حزمة من الوحدات

في الرياضيات، حزمة من O- وحدات أو ببساطة وحدة O- على فضاء حلقي ( X ، O ) هي حزمة من مجموعات أبيلية F بحيث، لأي مجموعة فرعية مفتوحة U من X ، فإن F ( U ) هي وحدة O ( U ) وتكون خرائط التقييد F ( U )  → F ( V ) متوافقة مع خرائط التقييد O ( U ) → O ( V ): تقييد fs هو تقييد f مضروبًا في تقييد s لأي f في O ( U ) و s في F ( U ).   

الحالة القياسية هي عندما يكون X مخططًا و O حزمة بنيته. إذا كانت O هي الحزمة الثابتة${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$، ثم حزمة من O -modules هي نفسها حزمة من المجموعات الأبيلية (أي حزمة أبيلية ).

إذا كان X هو الطيف الأولي لحلقة R ، فإن أي وحدة نمطية R تُعرّف وحدة نمطية O _X (تُسمى حزمة مرتبطة ) بطريقة طبيعية. وبالمثل، إذا كانت R حلقة متدرجة و X هو إسقاط R ، فإن أي وحدة نمطية متدرجة تُعرّف وحدة نمطية O _X بطريقة طبيعية. تُعدّ الوحدات النمطية O التي تنشأ بهذه الطريقة أمثلة على الحزم شبه المتماسكة ، وفي الواقع، في المخططات الأفينية أو الإسقاطية، تُحصل جميع الحزم شبه المتماسكة بهذه الطريقة.

تشكل حزم الوحدات النمطية فوق فضاء حلقي فئة تبديلية . ^{[ 1 ]} علاوة على ذلك، تحتوي هذه الفئة على عدد كافٍ من الدوال الحقنية ، ^{[ 2 ]} وبالتالي يمكن تعريف تماثل الحزم، وهو ما يحدث بالفعل.${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,-)}$باعتباره الدالة المشتقة اليمنى رقم i للدالة المقطعية العامة${\displaystyle \Gamma (X,-)}$[ ^{3 ]​}

• بالنظر إلى فضاء حلقي ( X ، O )، إذا كان F هو O- وحدة فرعية من O ، فإنه يسمى حزمة المثالي أو حزمة المثالي لـ O ، لأنه لكل مجموعة فرعية مفتوحة U من X ، فإن F ( U ) هو مثالي للحلقة O ( U ).
• ليكن X منوعًا أملسًا ذو بُعد n . عندئذٍ، تكون الحزمة المماسية لـ X هي الحزمة المزدوجة للحزمة المماسية المرافقة.${\displaystyle \Omega _{X}}$والحزمة القانونية${\displaystyle \omega _{X}}$هي القوة الخارجية النونية ( المحدد ) لـ${\displaystyle \Omega _{X}}$.
• حزمة الجبر هي حزمة من الوحدات النمطية وهي أيضًا حزمة من الحلقات.

ليكن ( X , O ) فضاءً حلقيًا. إذا كانت F و G وحدات O ، فإن حاصل ضربهما الموتري، ويرمز له بـ

${\displaystyle F\otimes _{O}G}$أو${\displaystyle F\otimes G}$،

الوحدة النمطية O هي الحزمة المرتبطة بالحزمة السابقة${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U).}$(لإثبات أنه لا يمكن تجنب عملية التشكيل الحزمي ، احسب المقاطع العالمية لـ${\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}$حيث O (1) هي حزمة سير الملتوية على فضاء إسقاطي.

وبالمثل، إذا كانت F و G وحدات O ، فإن

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,G)}$

يشير إلى الوحدة النمطية O التي هي الحزمة${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}$[ ^{4 ]} على وجه الخصوص، ^الوحدة النمطية O

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)}$

يُطلق عليه اسم الوحدة الثنائية لـ F ويُرمز إليه بـ${\displaystyle {\check {F}}}$ملاحظة: لأي وحدات نمطية O ، E و F ، يوجد تشاكل قانوني

${\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}$،

وهو تماثل إذا كانت E حزمة حرة محليًا ذات رتبة منتهية. على وجه الخصوص، إذا كانت L حزمة حرة محليًا من الرتبة واحد ( وتسمى هذه L حزمة قابلة للعكس أو حزمة خطية )، ^{[ 5 ]} فإن هذا يُكتب على النحو التالي:

${\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}$

مما يعني أن فئات التشاكل للحزم القابلة للعكس تشكل زمرة. تُسمى هذه الزمرة زمرة بيكارد لـ X ، وتُعرَّف بشكل قانوني بأنها زمرة التماثل الأولى.${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})}$(باستخدام الحجة القياسية مع علم التماثل التشيكي ).

إذا كانت E حزمة حرة محليًا ذات رتبة منتهية، فإنه يوجد تطبيق خطي من الرتبة O${\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O}$يتم تحديدها من خلال الاقتران؛ وتسمى خريطة الأثر لـ E.

بالنسبة لأي وحدة نمطية O-، F ، يتم تعريف جبر الموترات ، والجبر الخارجي ، والجبر المتناظر لـ F بنفس الطريقة. على سبيل المثال، القوة الخارجية k -th

${\displaystyle \bigwedge ^{k}F}$

هل الحزمة مرتبطة بالحزمة السابقة؟${\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}$إذا كانت F خالية محليًا من الرتبة n ، فإن${\textstyle \bigwedge ^{n}F}$تُسمى حزمة الخط المحدد (مع أنها من الناحية الفنية حزمة قابلة للعكس ) لـ F ، ويُرمز لها بـ det( F ). يوجد اقتران تام طبيعي:

${\displaystyle \bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).}$

ليكن f : ( X , O ) → ( X ' , O ' ) تشاكلاً بين فضاءات حلقية. إذا كان F وحدة نمطية O ، فإن حزمة الصورة المباشرة${\displaystyle f_{*}F}$هو O ' -وحدة نمطية من خلال الخريطة الطبيعية O ' → f _* O (هذه الخريطة الطبيعية هي جزء من بيانات تشاكل الفضاءات الحلقية.)

إذا كانت G وحدة نمطية من النوع O ' ، فإن الصورة العكسية للوحدة النمطية${\displaystyle f^{*}G}$الوحدة النمطية O لـ G هي حاصل الضرب الموتري للوحدات النمطية:

${\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}$

أين${\displaystyle f^{-1}G}$هي حزمة الصورة العكسية لـ G و${\displaystyle f^{-1}O'\to O}$يتم الحصول عليها من${\displaystyle O'\to f_{*}O}$بالإضافة .​

توجد علاقة مترافقة بين${\displaystyle f_{*}}$و${\displaystyle f^{*}}$: لأي وحدة نمطية O - F ووحدة نمطية O' - G ،

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}$

كمجموعة أبيلية. وهناك أيضًا صيغة الإسقاط : بالنسبة لوحدة نمطية O - F ووحدة نمطية O'-حرة محليًا E ذات رتبة منتهية،

${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}$

ليكن ( X , O ) فضاءً حلقيًا. يُقال إن الوحدة النمطية O - F مُولَّدة بواسطة مقاطع شاملة إذا كان هناك تطبيق شامل للوحدات النمطية O- :

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.}$

بشكل صريح، هذا يعني أن هناك أقسامًا عالمية s _i من F بحيث أن صور s _i في كل ساق F _x تولد F _x كوحدة O _x .

من أمثلة هذه الحزم تلك المرتبطة في الهندسة الجبرية بوحدة نمطية R- ، M ، حيث R أي حلقة تبديلية ، على طيف حلقة Spec ( R ). مثال آخر: وفقًا لنظرية كارتان A ، فإن أي حزمة متماسكة على مشعب شتاين تُولَّد بواسطة مقاطع شاملة. (انظر نظرية سير A أدناه). في نظرية المخططات ، يوجد مفهوم ذو صلة هو حزمة الخط الوافية . (على سبيل المثال، إذا كانت L حزمة خطية وافية، فإن بعض قوىها تُولَّد بواسطة مقاطع شاملة).

الوحدة النمطية O الحقنية هي وحدة نمطية مغلفة (أي أن جميع دوال التقييد F ( U ) → F ( V ) شاملة). ^{[ 6 ]} بما أن الحزمة المغلفة غير دورية في فئة الحزم الأبيلية، فإن هذا يعني أن الدالة المشتقة اليمنى من الرتبة i للدالة المقطعية العامة${\displaystyle \Gamma (X,-)}$^{[ 7 ]} في فئة الوحدات النمطية O يتطابق مع علم التماثل المعتاد للحزمة i في فئة الحزم الأبيلية.

يترك${\displaystyle M}$كن وحدة فوق حلقة${\displaystyle A}$. يضع${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$واكتب${\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}$لكل زوج${\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}$وبفضل الخاصية العالمية للتوطين، توجد خريطة طبيعية

${\displaystyle \rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}$

امتلاك العقار الذي${\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}}$. ثم

${\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}$

هو دالة متغايرة من الفئة التي تكون عناصرها هي المجموعات D ( f ) وتشكلاتها هي تضمينات المجموعات في فئة الزمر الأبيلية . يمكن إثبات ^{[ 8 ]} أنها في الواقع حزمة B (أي أنها تحقق بديهية اللصق) وبالتالي تُعرّف الحزمة.${\displaystyle {\widetilde {M}}}$على X تسمى الحزمة المرتبطة بـ M.

أبسط مثال على ذلك هو حزمة البنية على X ؛ أي،${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$. علاوة على ذلك،${\displaystyle {\widetilde {M}}}$له بنية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$-وحدة نمطية، وبالتالي يحصل المرء على الدالة الدقيقة${\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}$من Mod _A ، فئة الوحدات النمطية على A إلى فئة الوحدات النمطية على${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$يُعرّف هذا المفهوم تكافؤًا من Mod _A إلى فئة الحزم شبه المتماسكة على X ، مع العكس.${\displaystyle \Gamma (X,-)}$، دالة المقطع العالمي . عندما يكون X نوثيريًا ، فإن الدالة هي تكافؤ من فئة الوحدات النمطية A المولدة نهائيًا إلى فئة الحزم المتماسكة على X.

يتمتع هذا البناء بالخصائص التالية: لأي وحدات A- ، M و N ، وأي تشاكل${\displaystyle \varphi :M\to N}$،

• ${\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}}$[ ^{9 ]​}
• لأي مثالي أولي p من A ،${\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}}$كما هو O _p = A _p -module.
• ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}$[ ^{10 ]​}
• إذا كانت M معروضة بشكل محدود ،${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$[ ^{10 ]​}
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}$، نظرًا للتكافؤ بين Mod _A وفئة الحزم شبه المتماسكة على X.
• ${\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}}$; ^{[ 11 ]} على وجه الخصوص، أخذ المجموع المباشر و ~ التبادل.
• تكون متتالية من وحدات A دقيقة إذا وفقط إذا كانت المتتالية المستحثة بواسطة${\displaystyle \sim }$دقيق. على وجه الخصوص،${\displaystyle (\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})}$.

يوجد نظير متدرج للبناء والتكافؤ في القسم السابق. ليكن R حلقة متدرجة مولدة بعناصر من الدرجة الأولى _كجبر R⁰ ( _حيث R⁰ تعني الجزء من الدرجة الصفرية)، وليكن M وحدة نمطية متدرجة على R. ليكن X هو إسقاط R ( أي أن X مخطط إسقاطي إذا كانت R نوثرية ). عندئذٍ توجد وحدة نمطية O.${\displaystyle {\widetilde {M}}}$بحيث أنه لأي عنصر متجانس f ذي درجة موجبة من R ، يوجد تماثل طبيعي

${\displaystyle {\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }}$

كحزم من الوحدات على المخطط الأفيني${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})}$; ^{[ 12 ]} في الواقع، هذا يُعرّف${\displaystyle {\widetilde {M}}}$عن طريق اللصق.

مثال : ليكن R (1) هو وحدة R المتدرجة المعطاة بالعلاقة R (1) _n = Rn _{+ 1} . إذن${\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}$يُطلق عليه اسم حزمة سير الملتوية ، وهي الحزمة الثنائية لحزمة الخط التكرارية إذا تم توليد R بشكل نهائي في الدرجة الأولى.

إذا كانت F وحدة نمطية O على X ، فإن كتابة${\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}$، يوجد تماثل قانوني:

${\displaystyle \left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,}$

وهو تماثل إذا وفقط إذا كان F شبه متماسك.

يُعرف علم التماثل الحزمي بصعوبة حسابه. ولهذا السبب، تُعدّ الحقيقة العامة التالية أساسية لأي حساب عملي:

تنص نظرية التلاشي لسير ^{[ 13 ]} على أنه إذا كان X صنفًا إسقاطيًا و F حزمة متماسكة عليه، فإنه بالنسبة لـ n كبير بما فيه الكفاية ، يتم توليد التواء سير F ( n ) بواسطة عدد محدود من المقاطع العالمية. علاوة على ذلك،

1. لكل i ، فإن H ⁱ ( X , F ) مولدة بشكل نهائي على R ₀ ، و
2. يوجد عدد صحيح n ₀ ، يعتمد على F ، بحيث $${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.}$$

^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

ليكن ( X , O ) فضاءً حلقيًا، وليكن F و H حزمتين من وحدات O على X. امتداد H بواسطة F هو متتالية تامة قصيرة من وحدات O.

${\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}$

كما هو الحال مع امتدادات المجموعات، إذا ثبّتنا F و H ، فإن جميع فئات التكافؤ لامتدادات H بواسطة F تُشكّل مجموعة تبديلية (انظر مجموع باير )، وهي متماثلة مع مجموعة Ext.${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$، حيث يكون عنصر الهوية في${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$يتوافق مع الامتداد البسيط.

في حالة كون H يساوي O ، لدينا: لأي i ≥ 0،

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),}$

بما أن كلا الجانبين هما الدوال المشتقة اليمنى لنفس الدالة${\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-).}$

ملاحظة : بعض المؤلفين، ولا سيما هارتشورن، يحذفون الرمز السفلي O.

لنفترض أن X مخطط إسقاطي على حلقة نوثرية. ولتكن F و G حزمتين متماسكتين على X ، وليكن i عددًا صحيحًا. عندئذٍ يوجد n ≠ ₀ بحيث

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {Ext}}_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}$،

أين${\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{O}}$تشير إلى الدوال المشتقة لـ${\displaystyle {\mathcal {Hom}}_{O}}$[ ^{17 ]​}

• الوحدة النمطية D (بدلاً من O ، يمكن للمرء أيضًا أن يعتبر D ، حزمة المؤثرات التفاضلية.)
• مثالي كسري
• حزمة متجهات هولومورفية
• حرية عامة

• الأماكن القريبة : ديودوني ، جان (1960). "عناصر الهندسة الجبرية: I. لغة المخططات" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 4 . دوى : 10.1007/bf02684778 . السيد 0217083 . 
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 
• كوستا، لورا؛ ميرو رويج، روزا ماريا؛ بونس-يوبيس، جوان (2021). حزم أولريش . دوى : 10.1515/9783110647686 . رقم ISBN 9783110647686.
• "روابط مع علم التماثل الحزمي". علم التماثل المحلي . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. مطبعة جامعة كامبريدج. 2012. ص 438-479 . doi : 10.1017/CBO9781139044059.023 . ISBN  9780521513630.
• Serre، Jean-Pierre (1955)، “Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.)” (PDF) ، حوليات الرياضيات ، 61 (2): 197– 278، دوى : 10.2307 / 1969915 , جستور 1969915 , م.ر 0068874