في X و Y أيضًا. عندما يكون كلٌ من X و Y مساويًا للكرة n ، فإن التطبيق المُستحث على التماثل يُحدد درجة التطبيق f .

يختزل مفهوم الخريطة المتسلسلة إلى مفهوم الحدود من خلال بناء مخروط الخريطة المتسلسلة.

التماثل المتسلسل

يُتيح التماثل السلسلي ربطَ دالتين سلسليتين تُنتجان الدالة نفسها على مجموعات التماثل، حتى وإن كانت الدالتان مختلفتين. بفرض وجود مُركّبين سلسليين _A و B ، _{ودالتين} سلسليتين f و g : A → B ، _فإن التماثل السلسلي هو سلسلة من التشاكلات hₙ : Aₙ → Bₙ₊₁ بحيث يكون hₙ ₌_A + dBₙ = f - g . _يمكن تمثيل هذه الدوال في مخطط كما يلي، ولكن هذا المخطط ليس تبديليًا.

يمكن التحقق بسهولة من أن التطبيق hd _A + d _B h يُولّد التطبيق الصفري على التماثل، لأي h . ويترتب على ذلك مباشرةً أن f و g يُولّدان التطبيق نفسه على التماثل. يُقال إن f و g متماثلان سلاسلياً (أو ببساطة متماثلان )، وتُحدد هذه الخاصية علاقة تكافؤ بين تطبيقات السلاسل.

ليكن X و Y فضاءين طوبولوجيين. في حالة التماثل الشاذ، يُنشئ التماثل بين الدالتين المتصلتين f و g : X → Y تماثلًا سلاسليًا بين الدالتين السلسليتين المناظرتين لـ f و g . يُبين هذا أن دالتين متماثلتين تُنشئان الدالة نفسها في التماثل الشاذ. وقد استُوحِيَ اسم "التماثل السلسلي" من هذا المثال.

أمثلة

التماثل الفريد

ليكن X فضاءً طوبولوجيًا. عرّف C _n ( X ) لـ n طبيعي على أنه المجموعة الأبيلية الحرة المولدة رسميًا بواسطة n-مبسطات مفردة في X ، وعرّف خريطة الحدود. $\partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)$ يكون

{\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma

حيث تشير علامة القبعة إلى حذف رأس . أي أن حدود المجسم البسيط المفرد هي المجموع المتناوب للقيود المفروضة على وجوهه. ويمكن إثبات أن ∂² ⁼ 0، لذا $(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$ هو مركب سلسلة؛ التماثل المفرد $H_{\bullet }(X)$ هو التماثل لهذا المركب.

يُعدّ التماثل المفرد خاصيةً مفيدةً للفضاءات الطوبولوجية حتى تكافؤ التماثل . زمرة التماثل من الدرجة الصفرية هي زمرة أبيلية حرة على مكونات المسار لـ X.

علم التماثل دي رام

تُشكّل الأشكال التفاضلية من الرتبة k على أي مشعب أملس M فضاءً متجهيًا حقيقيًا يُسمى ^Ωk ( M ) عند الجمع. يُحوّل المشتق الخارجي d من ^Ωk ( M ) إلى ^Ωk⁺¹ ( M )، و d² = 0 ينتج أساسًا من تناظر المشتقات الثانية ، لذا ^فإن الفضاءات المتجهة للأشكال من الرتبة k مع المشتق الخارجي تُشكّل مُركّبًا مُترافقًا.

0{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Re ^{c}}{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Omega ^{0}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{1}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{2}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots

يُطلق على علم التماثل لهذا المركب اسم علم التماثل دي رام لـ M. وتُحدد الدوال الثابتة محليًا بتماثلها . $\Re ^{c}$ مع c عدد المكونات المنفصلة المتبادلة لـ M. وبهذه الطريقة تم توسيع المركب لجعل المركب دقيقًا عند مستوى الشكل الصفري باستخدام عامل المجموعة الجزئية.

تؤدي الخرائط الملساء بين المتشعبات إلى خرائط السلسلة، وتؤدي التماثلات الملساء بين الخرائط إلى تماثلات السلسلة.

فئة المركبات المتسلسلة

سلاسل معقدة من $K$ - تشكل الوحدات النمطية التي تحتوي على خرائط السلسلة كتشاكلات فئة $\mathbf {Ch} _{K}$ ، أين $K$ هي حلقة تبديلية.

لو $V=V_{*}$ و $W=W_{*}$ هي مركبات سلسلة، وحاصل ضربها الموتري $V\otimes W$ هو مركب سلسلة من الدرجة $n$ العناصر المعطاة بواسطة

(V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j\mid i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}

والتفاضل المعطى بواسطة

\partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b

أين $a$ و $b$ هل أي متجهين متجانسين في $V$ و $W$ على التوالي، و $\left|a\right|$ يشير إلى درجة $a$ .

هذا المنتج الموتري يجعل الفئة $\mathbf {Ch} _{K}$ إلى فئة أحادية متناظرة . الكائن المحايد بالنسبة لهذا المنتج الأحادي هو الحلقة الأساسية $K$ يُنظر إليه على أنه سلسلة معقدة من حيث الدرجة $0$ يتم إعطاء عملية التضفير على موترات بسيطة من عناصر متجانسة بواسطة

a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a

تُعدّ العلامة ضرورية لكي يصبح التضفير بمثابة خريطة سلسلة.

علاوة على ذلك، فإن فئة المركبات المتسلسلة من $K$ تحتوي الوحدات النمطية أيضًا على تسلسل داخلي معقد : سلاسل معقدة معينة $V$ و $W$ ، الـ Hom الداخلي لـ $V$ و $W$ ، المشار إليه $\mathrm {Hom} (V,W)$ ، هو المركب السلسلي ذو الدرجة $n$ العناصر المعطاة بواسطة $\Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})$ والتفاضل المعطى بواسطة