نظرية ليفشيتز للمستويات الفائقة

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 34 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في الهندسة الجبرية والطوبولوجيا الجبرية ، تُعدّ نظرية ليفشيتز للمستويات الفائقة بيانًا دقيقًا لعلاقات معينة بين شكل صنف جبري وشكل أصنافه الفرعية. وبشكل أدق، تنص النظرية على أنه بالنسبة لصنف X مُضمّن في فضاء إسقاطي ومقطع مستوى فائق Y ، فإن مجموعات التماثل والتماثل المشترك والتماثل الطوبولوجي لـ X تُحدد تلك الخاصة بـ Y. وقد صاغ سولومون ليفشيتز نتيجة من هذا النوع لأول مرة لمجموعات التماثل للأصناف الجبرية المعقدة. ومنذ ذلك الحين، تم التوصل إلى نتائج مماثلة لمجموعات التماثل الطوبولوجي، في الخاصية الموجبة، وفي نظريات التماثل والتماثل المشترك الأخرى.

تُقدم نظرية التفكيك تعميماً واسع النطاق لنظرية ليفشيتز الصعبة .

نظرية ليفشيتز للمستويات الفائقة للأصناف الإسقاطية المعقدة

يتركX{\displaystyle X}كنن{\displaystyle n}التنوع الجبري الإسقاطي المركب ذو الأبعاد n فيجPشمال{\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{N}}ودعY{\displaystyle Y}ليكن مقطعًا فائق المستوى منX{\displaystyle X}بحيثيو=X∖Y{\displaystyle U=X\setminus Y}سلس. تشير نظرية ليفشيتز إلى أي من العبارات التالية: [ 1 ] [ 2 ]

  1. الخريطة الطبيعيةحك(Y،Z)→حك(X،Z){\displaystyle H_{k}(Y,\mathbb {Z} )\rightarrow H_{k}(X,\mathbb {Z} )}في علم التماثل المفرد، يكون التشاكل لـك<ن-1{\displaystyle k<n-1}وهي شاملة لـك=ن-1{\displaystyle k=n-1}.
  2. الخريطة الطبيعيةحك(X،Z)→حك(Y،Z){\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{k}(Y,\mathbb {Z} )}في علم التماثل المفرد، يكون التماثل لـك<ن-1{\displaystyle k<n-1}وهو حقن لـك=ن-1{\displaystyle k=n-1}.
  3. الخريطة الطبيعيةπك(Y)→πك(X){\displaystyle \pi _{k}(Y)\rightarrow \pi _{k}(X)}هو تماثل لـك<ن-1{\displaystyle k<n-1}وهي شاملة لـك=ن-1{\displaystyle k=n-1}.

باستخدام متتالية تامة طويلة ، يمكن إثبات أن كل عبارة من هذه العبارات مكافئة لنظرية تلاشي لبعض الثوابت الطوبولوجية النسبية. وهذه العبارات بالترتيب هي:

  1. مجموعات التماثل المفردة النسبيةحك(X،Y؛Z){\displaystyle H_{k}(X,Y;\mathbb {Z} )}صفر لـك≤ن-1{\displaystyle k\leq n-1}.
  2. مجموعات التماثل المفردة النسبيةحك(X،Y؛Z){\displaystyle H^{k}(X,Y;\mathbb {Z} )}صفر لـك≤ن-1{\displaystyle k\leq n-1}.
  3. مجموعات التماثل النسبيπك(X،Y){\displaystyle \pi _{k}(X,Y)}صفر لـك≤ن-1{\displaystyle k\leq n-1}.

برهان ليفشيتز

استخدم سولومون ليفشيتز [ 3 ] فكرته عن قلم ليفشيتز لإثبات النظرية. بدلاً من النظر في مقطع المستوى الفائقY{\displaystyle Y} بمفرده، قام بتصنيفها إلى مجموعة من مقاطع المستوى الفائقYت{\displaystyle Y_{t}}، أينY=Y0{\displaystyle Y=Y_{0}}نظرًا لأن المقطع الفائق العام أملس، فإن جميع المقاطع باستثناء عدد محدود منهاYت{\displaystyle Y_{t}}وهي أصناف ناعمة. بعد إزالة هذه النقاط منت{\displaystyle t}بإضافة عدد محدود من الشقوق إلى المستوى -، تصبح عائلة مقاطع المستوى الفائق الناتجة تافهة من الناحية الطوبولوجية. أي أنها ناتجة عن نموذج عامYت{\displaystyle Y_{t}}مع مجموعة فرعية مفتوحة منت{\displaystyle t}-طائرة.X{\displaystyle X}لذا، يمكن فهم ذلك إذا فهمنا كيفية تحديد مقاطع المستويات الفائقة عبر الشقوق وعند النقاط الشاذة. بعيدًا عن النقاط الشاذة، يمكن وصف التحديد استقرائيًا. عند النقاط الشاذة، تشير مبرهنة مورس إلى وجود خيار لنظام إحداثيات لـX{\displaystyle X}ذات شكل بسيط للغاية. يمكن استخدام نظام الإحداثيات هذا لإثبات النظرية مباشرة. [ 4 ]

برهان أندريوتي وفرانكل

أدرك ألدو أندريوتي وثيودور فرانكل [ 5 ] أنه يمكن إعادة صياغة نظرية ليفشيتز باستخدام نظرية مورس . [ 6 ] هنا المعاملت{\displaystyle t}تؤدي دور دالة مورس. الأداة الأساسية في هذا النهج هي نظرية أندريوتي-فرانكل ، التي تنص على أن التنوع الأفيني المعقد ذو البعد المعقدن{\displaystyle n}(وبالتالي البعد الحقيقي)2ن{\displaystyle 2n}) له نوع التماثل لمركب CW ذي البعد (الحقيقي)ن{\displaystyle n}وهذا يعني أن مجموعات التماثل النسبي لـY{\displaystyle Y}فيX{\displaystyle X}تكون تافهة في درجة أقل منن{\displaystyle n}ومن ثم فإن التسلسل الدقيق الطويل للتشابه النسبي يعطي النظرية.

إثباتات توم وبوت

لا يُشير برهان ليفشيتز ولا برهان أندريوتي وفرانكل بشكل مباشر إلى نظرية ليفشيتز للمستويات الفائقة لمجموعات التماثل. وقد توصل رينيه ثوم إلى منهج يُحقق ذلك في موعد أقصاه عام 1957، ثم قام راؤول بوت بتبسيطه ونشره عام 1959. [ 7 ] يُفسر ثوم وبوتY{\displaystyle Y}باعتباره الموضع المتلاشي فيX{\displaystyle X}جزء من حزمة خطية. تطبيق نظرية مورس على هذا الجزء يعني أنX{\displaystyle X}يمكن بناؤها منY{\displaystyle Y}عن طريق تجاور الخلايا ذات الأبعادن{\displaystyle n}أو أكثر. ومن هذا، يترتب أن مجموعات التماثل النسبي والتماثل الموضعي لـY{\displaystyle Y}فيX{\displaystyle X}تتركز في درجاتن{\displaystyle n}وأعلى من ذلك، مما يؤدي إلى النظرية.

دليل كودايرا وسبنسر لمجموعات هودج

وجد كونيهيكو كودايرا ودونالد سي. سبنسر أنه في ظل قيود معينة، من الممكن إثبات نظرية من نوع ليفشيتز لمجموعات هودجحص،q{\displaystyle H^{p,q}}وبالتحديد، افترض أنY{\displaystyle Y}سلسة وأن حزمة الخطياX(Y){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(Y)}كافية. ثم خريطة التقييدحص،q(X)→حص،q(Y){\displaystyle H^{p,q}(X)\to H^{p,q}(Y)}يكون تماثلاً إذاص+q<ن-1{\displaystyle p+q<n-1}ويكون حقنيًا إذاص+q=ن-1{\displaystyle p+q=n-1}[ 8 ] [ 9 ] وفقًا لنظرية هودج ، فإن مجموعات التماثل هذه تساوي مجموعات التماثل الحزميةحq(X،⋀صΩX){\displaystyle H^{q}(X,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{X})}وحq(Y،⋀صΩY){\displaystyle H^{q}(Y,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{Y})}وبالتالي، فإن النظرية تستنتج من تطبيق نظرية أكيزوكي-ناكانو للتلاشي علىحq(X،⋀صΩX|Y){\displaystyle H^{q}(X,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{X}|_{Y})}وباستخدام تسلسل دقيق طويل.

يؤدي دمج هذا البرهان مع نظرية المعامل العام إلى الحصول تقريبًا على نظرية ليفشيتز المعتادة للتماثل مع معاملات في أي حقل ذي خاصية صفرية. ومع ذلك، فهي أضعف قليلاً بسبب الافتراضات الإضافية علىY{\displaystyle Y}.

برهان أرتين وغروتينديك على الحزم القابلة للإنشاء

وجد مايكل أرتين وألكسندر غروتينديك تعميمًا لنظرية ليفشيتز للمستويات الفائقة إلى الحالة التي لا تقع فيها معاملات التماثل في حقل، بل في حزمة قابلة للإنشاء . وقد أثبتا أنه بالنسبة لحزمة قابلة للإنشاءF{\displaystyle {\mathcal {F}}}على نوع متجانسيو{\displaystyle U}مجموعات التماثلحك(يو،F){\displaystyle H^{k}(U,{\mathcal {F}})}يختفي متى ما كان ذلكك>ن{\displaystyle k>n}[ 10 ]​

نظرية ليفشيتز في نظريات التماثل الأخرى

كان الدافع وراء برهان أرتين وغروتينديك للحزم القابلة للإنشاء هو تقديم برهان يمكن تكييفه مع إطار إيتال وℓ{\displaystyle \ell }علم التماثل -adic. مع بعض القيود المفروضة على الحزمة القابلة للإنشاء، تظل نظرية ليفشيتز صحيحة بالنسبة للحزم القابلة للإنشاء في خاصية موجبة.

يمكن تعميم النظرية أيضاً لتشمل علم التماثل التقاطعي . في هذا السياق، تنطبق النظرية على الفضاءات شديدة التفرد.

تنطبق نظرية من نوع ليفشيتز أيضًا على مجموعات بيكارد . [ 11 ]

نظرية ليفشيتز الصعبة

يتركX{\displaystyle X}كنن{\displaystyle n}التنوع الإسقاطي المركب غير المنفرد ذو الأبعاد n فيجPشمال{\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{N}}ثم في حلقة التماثل لـX{\displaystyle X}، الك{\displaystyle k}ينتج عن الضرب من الرتبة n مع فئة التماثل لمستوى فائق تماثل بينحن-ك(X){\displaystyle H^{n-k}(X)}وحن+ك(X){\displaystyle H^{n+k}(X)}.

هذه هي نظرية ليفشيتز الصعبة ، والتي أطلق عليها غروتينديك في الفرنسية اسمًا أكثر شيوعًا هو نظرية ليفشيتز فاش . [ 12 ] [ 13 ] وهي تستلزم مباشرة جزء الحقن من نظرية ليفشيتز للمستوى الفائق.

في الواقع، تنطبق نظرية ليفشيتز الصعبة على أي مشعب كاهلر مضغوط ، حيث يُعطى التشاكل في علم التماثل دي رام بالضرب في قوة فئة شكل كاهلر. وقد لا تنطبق على المشعبات غير الكاهلرية: على سبيل المثال، تتميز أسطح هوبف بمجموعات تماثل ثانية معدومة، لذا لا يوجد نظير لفئة التماثل الثانية لمقطع المستوى الفائق.

تم إثبات نظرية ليفشيتز الصعبة لـℓ{\displaystyle \ell }علم التماثل -adic للأصناف الإسقاطية الملساء على الحقول المغلقة جبريًا ذات الخاصية الموجبة بواسطة بيير ديلين ( 1980 ) . 

مراجع

فهرس