تقاطع كامل

الموسوعة الحرة

في الرياضيات، يُعتبر التنوع الجبري V في الفضاء الإسقاطي تقاطعًا كاملاً إذا كان مثالي V مُوَلَّدًا بواسطة عدد محدد من عناصره. أي، إذا كان V ذا بُعد m ويقع في الفضاء الإسقاطي P <sub>n</sub> ، فيجب أن توجد n − m من كثيرات الحدود المتجانسة: [ 1 ]

Fأنا(X0،⋯،Xن)،1≤أنا≤ن-م،{\displaystyle F_{i}(X_{0},\cdots ,X_{n}),1\leq i\leq nm,}

في الإحداثيات المتجانسة X j ، والتي تولد جميع كثيرات الحدود المتجانسة الأخرى التي تتلاشى على V.

هندسيًا، يُعرّف كل Fᵢ سطحًا فائقًا ؛ ويكون تقاطع هذه الأسطح الفائقة هو V. سيكون لتقاطع n − m سطحًا فائقًا دائمًا بُعد لا يقل عن m ، بافتراض أن حقل الأعداد القياسية حقل مغلق جبريًا مثل الأعداد المركبة . السؤال الأساسي هو: هل يمكننا تقليل البُعد إلى m ، دون وجود نقاط إضافية في التقاطع؟ يصعب التحقق من هذا الشرط بمجرد أن يكون البُعد المشترك n − m ≥ 2. عندما n − m = 1 ، يكون V سطحًا فائقًا تلقائيًا، ولا حاجة لإثبات أي شيء.

أمثلة

تُعطى أمثلة سهلة على التقاطعات الكاملة بواسطة الأسطح الفائقة التي تُعرَّف بموضع تلاشي متعددة حدود واحدة. على سبيل المثال،

V(x05+⋯+x45)=مشروع(F[x0،...،x4](x05+⋯+x45))→أناPF4{\displaystyle \mathbb {V} (x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {F} [x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})}}\right){\xrightarrow {i}}\mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{4}}

يُقدّم مثالاً على شكل ثلاثي الأبعاد من الدرجة الخامسة . قد يكون من الصعب إيجاد أمثلة صريحة للتقاطعات الكاملة لأصناف ذات أبعاد أعلى باستخدام مثالين صريحين أو أكثر (مثل كتاب الوحوش)، ولكن يوجد مثال صريح على شكل ثلاثي الأبعاد من النوع(2،4){\displaystyle (2,4)}مقدم من

V(x02+x12+x22+x32+x4x5،x44+x54-2x0x1x2x3).{\displaystyle \mathbb {V} (x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}x_{5},x_{4}^{4}+x_{5}^{4}-2x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}).}

أمثلة مضادة

مكعب ملتوي

إحدى طرق إنشاء التقاطعات الكاملة المحلية هي أخذ صنف تقاطع كامل إسقاطي وتضمينه في فضاء إسقاطي ذي أبعاد أعلى. ومن الأمثلة الكلاسيكية على ذلك التقاطع المكعب الملتوي فيPR3{\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{3}}هو تقاطع محلي كامل سلس، بمعنى أنه في أي مخطط يمكن التعبير عنه كموضع تلاشي لكثيرتي حدود، ولكن على المستوى العالمي يُعبَّر عنه كموضع تلاشي لأكثر من كثيرتي حدود. يمكننا إنشاؤه باستخدام حزمة الخطوط الواسعة جدًايا(3){\displaystyle {\mathcal {O}}(3)}زيادةP1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}تقديم التضمين ( خريطة فيرونيز )

PR1→PR3{\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{1}\to \mathbb {P} _{R}^{3}}بواسطة[s:ت]↦[s3:s2ت:sت2:ت3].{\displaystyle [s:t]\mapsto [s^{3}:s^{2}t:st^{2}:t^{3}].}

لاحظ أنΓ(يا(3))=فترةR{s3،s2ت،sت2،ت3}{\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}}إذا سمحناPR3=مشروع(R[x0،x1،x2،x3]){\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{3}={\text{Proj}}(R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}])}يُعطي التضمين العلاقات التالية:

و1=x0x3-x1x2و2=x12-x0x2و3=x22-x1x3.{\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&=x_{0}x_{3}-x_{1}x_{2}\\f_{2}&=x_{1}^{2}-x_{0}x_{2}\\f_{3}&=x_{2}^{2}-x_{1}x_{3}.\end{aligned}}}

وبالتالي فإن المكعب الملتوي هو المخطط الإسقاطي

مشروع(R[x0،x1،x2،x3](و1،و2،و3)).{\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(f_{1},f_{2},f_{3})}}\right).}

اتحاد أصناف تختلف في الأبعاد

هناك طريقة أخرى ملائمة لإنشاء تقاطع غير كامل، والذي لا يمكن أن يكون تقاطعًا كاملاً محليًا، وهي بأخذ اتحاد نوعين مختلفين لا تتطابق أبعادهما. على سبيل المثال، يُعد اتحاد خط ومستوى يتقاطعان في نقطة مثالًا كلاسيكيًا لهذه الظاهرة. ويُعطى بالمخطط التالي:

المواصفات(ج[x،y،z](xz،yz)).{\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right).}

شهادة متعددة

للتقاطع الكامل درجة متعددة ، تُكتب على شكل مجموعة (أو بالأحرى مجموعة متعددة ) من درجات الأسطح الفائقة المحددة. على سبيل المثال، بأخذ الأسطح التربيعية فيP3{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}مرة أخرى، (2,2) هي درجة التقاطع الكامل لاثنين منهما، والذي يكون منحنى إهليلجيًا عندما يكونان في الوضع العام . وقد قام كونيهيكو كودايرا بحساب أعداد هودج للتقاطعات الكاملة الملساء المعقدة .

وظيفة عامة

بالنسبة للأسئلة الأكثر دقة، يجب دراسة طبيعة التقاطع بمزيد من التفصيل. قد يُشترط أن تُحقق الأسطح الفائقة شرط التعامد (مثل أن تكون فضاءاتها المماسية في وضع عام عند نقاط التقاطع). قد يكون التقاطع نظريًا مخططًا ، بمعنى آخر، قد يُشترط هنا أن يكون المثالي المتجانس المُوَلَّد بواسطة F i ( X 0 , ..., X n ) هو المثالي المُعرِّف لـ V ، وليس فقط أن يمتلك الجذر الصحيح . في الجبر التبادلي ، يُترجم شرط التقاطع الكامل إلى حدود متتابعة منتظمة ، مما يسمح بتعريف التقاطع الكامل المحلي ، أو بعد بعض التوطين، يكون للمثالي متتابعات منتظمة مُعرِّفة.

الطوبولوجيا

التشابه

بما أن التقاطعات الكاملة للأبعادن{\displaystyle n}فيجPن+م{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n+m}}إذا كانت نقاط تقاطع مقاطع المستويات الفائقة ، فيمكننا استخدام نظرية ليفشيتز للمستويات الفائقة لاستنتاج ذلك.

حج(X)=Z{\displaystyle H^{j}(X)=\mathbb {Z} }

لج<ن{\displaystyle j<n}بالإضافة إلى ذلك، يمكن التحقق من أن مجموعات التماثل خالية دائمًا من الالتواء باستخدام نظرية المعامل العام . وهذا يعني أن مجموعة التماثل الوسطى تُحدد بواسطة خاصية أويلر للفضاء.

خاصية أويلر

قدم هيرزبروش دالة توليد لحساب بُعد جميع التقاطعات الكاملة متعددة الدرجات(أ1،...،أر){\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{r})}. يقول

∑ن=0∞χ(Xن(أ1،...،أر))zن=أ1⋯أر(1-z)2∏أنا=1ر1(1+(أأنا-1)z).{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\chi (X_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r}))z^{n}={\frac {a_{1}\cdots a_{r}}{(1-z)^{2}}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{(1+(a_{i}-1)z)}}.}

الاستشهاد

  1. ↑ هاريس 1992 ، ص 136، التعريف.

مراجع