مساحة دائرية

في الرياضيات ، الفضاء الحلقي هو عائلة من الحلقات ( التبديلية ) المُعَلمة بمجموعات جزئية مفتوحة من فضاء طوبولوجي، بالإضافة إلى تشاكلات حلقية تؤدي دور القيود . وبالتحديد، هو فضاء طوبولوجي مزود بحزمة من الحلقات تُسمى حزمة البنية . وهو تجريد لمفهوم حلقات الدوال المتصلة (ذات القيم العددية) على المجموعات الجزئية المفتوحة.

من بين المساحات الحلقية، تبرز المساحة الحلقية المحلية بشكل خاص : وهي مساحة حلقية يكون فيها التناظر بين الساق عند نقطة ما وحلقة من جراثيم الوظائف عند نقطة ما صحيحًا.

تظهر الفضاءات الحلقية في التحليل وكذلك في الهندسة الجبرية المعقدة ونظرية المخططات في الهندسة الجبرية .

ملاحظة : في تعريف الفضاء الحلقي، تميل معظم الشروحات إلى حصر الحلقات في كونها حلقات تبديلية ، بما في ذلك شرح هارتشورن وويكيبيديا. من ناحية أخرى، لا يفرض كتاب "عناصر الهندسة الجبرية" فرضية التبديلية، على الرغم من أن الكتاب يتناول في الغالب الحالة التبديلية. ^{[ 1 ]}

مساحة محاطة بحلقة${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$هو فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$بالإضافة إلى حزمة من الخواتم${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$على${\displaystyle X}$الحزمة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$يُطلق عليه اسم حزمة الهيكل لـ${\displaystyle X}$.

المساحة المحاطة محليًا هي مساحة محاطة${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$بحيث تكون جميع سيقان${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$هي حلقات محلية (أي أنها تحتوي على مُثُل عليا وحيدة ). لاحظ أنه ليس من الضروري أن${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$كن حلقة محلية لكل مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$في الواقع ، هذا نادراً ما يحدث.

فضاء طوبولوجي اعتباطي${\displaystyle X}$يمكن اعتبارها مساحة محاطة بحلقة محلية من خلال أخذ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$أن تكون حزمة من الدوال المتصلة ذات القيم الحقيقية (أو ذات القيم المركبة ) على مجموعات فرعية مفتوحة من${\displaystyle X}$الساق عند نقطة${\displaystyle x}$يمكن اعتبارها مجموعة جميع بذور الدوال المتصلة عند${\displaystyle x}$هذه حلقة محلية ذات مثال أمثل وحيد يتكون من تلك الجراثيم التي قيمتها عند${\displaystyle x}$يكون${\displaystyle 0}$.

لو${\displaystyle X}$إذا كان الفضاء متعدد الشعب ذو بنية إضافية، فيمكننا أيضًا أخذ حزمة الدوال القابلة للتفاضل أو الدوال التحليلية . ويؤدي كلا الأمرين إلى فضاءات حلقية محلية.

لو${\displaystyle X}$إذا كانت مجموعة جبرية تحمل طوبولوجيا زاريسكي ، فيمكننا تعريف فضاء حلقي محليًا عن طريق أخذ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$أن تكون حلقة التطبيقات العقلانية المعرفة على مجموعة زاريسكي المفتوحة${\displaystyle U}$التي لا تنفجر (تصبح لانهائية) في الداخل${\displaystyle U}$التعميم المهم لهذا المثال هو طيف أي حلقة تبديلية؛ فهذه الأطياف هي أيضًا فضاءات حلقية محلية. المخططات هي فضاءات حلقية محلية يتم الحصول عليها عن طريق "لصق" أطياف الحلقات التبديلية معًا.

تشاكل من​${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ل${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$هو زوج${\displaystyle (f,\varphi )}$، أين${\displaystyle f:X\to Y}$هي خريطة متصلة بين الفضاءات الطوبولوجية الأساسية، و${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} هو تشاكل من حزمة البنية لـ${\displaystyle Y}$إلى الصورة المباشرة لحزمة البنية لـ X. بعبارة أخرى، تشاكل من${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ل${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$يتم الحصول على البيانات التالية:

• خريطة متصلة${\displaystyle f:X\to Y}$
• عائلة من التشاكلات الحلقية${\displaystyle \varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$لكل مجموعة مفتوحة${\displaystyle V}$ل${\displaystyle Y}$التي تتنقل وفقًا لخرائط التقييد. أي، إذا${\displaystyle V_{1}\subseteq V_{2}}$هما مجموعتان فرعيتان مفتوحتان من${\displaystyle Y}$إذاً، يجب أن يكون المخطط التالي تبادليًا (الخرائط الرأسية هي تشاكلات التقييد):

هناك شرط إضافي يتعلق بالتشكلات بين الفضاءات الحلقية المحلية :

• التماثلات الحلقية الناتجة عن${\displaystyle \varphi }$بين سيقان${\displaystyle Y}$وسيقان${\displaystyle X}$يجب أن تكون تشاكلات محلية ، أي لكل${\displaystyle x\in X}$المثال الأقصى للحلقة المحلية (الساق) عند${\displaystyle f(x)\in Y}$يتم تحويلها إلى المثال الأقصى للحلقة المحلية عند${\displaystyle x\in X}$.

يمكن تركيب مورفيزمين لتكوين مورفيزم جديد، فنحصل بذلك على فئة الفضاءات الحلقية وفئة الفضاءات الحلقية المحلية. وتُعرَّف التشاكلات في هذه الفئات كالمعتاد.

تتمتع الفضاءات الحلقية المحلية ببنية كافية تسمح بتعريف ذي معنى للفضاءات المماسية .${\displaystyle X}$كن مساحة محاطة بحلقة محلية ذات بنية حزمة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$نريد تعريف الفضاء المماسي${\displaystyle T_{x}(X)}$عند النقطة${\displaystyle x\in X}$خذ الحلقة المحلية (الساق)${\displaystyle R_{x}}$عند النقطة${\displaystyle x}$، مع الوضع المثالي الأقصى${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$. ثم${\displaystyle k_{x}:=R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$هو حقل و${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$هو فضاء متجهي فوق ذلك الحقل ( الفضاء المماسي المشترك ). الفضاء المماسي${\displaystyle T_{x}(X)}$يُعرَّف بأنه الفضاء الثنائي لهذا الفضاء المتجهي.

الفكرة هي كالتالي: متجه مماس عند${\displaystyle x}$ينبغي أن يوضح لك كيفية "تمييز" "الدوال" في${\displaystyle x}$أي عناصر${\displaystyle R_{x}}$يكفي الآن معرفة كيفية تفاضل الدوال التي قيمتها عند${\displaystyle x}$يساوي صفرًا، لأن جميع الدوال الأخرى تختلف عن هذه الدوال فقط بثابت، ونحن نعرف كيفية اشتقاق الثوابت. لذلك نحتاج فقط إلى النظر في${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$علاوة على ذلك، إذا عُلمت دالتان بقيمة صفر عند${\displaystyle x}$إذن، يكون لمشتقة حاصل ضربهما قيمة صفرية عند${\displaystyle x}$، وفقًا لقاعدة الضرب . لذا، كل ما نحتاجه هو معرفة كيفية إسناد "أرقام" إلى عناصر${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$وهذا ما يفعله الفضاء المزدوج.

بالنظر إلى مساحة محاطة بحلقة محلية${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$، حزم معينة من الوحدات على${\displaystyle X}$يحدث ذلك في التطبيقات،${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$الوحدات النمطية. لتعريفها، لنفترض حزمة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من المجموعات الأبيلية على${\displaystyle X}$. لو${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$هي وحدة فوق الحلقة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$لكل مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$في${\displaystyle X}$وإذا كانت خرائط التقييد متوافقة مع بنية الوحدة، فإننا نستدعي${\displaystyle {\mathcal {F}}}$أن${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدة. في هذه الحالة، ساق${\displaystyle {\mathcal {F}}}$في${\displaystyle x}$سيكون وحدة نمطية فوق الحلقة المحلية (الساق)${\displaystyle R_{x}}$لكل${\displaystyle x\in X}$.

التماثل بين اثنين من هذا القبيل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules هو تشاكل للحزم يتوافق مع هياكل الوحدات المعطاة. فئة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدات نمطية على مساحة حلقية محلية ثابتة${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$هي فئة أبيلية .

فئة فرعية مهمة من فئة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules هي فئة الحزم شبه المتماسكة على${\displaystyle X}$حزمة من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$يُطلق على الوحدات شبه المتماسكة اسم الوحدات شبه المتماسكة إذا كانت، محليًا، متماثلة مع النواة المشتركة لخريطة بين الوحدات الحرة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدات. حزمة متماسكة${\displaystyle F}$هي حزمة شبه متماسكة، وهي محليًا من النوع المحدود ، ولكل مجموعة جزئية مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$نواة أي تشاكل من حر${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$- وحدة نمطية ذات رتبة محدودة إلى${\displaystyle {\mathcal {F}}_{U}}$وهو أيضاً من النوع المحدود.

• القسم 0.4 من جروتينديك, الكسندر ; ديودوني ، جان (1960). "عناصر الهندسة الجبرية: I. لغة المخططات" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 4 . دوى : 10.1007/bf02684778 . السيد 0217083 . 
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 

• أونيشيك، أ. ل. (2001) [1994]، "الفضاء الحلقي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS