مشروع البناء

يترك${\displaystyle S}$لتكن حلقة متدرجة تبديلية ، حيث$${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$$هو تحليل المجموع المباشر المرتبط بالتدرج. المثال غير ذي الصلة لـ${\displaystyle S}$هو مثال العناصر ذات الدرجة الإيجابية$${\displaystyle S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.}$$نقول إن المثالي متجانس إذا كان مولداً بعناصر متجانسة. عندئذٍ، كمجموعة،$${\displaystyle \operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ مثالي أولي متجانس، }}S_{+}\not \subseteq P\}.}$$وللاختصار، سنكتب أحيانًا${\displaystyle X}$ل${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$.

يمكننا تعريف طوبولوجيا ، تسمى طوبولوجيا زاريسكي ، على${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$وذلك بتعريف المجموعات المغلقة على أنها تلك التي على الشكل

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},}$

أين${\displaystyle a}$هو مثال متجانس لـ${\displaystyle S}$وكما هو الحال في المخططات الأفينية، يتم التحقق بسرعة من أن${\displaystyle V(a)}$تشكل المجموعات المغلقة لطوبولوجيا على${\displaystyle X}$.

في الواقع، إذا${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$إذا كنا عائلة من المُثُل، فلدينا${\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$وإذا كانت مجموعة الفهرسة I منتهية، فإن${\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}$

وبالمثل، يمكننا أن نأخذ المجموعات المفتوحة كنقطة انطلاق ونحدد

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.}$

يُستخدم اختصار شائع للدلالة على${\displaystyle D(Sf)}$بواسطة${\displaystyle D(f)}$، أين${\displaystyle Sf}$هو المثال الذي تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle f}$لأي مثالي${\displaystyle a}$المجموعات${\displaystyle D(a)}$و${\displaystyle V(a)}$هي مجموعات متكاملة، وبالتالي فإن نفس البرهان السابق يوضح أن المجموعات${\displaystyle D(a)}$تشكيل طوبولوجيا على${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$تتمثل ميزة هذا النهج في أن المجموعات${\displaystyle D(f)}$، أين${\displaystyle f}$يمتد على جميع العناصر المتجانسة للحلقة${\displaystyle S}$تشكل هذه العناصر أساسًا لهذه البنية، وهي أداة لا غنى عنها لتحليل${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$، تمامًا كما أن الحقيقة المماثلة لطيف الحلقة لا غنى عنها أيضًا.

نقوم أيضًا بإنشاء حزمة على${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$يُطلق عليها اسم "حزمة البنية" كما في الحالة الأفينية، مما يجعلها مخططًا . وكما هو الحال في بناء Spec، توجد طرق عديدة للمضي قدمًا: الطريقة الأكثر مباشرة، والتي تُشير أيضًا بقوة إلى بناء الدوال المنتظمة على تنوع إسقاطي في الهندسة الجبرية الكلاسيكية، هي التالية. لأي مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$(وهو بحكم التعريف مجموعة من المُثُل الأولية المتجانسة لـ${\displaystyle S}$لا يحتوي على${\displaystyle S_{+}}$)نعرّف الحلقة${\displaystyle O_{X}(U)}$أن تكون مجموعة جميع الدوال

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

(أين${\displaystyle S_{(p)}}$يشير إلى الحلقة الفرعية لحلقة الكسور${\displaystyle S_{p}}$(تتكون من كسور من عناصر متجانسة من نفس الدرجة) بحيث يكون لكل مثالي أولي${\displaystyle p}$ل${\displaystyle U}$:

1. ${\displaystyle f(p)}$هو عنصر من${\displaystyle S_{(p)}}$؛
2. توجد مجموعة جزئية مفتوحة${\displaystyle V\subseteq U}$يحتوي على${\displaystyle p}$والعناصر المتجانسة${\displaystyle s,t}$ل${\displaystyle S}$من نفس الدرجة بحيث يكون لكل مثالي أولي${\displaystyle q}$ل${\displaystyle V}$:
   • ${\displaystyle t}$ليس في${\displaystyle q}$؛
   • ${\displaystyle f(q)=s/t}$

ويترتب على التعريف مباشرة أن${\displaystyle O_{X}(U)}$تشكيل حزمة من الحلقات${\displaystyle O_{X}}$على${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ويمكن إثبات أن الزوج (${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$،${\displaystyle O_{X}}$) هو في الواقع مخطط (يتم ذلك من خلال إظهار أن كل مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle D(f)}$(وهو في الواقع مخطط تآلفي).

الخاصية الأساسية لـ${\displaystyle S}$كانت القدرة على إنشاء المواقع هي أحد العوامل الرئيسية في البناء المذكور أعلاه.${\displaystyle S_{(p)}}$لكل مثالي أولي${\displaystyle p}$ل${\displaystyle S}$وتتمتع أي وحدة دراسية مصنفة بهذه الخاصية أيضًا${\displaystyle M}$زيادة${\displaystyle S}$وبالتالي، مع إجراء التعديلات الطفيفة المناسبة، فإن القسم السابق يبني لأي من هذه الأشياء${\displaystyle M}$حزمة، يُشار إليها بـ${\displaystyle {\tilde {M}}}$، ل${\displaystyle O_{X}}$-الوحدات على${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$هذه الحزمة شبه متماسكة بحكم بنائها. إذا${\displaystyle S}$يتم توليدها بواسطة عدد محدود من العناصر من الدرجة${\displaystyle 1}$(على سبيل المثال، حلقة متعددة الحدود أو خارج قسمة متجانسة لها)، جميع الحزم شبه المتماسكة على${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$تنشأ من وحدات متدرجة من خلال هذا البناء. ^{[ 1 ]} الوحدة المتدرجة المقابلة ليست فريدة.

تُعتبر حالة خاصة من الحزمة المرتبطة بوحدة متدرجة عندما نأخذ${\displaystyle M}$يكون${\displaystyle S}$نفسها بتصنيف مختلف: أي أننا نترك الدرجة${\displaystyle d}$عناصر من${\displaystyle M}$كن الدرجة${\displaystyle (d+1)}$عناصر من${\displaystyle S}$، لذا$${\displaystyle M_{d}=S_{d+1}}$$ويدل على${\displaystyle M=S(1)}$ثم نحصل على${\displaystyle {\tilde {M}}}$كحزمة شبه متماسكة على${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$، المشار إليه${\displaystyle O_{X}(1)}$أو ببساطة${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$، والتي تُسمى حزمة سير الملتوية . ويمكن التحقق من ذلك .${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$هي في الواقع حزمة قابلة للعكس .

أحد أسباب فائدة${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$يتمثل ذلك في استعادة المعلومات الجبرية لـ${\displaystyle S}$ذلك الذي فُقد عندما، أثناء بناء${\displaystyle O_{X}}$، انتقلنا إلى كسور من الدرجة الصفرية. في حالة Spec A لحلقة A ، تشكل المقاطع العامة لحزمة البنية A نفسها، بينما تشكل المقاطع العامة لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$هنا تشكل فقط العناصر ذات الدرجة الصفرية من${\displaystyle S}$إذا عرّفنا

${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}$

ثم كل${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$يحتوي على الدرجة-${\displaystyle n}$معلومات حول${\displaystyle S}$، المشار إليه${\displaystyle S_{n}}$وتحتوي هذه الملفات مجتمعة على جميع معلومات التقييم التي فُقدت. وبالمثل، بالنسبة لأي حزمة من الأوراق المُقيّمة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-الوحدات${\displaystyle N}$نحن نحدد

${\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}$

وتوقع أن تحتوي هذه الحزمة "الملتوية" على معلومات تصنيف حول${\displaystyle N}$وخاصة إذا${\displaystyle N}$هل الحزمة المرتبطة بـ${\displaystyle S}$-وحدة${\displaystyle M}$ونتوقع كذلك أن يحتوي على معلومات التقييم المفقودة حول${\displaystyle M}$وهذا يشير، وإن كان بشكل خاطئ، إلى أن${\displaystyle S}$يمكن في الواقع إعادة بنائها من هذه الحزم؛ كما$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).}$$لكن هذا صحيح في حالة أن${\displaystyle S}$هي حلقة متعددة الحدود، كما هو موضح أدناه. يجب مقارنة هذا الوضع بحقيقة أن دالة Spec هي دالة مرافقة لدالة المقاطع العامة في فئة الفضاءات الحلقية المحلية .

لو${\displaystyle A}$إذا كانت حلقة، فإننا نُعرّف الفضاء الإسقاطي ذي البعد n على${\displaystyle A}$أن يكون المخطط

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

التدرج على حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$يتم تعريفها عن طريق جعل كل${\displaystyle x_{i}}$حاصل على الدرجة الأولى وكل عنصر من عناصر${\displaystyle A}$، درجة الصفر. بمقارنة هذا بتعريف${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$كما هو موضح أعلاه، نرى أن أقسام${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$هي في الواقع كثيرات حدود خطية متجانسة، يتم توليدها بواسطة${\displaystyle x_{i}}$أنفسهم. وهذا يشير إلى تفسير آخر لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$أي باعتبارها حزمة "إحداثيات" لـ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$منذ${\displaystyle x_{i}}$هي حرفيًا إحداثيات الإسقاط${\displaystyle n}$-فضاء.

إذا تركنا الحلقة الأساسية${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$، ثم$${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(XZ)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}$$له تشاكل إسقاطي قانوني إلى الخط الأفيني${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$أليافها عبارة عن منحنيات إهليلجية باستثناء النقاط${\displaystyle \lambda =0,1}$حيث تتحول المنحنيات إلى منحنيات عقدية. لذا، يحدث تليف.$${\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}}$$وهو أيضًا شكل سلس للمخططات (والذي يمكن التحقق منه باستخدام معيار جاكوبي ).

السطح الفائق الإسقاطي${\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}$يُعد مثالًا على فضاء فيرما الخماسي ثلاثي الأبعاد ، وهو أيضًا فضاء كالابي-ياو . بالإضافة إلى الأسطح الفائقة الإسقاطية، أي تنوع إسقاطي مقطوع بواسطة نظام من كثيرات الحدود المتجانسة.$${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}$$في${\displaystyle (n+1)}$يمكن تحويل المتغيرات إلى مخطط إسقاطي باستخدام بنية proj للجبر المتدرج$${\displaystyle {\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}}$$إعطاء تضمين للأصناف الإسقاطية في المخططات الإسقاطية.

يمكن إنشاء الفضاءات الإسقاطية الموزونة باستخدام حلقة متعددة الحدود ذات متغيرات ذات درجات غير قياسية. على سبيل المثال، الفضاء الإسقاطي الموزون${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$يتوافق مع أخذ${\displaystyle \operatorname {Proj} }$من الخاتم${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$أين${\displaystyle X_{0},X_{1}}$له وزن${\displaystyle 1}$بينما${\displaystyle X_{2}}$وزنه 2.

يمتد بناء الإسقاط إلى الحلقات ثنائية الدرجات ومتعددة الدرجات. هندسيًا، يتوافق هذا مع أخذ نواتج المخططات الإسقاطية. على سبيل المثال، بالنظر إلى الحلقات المتدرجة$${\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]}$$بدرجة كل مولد${\displaystyle 1}$ثم، حاصل الضرب الموتري لهذه الجبريات على${\displaystyle \mathbb {C} }$يعطي الجبر ثنائي الدرجات$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}}$$حيث${\displaystyle X_{i}}$له وزن${\displaystyle (1,0)}$و${\displaystyle Y_{i}}$له وزن${\displaystyle (0,1)}$ثم يُعطي بناء الإسقاط$${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}$$وهو نتاج المخططات الإسقاطية. ويتم تضمين هذه المخططات في الفضاء الإسقاطي عن طريق أخذ الجبر المتدرج الكلي.$${\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}$$حيث درجة${\displaystyle (a,b)}$يُعتبر العنصر درجة${\displaystyle (a+b)}$العنصر. وهذا يعني${\displaystyle k}$قطعة من الدرجة الثالثة${\displaystyle S_{\bullet }}$الوحدة$${\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}$$بالإضافة إلى ذلك، فإن المخطط${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}$يأتي الآن مع بكرات ذات درجات أكبر${\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}$وهي حاصل الضرب الموتري للحزم${\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}$أين$${\displaystyle \pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}$$و$${\displaystyle \pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}$$هي الإسقاطات الكنسية الناتجة عن حقن هذه الجبر من مخطط الضرب الموتري للجبر التبادلي.

بصورة رسمية، ليكن X أي مخطط و S حزمة من المخططات المتدرجة${\displaystyle O_{X}}$الجبر (الذي يشبه تعريفه تعريف${\displaystyle O_{X}}$-وحدات على فضاء حلقي محليًا ): أي حزمة ذات تحليل مجموع مباشر

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

حيث كل${\displaystyle S_{i}}$هو${\displaystyle O_{X}}$-وحدة بحيث يكون لكل مجموعة جزئية مفتوحة U من X ، فإن S ( U ) هو${\displaystyle O_{X}(U)}$الجبر - والتحليل الناتج عن المجموع المباشر

${\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}$

هو تصنيف لهذا الجبر كحلقة. نفترض هنا أن${\displaystyle S_{0}=O_{X}}$. نفترض بشكل إضافي أن S عبارة عن حزمة شبه متماسكة ؛ وهذا افتراض "اتساق" على المقاطع فوق مجموعات مفتوحة مختلفة وهو أمر ضروري لاستمرار عملية البناء.

في هذا الإطار، يمكننا إنشاء مخطط${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ودالة "إسقاط" p على X بحيث يكون لكل دالة خطية مفتوحة U من X ،

${\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}$

يشير هذا التعريف إلى أننا نقوم بالبناء${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$من خلال تحديد المخططات أولاً${\displaystyle Y_{U}}$لكل خط أفيني مفتوح U ، عن طريق وضع

${\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}$

والخرائط${\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}$ثم نُبين أنه يمكن لصق هذه البيانات معًا "فوق" كل تقاطع بين مسارين مفتوحين U و V لتشكيل مخطط Y الذي نُعرفه بأنه${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ليس من الصعب إثبات أن تعريف كل${\displaystyle p_{U}}$أن تكون الخريطة المقابلة لإدراج${\displaystyle O_{X}(U)}$يؤدي تحويل عناصر المجموعة S ( U ) إلى عناصر من الدرجة الصفرية إلى تحقيق الاتساق اللازم لـ${\displaystyle p_{U}}$، بينما اتساق${\displaystyle Y_{U}}$وينتج ذلك من فرضية شبه التماسك على S.

إذا كان لدى S الخاصية الإضافية التي${\displaystyle S_{1}}$هي حزمة متماسكة وتولد S محليًا على${\displaystyle S_{0}}$(أي عندما ننتقل إلى ساق الحزمة S عند نقطة x من X ، وهي جبر متدرج تشكل عناصره ذات الدرجة الصفرية الحلقة)${\displaystyle O_{X,x}}$ثم تشكل العناصر من الدرجة الأولى وحدة مولدة بشكل محدود على${\displaystyle O_{X,x}}$وإذا قمنا أيضًا بتوليد الساق كجبر عليها)، فيمكننا إجراء بناء إضافي. على كل خط أفيني مفتوح U ، يحمل Proj S ( U ) حزمة قابلة للعكس O(1) ، والافتراض الذي وضعناه للتو يضمن إمكانية لصق هذه الحزم تمامًا مثل${\displaystyle Y_{U}}$أعلاه؛ الحزمة الناتجة على${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ويُرمز إليه أيضًا بالرمز O (1) ويؤدي نفس الغرض تقريبًا لـ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$كما تفعل الحزمة الملتوية على بروج الحلقة.

يترك${\displaystyle {\mathcal {E}}}$أن تكون حزمة شبه متماسكة على مخطط${\displaystyle X}$حزمة الجبر المتناظر${\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}$هي بطبيعة الحال حزمة شبه متماسكة من متدرجة${\displaystyle O_{X}}$-وحدات، مُولَّدة بواسطة عناصر من الدرجة 1. ويُرمز إلى المخطط الناتج بـ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$. لو${\displaystyle {\mathcal {E}}}$إذا كان من النوع المحدود، فإن التشكل القانوني الخاص به${\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}$هو تشاكل إسقاطي . ^{[ 2 ]}

لأي${\displaystyle x\in X}$، ألياف التشكل المذكور أعلاه فوق${\displaystyle x}$هو الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}$مرتبط بالفضاء الثنائي للمتجه${\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}$زيادة${\displaystyle k(x)}$.

لو${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هي حزمة شبه متماسكة من متدرجة${\displaystyle O_{X}}$-الوحدات، التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ومثل ذلك${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$إذا كان من النوع المحدود،${\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}$هو مخطط فرعي مغلق من${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}$ثم يكون إسقاطيًا على${\displaystyle X}$في الواقع، كل مخطط فرعي مغلق من مخطط إسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$وهو على هذا الشكل. ^{[ 3 ]}

كحالة خاصة، عندما${\displaystyle {\mathcal {E}}}$خالٍ محليًا من الرتب${\displaystyle n+1}$، نحصل على حزمة إسقاطية${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$زيادة${\displaystyle X}$من البعد النسبي${\displaystyle n}$في الواقع، إذا أخذنا غطاءً مفتوحًا لـ X بواسطة أفينيات مفتوحة${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$بحيث أنه عند تقييد كل منها،${\displaystyle {\mathcal {E}}}$إذا كانت المجموعة A حرة ، فإن

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}$

وبالتالي${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$هي حزمة فضاء إسقاطي. يمكن بناء العديد من عائلات المتنوعات كنظم فرعية لهذه الحزم الإسقاطية، مثل عائلة فايرشتراس للمنحنيات الإهليلجية. لمزيد من التفاصيل، راجع المقالة الرئيسية.