حزمة متماسكة

في الرياضيات، وخاصة في الهندسة الجبرية ونظرية المتشعبات المعقدة ، تُعدّ الحزم المتماسكة فئة من الحزم المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالخصائص الهندسية للفضاء الأساسي. ويُعرَّف مفهوم الحزم المتماسكة بالرجوع إلى حزمة من الحلقات التي تُجسّد هذه المعلومات الهندسية.

يمكن اعتبار الحزم المتماسكة تعميمًا للحزم المتجهة . على عكس الحزم المتجهة، تُشكّل الحزم المتماسكة فئة تبديلية ، وبالتالي فهي مغلقة تحت عمليات مثل أخذ النوى والصور والنوى المشتركة . أما الحزم شبه المتماسكة فهي تعميم للحزم المتماسكة، وتشمل الحزم الحرة محليًا ذات الرتبة اللانهائية.

علم التماثل المتماسك للحزم هو أسلوب قوي، وخاصة لدراسة مقاطع حزمة متماسكة معينة.

حزمة شبه متماسكة على فضاء حلقي${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$هي حزمة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- وحدات لها عرض محلي، أي كل نقطة في${\displaystyle X}$حي مفتوح${\displaystyle U}$حيث يوجد تسلسل دقيق

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

بالنسبة لبعض المجموعات (التي قد تكون لانهائية)${\displaystyle I}$و${\displaystyle J}$.

حزمة متماسكة على مساحة دائرية${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$هي حزمة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- وحدات تحقق الخاصيتين التاليتين:

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هو من النوع المحدود على${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$أي كل نقطة في${\displaystyle X}$حي مفتوح${\displaystyle U}$في${\displaystyle X}$بحيث يكون هناك تشاكل شامل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$لبعض الأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$;
2. لأي مجموعة مفتوحة${\displaystyle U\subseteq X}$أي عدد طبيعي${\displaystyle n}$وأي شكل من أشكال التشاكل${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}} من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$الوحدات النمطية، نواة${\displaystyle \varphi }$هو من النوع المحدود.

التشاكلات بين الحزم (شبه) المتماسكة هي نفسها تشاكلات حزم${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-الوحدات.

في أي فضاء حلقي، لا تُشكّل الحزم شبه المتماسكة بالضرورة فئة تبديلية. من ناحية أخرى، تُشكّل الحزم شبه المتماسكة في أي مخطط فئة تبديلية، وهي مفيدة للغاية في هذا السياق. ^{[ 2 ]}

في أي مساحة محاطة بحلقة${\displaystyle X}$تشكل الحزم المتماسكة فئة أبيلية، وهي فئة فرعية كاملة من فئة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-الوحدات. ^{[ 3 ]} (وبالمثل، فئة الوحدات المتماسكة على أي حلقة${\displaystyle A}$هي فئة فرعية أبيلية كاملة من فئة الكل${\displaystyle A}$(الوحدات النمطية). لذا فإن النواة والصورة والنواة المساعدة لأي خريطة من الحزم المتماسكة تكون متماسكة. المجموع المباشر لحزمتين متماسكتين يكون متماسكًا؛ وبشكل أعم، فإن${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$الوحدة التي تمثل امتدادًا لحزمتين متماسكتين تكون متماسكة. ^{[ 4 ]}

تكون الوحدة الفرعية لحزمة متماسكة متماسكة إذا كانت من نوع محدود. الحزمة المتماسكة هي دائمًا${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- وحدة ذات عرض محدود ، مما يعني أن كل نقطة${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$حي مفتوح${\displaystyle U}$بحيث يكون التقييد${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ل${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ل${\displaystyle U}$متماثل مع النواة المشتركة لتشكل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}}$بالنسبة لبعض الأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$و${\displaystyle m}$. لو${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$إذا كان متماسكًا، فعلى العكس من ذلك، كل حزمة من العرض المحدود على${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$متماسك.

حزمة الخواتم${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$يُطلق على المجموعة اسم "متماسكة" إذا كانت متماسكة عند اعتبارها حزمة من الوحدات النمطية فوق نفسها. وعلى وجه الخصوص، تنص نظرية أوكا للتماسك على أن حزمة الدوال التحليلية على فضاء تحليلي معقد${\displaystyle X}$هي حزمة متماسكة من الحلقات. الجزء الرئيسي من البرهان هو الحالة${\displaystyle X=\mathbf {C} ^{n}}$وبالمثل، على مخطط نوثيري محلي${\displaystyle X}$، حزمة الهيكل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$هي حزمة متماسكة من الحلقات. ^{[ 5 ]}

• أن${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$في مساحة محاطة بحلقة${\displaystyle X}$يُطلق عليها اسم حزمة متجهات خالية محليًا من الرتبة المحدودة ، أو حزمة متجهات ، إذا كانت كل نقطة في${\displaystyle X}$حي مفتوح${\displaystyle U}$بحيث يكون التقييد${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$متماثل مع مجموع مباشر محدود من نسخ من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$. لو ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$خالٍ من نفس الرتبة${\displaystyle n}$بالقرب من كل نقطة من${\displaystyle X}$ثم حزمة المتجهات${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يقال إنه من رتبة${\displaystyle n}$.

حزم المتجهات بهذا المعنى النظري للحزم على مخطط${\displaystyle X}$وهي مكافئة لحزم المتجهات المعرفة بطريقة هندسية أكثر، كمخطط${\displaystyle E}$مع التشكل${\displaystyle \pi :E\to X}$وبغطاء من${\displaystyle X}$بواسطة المجموعات المفتوحة${\displaystyle U_{\alpha }}$مع التشاكلات المعطاة${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }}$زيادة${\displaystyle U_{\alpha }}$بحيث يكون التشاكلان فوق التقاطع${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$يختلفان بتشاكل خطي ذاتي. ^{[ 6 ]} (ينطبق التكافؤ المماثل أيضًا على الفضاءات التحليلية المركبة). على سبيل المثال، بالنظر إلى حزمة متجهة${\displaystyle E}$بهذا المعنى الهندسي، الحزمة المقابلة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يُعرَّف على النحو التالي: على مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$، ال${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$-وحدة${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$هي مجموعة أقسام التشكل${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to U}$. يتميز التفسير النظري للحزم المتجهة بميزة أن الحزم المتجهة (على مخطط نوثيري محلي) مدرجة في الفئة الأبيلية للحزم المتماسكة.

• تأتي البكرات المجانية محليًا مزودة بالمعايير القياسية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$عمليات الوحدات النمطية، لكن هذه العمليات تعيد حزمًا حرة محليًا.

• يترك${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$،${\displaystyle R}$حلقة نوثرية. ثم حزم متجهة على${\displaystyle X}$هي بالضبط الحزم المرتبطة بالوحدات الإسقاطية المولدة بشكل نهائي على${\displaystyle R}$أو (بصورة مكافئة) إلى وحدات مسطحة مولدة بشكل محدود على${\displaystyle R}$[ ^{7 ]​}
• يترك${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$،${\displaystyle R}$نوثرية${\displaystyle \mathbb {N} }$-حلقة متدرجة، مخطط إسقاطي على حلقة نوثرية${\displaystyle R_{0}}$ثم كل${\displaystyle \mathbb {Z} }$-مصنف${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle M}$يحدد حزمة شبه متماسكة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}}$هل الحزمة مرتبطة بـ${\displaystyle R[f^{-1}]_{0}}$-وحدة${\displaystyle M[f^{-1}]_{0}}$، أين${\displaystyle f}$هو عنصر متجانس من${\displaystyle R}$بدرجة إيجابية و${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}}$هو الموضع الذي${\displaystyle f}$لا يختفي.
• على سبيل المثال، لكل عدد صحيح${\displaystyle n}$، يترك${\displaystyle R(n)}$يشير إلى المصنف${\displaystyle R}$-الوحدة المعطاة بواسطة${\displaystyle R(n)_{l}=R_{n+l}}$ثم كل${\displaystyle R(n)}$يحدد الحزمة شبه المتماسكة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$على${\displaystyle X}$. لو${\displaystyle R}$يتم إنشاؤه كـ${\displaystyle R_{0}}$- الجبر بواسطة${\displaystyle R_{1}}$، ثم${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$هي حزمة خطية (حزمة قابلة للعكس) على${\displaystyle X}$و${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$هو${\displaystyle n}$القوة الموترية رقم -th لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$. بخاصة،${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$يُطلق عليه اسم حزمة الخط التكرارية على الإسقاطي${\displaystyle n}$-فضاء.
• مثال بسيط على حزمة متماسكة${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ما ليس حزمة متجهة يُعطى بواسطة النواة المشتركة في التسلسل التالي

${\displaystyle {\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0}$

وذلك لأن${\displaystyle {\mathcal {E}}}$يقتصر على موضع تلاشي كثيرتي الحدود، وله ألياف ثنائية الأبعاد، وله ألياف أحادية البعد في أماكن أخرى.

• بكرات مثالية : إذا${\displaystyle Z}$هو مخطط فرعي مغلق لمخطط نوثيري محلي${\displaystyle X}$الحزمة${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$جميع الوظائف العادية تختفي في${\displaystyle Z}$متماسك. وبالمثل، إذا${\displaystyle Z}$هو فضاء تحليلي مغلق من فضاء تحليلي معقد${\displaystyle X}$الحزمة المثالية${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$متماسك.
• حزمة الهيكل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}}$ضمن مخطط فرعي مغلق${\displaystyle Z}$مخطط نوثيري محلي${\displaystyle X}$يمكن اعتبارها حزمة متماسكة على${\displaystyle X}$وبعبارة أدق، هذه هي حزمة الصور المباشرة${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$، أين${\displaystyle i:Z\to X}$هو التضمين. وكذلك بالنسبة للفضاء التحليلي المغلق في الفضاء التحليلي المركب. الحزمة${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$يحتوي على ألياف (معرفة أدناه) ذات بُعد صفر عند نقاط في المجموعة المفتوحة${\displaystyle X-Z}$وألياف ذات بُعد 1 عند نقاط في${\displaystyle Z}$يوجد تسلسل قصير ودقيق من الحزم المتماسكة على${\displaystyle X}$:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.}$

• تحافظ معظم عمليات الجبر الخطي على الحزم المتماسكة. على وجه الخصوص، بالنسبة للحزم المتماسكة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$و${\displaystyle {\mathcal {G}}}$في مساحة محاطة بحلقة${\displaystyle X}$حزمة الضرب الموتري${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}}$وحزمة التشاكلات${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$متماسكة. ^{[ 8 ]}
• يُعطى مثال بسيط غير متماسك لحزمة شبه متماسكة من خلال التمديد بواسطة دالة الصفر. على سبيل المثال، انظر${\displaystyle i_{!}{\mathcal {O}}_{X}}$ل

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y}$^{[ 9 ]}

بما أن هذه الحزمة تحتوي على سيقان غير تافهة، ولكن مقاطعها الكلية معدومة، فلا يمكن أن تكون حزمة شبه متماسكة. والسبب في ذلك هو أن الحزم شبه المتماسكة على مخطط أفيني تُكافئ فئة الوحدات النمطية فوق الحلقة الأساسية، وينتج الاقتران من أخذ المقاطع الكلية.

يترك${\displaystyle f:X\to Y}$ليكن تشاكلاً بين فضاءات حلقية (على سبيل المثال، تشاكلاً بين مخططات ). إذا${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هي حزمة شبه متماسكة على${\displaystyle Y}$ثم الصورة المعكوسة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدة (أو سحب للخلف )${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$شبه متماسك على${\displaystyle X}$[ ^{10 ] بالنسبة} لتشكل المخططات${\displaystyle f:X\to Y}$وحزمة متماسكة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على${\displaystyle Y}$، التراجع${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$لا يكون متماسكاً بشكل عام (على سبيل المثال،${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}}$(والتي قد لا تكون متماسكة)، لكن عمليات سحب الحزم المتماسكة تكون متماسكة إذا${\displaystyle X}$هي نوثرية محلياً. ومن الحالات الخاصة المهمة سحب حزمة متجهة للخلف، وهي حزمة متجهة.

لو${\displaystyle f:X\to Y}$هو تشاكل شبه مضغوط وشبه منفصل للمخططات و${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هي حزمة شبه متماسكة على${\displaystyle X}$ثم حزمة الصورة المباشرة (أو الدفع للأمام )${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$شبه متماسك على${\displaystyle Y}$[ ^{2 ]​}

غالباً ما تكون الصورة المباشرة لحزمة متماسكة غير متماسكة. على سبيل المثال، بالنسبة لحقل${\displaystyle k}$، يترك${\displaystyle X}$كن الخط الأفيني فوق${\displaystyle k}$، وتأمل في التشكل${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} (k)}$ثم الصورة المباشرة${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$هل الحزمة على${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$مرتبط بحلقة كثيرات الحدود${\displaystyle k[x]}$وهذا غير متماسك لأن${\displaystyle k[x]}$له أبعاد لا نهائية كـ${\displaystyle k}$- فضاء متجهي . من ناحية أخرى، فإن الصورة المباشرة لحزمة متماسكة تحت تشاكل مناسب تكون متماسكة، وفقًا لنتائج غراورت وغروتينديك .

سمة مهمة من سمات الحزم المتماسكة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هل خصائص${\displaystyle {\mathcal {F}}}$في نقطة${\displaystyle x}$التحكم في سلوك${\displaystyle {\mathcal {F}}}$في حي من${\displaystyle x}$، أكثر مما ينطبق على حزمة عشوائية. على سبيل المثال، تنصّ مبرهنة ناكاياما (بلغة هندسية) على أنه إذا${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هي حزمة متماسكة على مخطط${\displaystyle X}$ثم الألياف${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)}$ل${\displaystyle F}$في نقطة${\displaystyle x}$(فضاء متجهي فوق حقل البقايا)${\displaystyle k(x)}$) يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت الحزمة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$الصفر في بعض الأحياء المفتوحة لـ${\displaystyle x}$ومن الحقائق ذات الصلة أن بُعد ألياف الحزمة المتماسكة يكون شبه متصل من الأعلى . ^{[ 11 ]} وبالتالي، فإن للحزمة المتماسكة رتبة ثابتة على مجموعة مفتوحة ، بينما يمكن أن تقفز الرتبة لأعلى على مجموعة فرعية مغلقة ذات بُعد أقل.

وبنفس الروح: حزمة متماسكة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$في إطار مخطط${\displaystyle X}$تكون حزمة متجهة إذا وفقط إذا كان ساقها${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$هي وحدة مجانية على الشبكة المحلية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$لكل نقطة${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$[ ^{12 ]​}

في المخطط العام، لا يمكن تحديد ما إذا كانت الحزمة المتماسكة حزمة متجهة من أليافها فقط (مقارنةً بسيقانها). أما في مخطط نوثري محلي مُختزل ، فإن الحزمة المتماسكة تكون حزمة متجهة إذا وفقط إذا كانت رتبتها ثابتة محليًا. ^{[ 13 ]}

لتشكل المخططات${\displaystyle X\to Y}$، يترك${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X}$ليكن التشكل القطري ، وهو غمر مغلق إذا${\displaystyle X}$مقسمة على​${\displaystyle Y}$. يترك${\displaystyle {\mathcal {I}}}$كن الحزمة المثالية من${\displaystyle X}$في${\displaystyle X\times _{Y}X}$ثم حزمة التفاضلات${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}}$يمكن تعريفها بأنها عملية التراجع${\displaystyle \Delta ^{*}{\mathcal {I}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ل${\displaystyle X}$تُسمى أقسام هذه الحزمة أشكالًا من الدرجة الأولى.${\displaystyle X}$زيادة${\displaystyle Y}$ويمكن كتابتها محلياً على${\displaystyle X}$كمجموعات محدودة${\displaystyle \textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}}$للوظائف العادية${\displaystyle f_{j}}$و${\displaystyle g_{j}}$. لو${\displaystyle X}$يكون محليًا من النوع المحدود على حقل${\displaystyle k}$، ثم${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$هي حزمة متماسكة على${\displaystyle X}$.

لو${\displaystyle X}$سلس​​${\displaystyle k}$، ثم${\displaystyle \Omega ^{1}}$(معنى${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$) عبارة عن حزمة متجهة فوق${\displaystyle X}$، والتي تسمى حزمة الظل التمام لـ${\displaystyle X}$ثم الحزمة المماسية${\displaystyle TX}$يُعرَّف بأنه الحزمة المزدوجة${\displaystyle (\Omega ^{1})^{*}}$. ل${\displaystyle X}$تنعيم السطح${\displaystyle k}$من الأبعاد${\displaystyle n}$في كل مكان، تكون حزمة المماس ذات رتبة${\displaystyle n}$.

لو${\displaystyle Y}$هو مخطط فرعي مغلق أملس لمخطط أملس${\displaystyle X}$زيادة${\displaystyle k}$ثم يوجد تسلسل دقيق قصير من حزم المتجهات على${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle 0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,}$

والتي يمكن استخدامها كتعريف للحزمة العادية${\displaystyle N_{Y/X}}$ل${\displaystyle Y}$في${\displaystyle X}$.

من أجل خطة سلسة${\displaystyle X}$فوق حقل${\displaystyle k}$وعدد طبيعي${\displaystyle i}$حزمة المتجهات${\displaystyle \Omega ^{i}}$من نماذج i​${\displaystyle X}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle i}$القوة الخارجية رقم -th لحزمة الظل التمام،${\displaystyle \Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}}$للحصول على تشكيلة سلسة${\displaystyle X}$من الأبعاد${\displaystyle n}$زيادة${\displaystyle k}$الحزمة المتعارف عليها${\displaystyle K_{X}}$يعني حزمة الخطوط${\displaystyle \Omega ^{n}}$وبالتالي، فإن مقاطع الحزمة الكنسية هي نظائر جبرية هندسية لأشكال الحجم على${\displaystyle X}$على سبيل المثال، جزء من الحزمة الأساسية للفضاء الأفيني${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$زيادة${\displaystyle k}$ يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}$

أين${\displaystyle f}$هي متعددة حدود بمعاملات في${\displaystyle k}$.

يترك${\displaystyle R}$ليكن حلقة تبديلية و${\displaystyle n}$عدد طبيعي. لكل عدد صحيح${\displaystyle j}$، هناك مثال مهم لحزمة خطية على الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$زيادة${\displaystyle R}$، مُسَمًّى${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$لتعريف هذا، انظر إلى تشاكل${\displaystyle R}$-مخططات

${\displaystyle \pi$ :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}}

معطاة بالإحداثيات بواسطة${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$(أي، باعتبار الفضاء الإسقاطي فضاءً للفضاءات الخطية أحادية البعد في الفضاء الأفيني، نرسل نقطة غير صفرية في الفضاء الأفيني إلى الخط الذي تمتد عليه.) ​​ثم قسم من${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$على مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$تُعرَّف بأنها دالة منتظمة${\displaystyle f}$على${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$أي متجانسة الدرجة${\displaystyle j}$وهذا يعني أن

${\displaystyle f(ax)=a^{j}f(x)}$

كدوال منتظمة على (${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)}$لجميع الأعداد الصحيحة${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$، هناك تماثل${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)}$حزم الخطوط على${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$.

على وجه الخصوص، كل متعددة حدود متجانسة في${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$درجة علمية${\displaystyle j}$زيادة${\displaystyle R}$يمكن اعتبارها قسمًا عالميًا من${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$زيادة${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$لاحظ أن كل مخطط فرعي مغلق من الفضاء الإسقاطي يمكن تعريفه على أنه مجموعة أصفار مجموعة من كثيرات الحدود المتجانسة، وبالتالي على أنه مجموعة أصفار بعض مقاطع حزم الخطوط.${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$[ ^{14 ] وهذا يختلف عن الحالة الأبسط للفضاء الأفيني، حيث يكون المخطط الفرعي المغلق ببساطة} هو المجموعة الصفرية لمجموعة من الدوال المنتظمة. الدوال المنتظمة على الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$زيادة${\displaystyle R}$هي مجرد "ثوابت" (الحلقة)${\displaystyle R}$)، ولذلك من الضروري العمل مع حزم الخطوط${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$.

قدّم سير وصفًا جبريًا لجميع الحزم المتماسكة على الفضاء الإسقاطي، وهو وصف أكثر دقة مما يحدث في الفضاء الأفيني. أي، ليكن${\displaystyle R}$لنفترض أن لدينا حلقة نوثرية (على سبيل المثال، حقل)، ولننظر في حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$كخاتم متدرج مع كل${\displaystyle x_{i}}$إذا كانت الدرجة 1، فإن كل مولد نهائي متدرج${\displaystyle S}$-وحدة${\displaystyle M}$له حزمة متماسكة مرتبطة به${\displaystyle {\tilde {M}}}$على${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$زيادة${\displaystyle R}$كل حزمة متماسكة على${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ينشأ بهذه الطريقة من تدرج مُولّد بشكل نهائي${\displaystyle S}$-وحدة${\displaystyle M}$(على سبيل المثال، حزمة الخطوط)${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$هل الحزمة مرتبطة بـ${\displaystyle S}$-وحدة${\displaystyle S}$مع تخفيض تصنيفها بواسطة${\displaystyle j}$لكن${\displaystyle S}$-وحدة${\displaystyle M}$ينتج عن ذلك حزمة متماسكة معينة على${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ليس فريدًا؛ إنه فريد فقط حتى التغيير${\displaystyle M}$بواسطة وحدات متدرجة لا تساوي الصفر إلا في عدد محدود من الدرجات. وبشكل أدق، الفئة الأبيلية للحزم المتماسكة على${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$هو خارج قسمة فئة المتدرج المولد بشكل نهائي${\displaystyle S}$-الوحدات النمطية من الفئة الفرعية Serre للوحدات النمطية التي تكون غير صفرية في عدد محدود من الدرجات فقط. ^{[ 15 ]}

الحزمة المماسية للفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$فوق حقل${\displaystyle k}$يمكن وصفها من حيث حزمة الخطوط${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$. أي أن هناك متتالية تامة قصيرة، وهي متتالية أويلر :

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.}$

ويترتب على ذلك أن الحزمة القانونية${\displaystyle K_{\mathbb {P} ^{n}}}$(ثنائي حزمة الخط المحدد لحزمة المماس) متماثل مع${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$هذا حساب أساسي في الهندسة الجبرية. على سبيل المثال، حقيقة أن الحزمة القانونية هي مضاعف سالب لحزمة الخط الواسعة${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$هذا يعني أن الفضاء الإسقاطي هو صنف فانو . وعلى الأعداد المركبة، يعني هذا أن الفضاء الإسقاطي له مقياس كاهلر ذو انحناء ريتشي موجب .

إحدى التقنيات المفيدة لإنشاء حزم المتجهات من الرتبة 2 هي تقنية سير ^{[ 16 ] [ 17 ] صفحة 3} التي تُنشئ تطابقًا بين حزم المتجهات من الرتبة 2.${\displaystyle {\mathcal {E}}}$على نوع إسقاطي سلس${\displaystyle X}$والأنواع الفرعية ذات البعد المشترك 2${\displaystyle Y}$باستخدام نوع معين${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}$- تم حساب المجموعة على${\displaystyle X}$يتم تحديد ذلك من خلال شرط تماثلي على حزمة الخط${\displaystyle \wedge ^{2}{\mathcal {E}}}$(انظر أدناه).

يتم توضيح المراسلات في اتجاه واحد على النحو التالي: بالنسبة لقسم${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})}$يمكننا ربط الموضع المتلاشي${\displaystyle V(s)\subseteq X}$. لو${\displaystyle V(s)}$إذا كانت صنفًا فرعيًا من النوع ذي البعد المشترك 2،

1. إنه تقاطع كامل محلي، بمعنى إذا أخذنا مخططًا خطيًا${\displaystyle U_{i}\subseteq X}$ثم${\displaystyle s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})}$يمكن تمثيلها كدالة${\displaystyle s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}}$، أين${\displaystyle s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))}$و${\displaystyle V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})}$
2. حزمة الخط${\displaystyle \omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}}$متماثل مع الحزمة الكنسية${\displaystyle \omega _{V(s)}}$على${\displaystyle V(s)}$

في الاتجاه الآخر، ^{[ 18 ]} بالنسبة لمتغير فرعي ذي بُعد مشترك 2${\displaystyle Y\subseteq X}$وحزمة خطوط${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$بحيث

1. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0}$
2. ${\displaystyle \omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}}$

يوجد تماثل قانوني

${\displaystyle {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})}$،

وهو دالة وظيفية فيما يتعلق بإدراج البعد المشترك${\displaystyle 2}$الأصناف الفرعية. علاوة على ذلك، فإن أي تماثل مُعطى على اليسار يُقابل حزمة حرة محلية في منتصف الامتداد على اليمين. أي، بالنسبة لـ${\displaystyle s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})}$هذا تماثل، وهناك حزمة حرة محلية مقابلة${\displaystyle {\mathcal {E}}}$من الرتبة 2 التي تتناسب مع متتالية دقيقة قصيرة

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0}$

يمكن بعد ذلك دراسة حزمة المتجهات هذه بشكل أعمق باستخدام الثوابت الكوهومولوجية لتحديد ما إذا كانت مستقرة أم لا. يشكل هذا أساسًا لدراسة معاملات حزم المتجهات المستقرة في العديد من الحالات المحددة، مثل الأصناف الأبيلية المستقطبة أساسًا ^{[ 17 ]} وأسطح K3 ^{[ 19 ]} .

حزمة متجهات${\displaystyle E}$على نوع ناعم${\displaystyle X}$يوجد في حقل فصول تشيرن في حلقة تشاو${\displaystyle X}$،${\displaystyle c_{i}(E)}$في${\displaystyle CH^{i}(X)}$ل${\displaystyle i\geq 0}$[ ^{20 ]} هذه تحقق نفس الخصائص الشكلية التي تحققها فئات تشيرن في علم الطوبولوجيا. على سبيل المثال، لأي متتالية تامة ^قصيرة

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

من حزم المتجهات على${\displaystyle X}$، فئات تشيرن${\displaystyle B}$يتم تقديمها بواسطة

${\displaystyle c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).}$

ويترتب على ذلك أن فئات تشيرن لحزمة متجهة${\displaystyle E}$يعتمد فقط على فئة${\displaystyle E}$في مجموعة غروتينديك${\displaystyle K_{0}(X)}$بحسب التعريف، بالنسبة للمخطط${\displaystyle X}$،${\displaystyle K_{0}(X)}$هو خارج قسمة المجموعة الأبيلية الحرة على مجموعة فئات التشاكل لحزم المتجهات على${\displaystyle X}$بالعلاقة التي${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$لأي تسلسل قصير دقيق كما هو مذكور أعلاه. على الرغم من ذلك${\displaystyle K_{0}(X)}$يصعب حسابها بشكل عام، لكن نظرية K الجبرية توفر العديد من الأدوات لدراستها، بما في ذلك سلسلة من المجموعات ذات الصلة.${\displaystyle K_{i}(X)}$للأعداد الصحيحة${\displaystyle i>0}$.

أحد المتغيرات هو المجموعة${\displaystyle G_{0}(X)}$(أو${\displaystyle K_{0}'(X)}$)، مجموعة غروتينديك من الحزم المتماسكة على${\displaystyle X}$(من الناحية الطوبولوجية، تتمتع نظرية G بالخصائص الشكلية لنظرية بوريل-مور للتماثل في المخططات، بينما تُعد نظرية K نظرية التماثل المقابلة لها .) التماثل الطبيعي${\displaystyle K_{0}(X)\to G_{0}(X)}$يكون تماثلاً إذا${\displaystyle X}$هو مخطط نوثري منتظم منفصل، يستخدم حقيقة أن كل حزمة متماسكة لها تحليل محدود بواسطة حزم متجهة في هذه الحالة. ^{[ 21 ]} على سبيل المثال، يعطي ذلك تعريفًا لفئات تشيرن لحزمة متماسكة على تنوع أملس فوق حقل.

وبشكل أعم، مخطط نوثيري${\displaystyle X}$يقال إن لها خاصية الدقة إذا كانت كل حزمة متماسكة على${\displaystyle X}$له إسقاط شامل من حزمة متجهة ما على${\displaystyle X}$على سبيل المثال، كل مخطط شبه إسقاطي على حلقة نوثرية له خاصية الحل.

عند استخدام حزم المتجهات والحزم الحرة محليًا ذات الرتبة الثابتة المحدودة بشكل متبادل، يجب توخي الحذر للتمييز بين تشاكلات الحزم وتشاكلات الحزم. على وجه التحديد، بالنظر إلى حزم المتجهات${\displaystyle p:E\to X,\,q:F\to X}$، بحكم التعريف، تماثل حزمي${\displaystyle \varphi :E\to F}$هو تشاكل مخطط على${\displaystyle X}$(أي،${\displaystyle p=q\circ \varphi }$) بحيث، لكل نقطة هندسية${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$،${\displaystyle \varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)}$هي دالة خطية ذات رتبة مستقلة عن${\displaystyle x}$وبالتالي، فإنه يُحفز تماثل الحزمة${\displaystyle {\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$ذات رتبة ثابتة بين المناطق الحرة المحلية المقابلة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدات (حزم من أقسام مزدوجة). ولكن قد يكون هناك${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-التشاكل المعياري الذي لا ينشأ بهذه الطريقة؛ أي تلك التي ليس لها رتبة ثابتة.

وعلى وجه الخصوص، حزمة فرعية${\displaystyle E\subseteq F}$هي حزمة فرعية (أي،${\displaystyle {\mathcal {E}}}$هي حزمة فرعية من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$لكن العكس قد يفشل؛ على سبيل المثال، بالنسبة لقاسم كارتييه الفعال${\displaystyle D}$على${\displaystyle X}$،${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\subseteq {\mathcal {O}}_{X}}$هي حزمة فرعية ولكنها عادة ليست حزمة فرعية (لأن أي حزمة خطية تحتوي على حزمتين فرعيتين فقط).

تشكل الحزم شبه المتماسكة على أي مخطط ثابت فئة أبيلية. وقد أظهر غابر أن الحزم شبه المتماسكة على أي مخطط تشكل في الواقع فئة أبيلية ذات سلوك جيد بشكل خاص، وهي فئة غروتينديك . ^{[ 22 ]} مخطط شبه مضغوط شبه منفصل${\displaystyle X}$(مثل التنوع الجبري على حقل) يتم تحديده حتى التشاكل بواسطة الفئة الأبيلية للحزم شبه المتماسكة على${\displaystyle X}$، بواسطة روزنبرغ، تعميمًا لنتيجة غابرييل . ^{[ 23 ]}

تُعدّ نظرية التماثل للحزم المتماسكة الأداة التقنية الأساسية في الهندسة الجبرية. ورغم أنها لم تُطرح إلا في خمسينيات القرن العشرين، إلا أن العديد من التقنيات السابقة في الهندسة الجبرية تُوضَّح بلغة تماثل الحزم المطبقة على الحزم المتماسكة. وبشكل عام، يُمكن اعتبار تماثل الحزم المتماسكة أداةً لإنتاج دوال ذات خصائص مُحدَّدة؛ إذ يُمكن اعتبار مقاطع حزم الخطوط أو الحزم الأكثر عمومية دوالًا مُعمَّمة. كما يلعب تماثل الحزم المتماسكة دورًا تأسيسيًا في الهندسة التحليلية المركبة.

من بين النتائج الأساسية لعلم التماثل المتماسك للحزم نتائج تتعلق بالأبعاد المحدودة لعلم التماثل، ونتائج تتعلق باختفاء علم التماثل في حالات مختلفة، ونظريات الازدواجية مثل ازدواجية سير ، والعلاقات بين الطوبولوجيا والهندسة الجبرية مثل نظرية هودج ، وصيغ خصائص أويلر للحزم المتماسكة مثل نظرية ريمان-روخ .

• مجموعة بيكارد
• القاسم (الهندسة الجبرية)
• حزمة انعكاسية
• مخطط الاقتباس
• حزمة ملتوية
• حزمة متجهات محدودة أساسًا
• مجموعة الأجزاء الرئيسية
• نظرية إعادة البناء لغابرييل-روزنبرغ
• حزمة شبه متماسكة
• حزمة شبه متماسكة على مكدس جبري

• أنتيو ، بنيامين (2016)، “نظرية إعادة البناء للفئات الأبيلية للحزم الملتوية”، Journal für die reine und angewandte Mathematik ، 2016 (712): 175–188 ، أرخايف : 1305.2541 ، دوى : 10.1515/crelle-2013-0119 ، MR 3466552 
• دانيلوف، في. آي. (2001) [1994]، "الحزمة الجبرية المتماسكة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• غراويرت, هانز ; ريمرت ، رينهولد (1984)، الحزم التحليلية المتماسكة ، Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، المجلد.  265، سبرينغر-فيرلاغ ، دوى : 10.1007/978-3-642-69582-7 ، ISBN 3-540-13178-7، MR 0755331 
• أيزنبد، ديفيد (1995)، الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  150، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 ، ISBN 978-0-387-94268-1MR 1322960​ 
• فولتون، ويليام (1998)، نظرية التقاطع ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-1700-8 ، ISBN 978-0-387-98549-7MR 1644323​ 
• القسمان 0.5.3 و0.5.4 من جروتينديك، ألكسندر ؛ ديودوني ، جان (1960). "عناصر الهندسة الجبرية: I. لغة المخططات" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 4 . دوى : 10.1007/bf02684778 . السيد 0217083 . 
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 
• مامفورد، ديفيد (1999). الكتاب الأحمر للأنواع والمخططات: يتضمن محاضرات ميشيغان (1974) حول المنحنيات ومصفوفات جاكوبي الخاصة بها . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  1358 (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ . doi : 10.1007/b62130 . ISBN 3-540-63293-X. MR 1748380 . 
• أونيشيك، أ. ل. (2001) [1994]، "الحزمة التحليلية المتماسكة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• أونيشيك، أ. ل. (2001) [1994]، "الحزمة المتماسكة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• سيري ، جان بيير (1955)، “Faisceaux algébriques cohérents”، حوليات الرياضيات ، 61 (2): 197–278 ، دوى : 10.2307 / 1969915 ، JSTOR 1969915 ، MR 0068874  

• مؤلفو مشروع ستاكس، مشروع ستاكس
• الجزء الخامس من كتاب فاكيل، رافي ، البحر الصاعد