مخطط الاقتباس

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 99 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الجبرية ، مخطط القسمة هو مخطط يُعطي معلمات للحزم على مخطط إسقاطي . وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كان X مخططًا إسقاطيًا على مخطط نوثري S ، وإذا كانت F حزمة متماسكة على X ، فإنه يوجد مخططاقتباسF⁡(X){\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)}مجموعة نقاط T الخاصة بهااقتباسF⁡(X)(تي)=مورS⁡(تي،اقتباسF⁡(X)){\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)(T)=\operatorname {Mor} _{S}(T,\operatorname {Quot} _{F}(X))}هي مجموعة فئات التشاكل لقسمةF×Sتي{\displaystyle F\times _{S}T}التي تكون مسطحة على T. وقد قدم هذا المفهوم ألكسندر غروتينديك . [ 1 ]

يُستخدم عادةً لإنشاء مخطط آخر يُحدد معلمات الكائنات الهندسية ذات الأهمية، مثل مخطط هيلبرت . (في الواقع، باعتبار F حزمة البنية)ياX{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}(يعطي مخطط هيلبرت.)

تعريف

بالنسبة لمخطط من النوع المحدودX→S{\displaystyle X\to S}على مخطط أساسي نوثيريS{\displaystyle S}وحزمة متماسكةهـ∈كوه(X){\displaystyle {\mathcal {E}}\in {\text{Coh}}(X)}، يوجد عامل [ 2 ] [ 3 ]

سؤالuoتهـ/X/S:(Sجح/S)oص→مجموعات{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}:(Sch/S)^{op}\to {\text{Sets}}}

إرسالتي→S{\displaystyle T\to S}ل

سؤالuoتهـ/X/S(تي)={(F،q):F∈كيو كوه(Xتي)F مُقدَّمة بشكل نهائي على Xتيملحق(F) مناسب فوق تيF مسطح بالكامل تيq:هـتي→F شامل}/∼{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q):{\begin{matrix}{\mathcal {F}}\in {\text{QCoh}}(X_{T})\\{\mathcal {F}}\ {\text{مُمَثَّلة بشكل محدود على}}\ X_{T}\\{\text{Supp}}({\mathcal {F}}){\text{ دالة مناسبة على }}T\\{\mathcal {F}}{\text{ دالة مسطحة على }}T\\q:{\mathcal {E}}_{T}\to {\mathcal {F}}{\text{ شاملة}}\end{matrix}}\right\}/\sim }

أينXتي=X×Sتي{\displaystyle X_{T}=X\times _{S}T}وهـتي=صرX*هـ{\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}=pr_{X}^{*}{\mathcal {E}}}تحت الإسقاطصرX:Xتي→X{\displaystyle pr_{X}:X_{T}\to X}توجد علاقة تكافؤ معطاة بواسطة(F،q)∼(F′،q′){\displaystyle ({\mathcal {F}},q)\sim ({\mathcal {F}}',q')}إذا كان هناك تماثلF→F′{\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}'}التنقل باستخدام الإسقاطينq،q′{\displaystyle q,q'}؛ إنه،

هـتي→qF↓↓هـتي→q′F′{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q}}&{\mathcal {F}}\\\downarrow {}&&\downarrow \\{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q'}}&{\mathcal {F}}'\end{matrix}}}

هو مخطط تبادلي لـهـتي→أنادهـتي{\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}}أو بدلاً من ذلك، يوجد شرط مكافئ للحيازةكير(q)=كير(q′){\displaystyle {\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')}يُطلق على هذا اسم دالة الاقتباس، والتي لها تقسيم طبيعي إلى اتحاد منفصل من الدوال الفرعية، كل منها ممثل بواسطة دالة إسقاطية.S{\displaystyle S}مخطط يُسمى " مخطط هيلبرت" المرتبط بمتعددة حدود هيلبرتΦ{\displaystyle \Phi }.

متعددة حدود هيلبرت

لحزمة خطوط كبيرة نسبياًل∈صورة(X){\displaystyle {\mathcal {L}}\in {\text{Pic}}(X)}[ 4 ] وأينقطة مغلقةs∈S{\displaystyle s\in S}هناك وظيفةΦF:شمال→شمال{\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }إرسال

م↦χ(Fs(م))=∑أنا=0ن(-1)أناخافتκ(s)حأنا(X،Fs⊗لs⊗م)//

وهي متعددة الحدود لـم>>0{\displaystyle m>>0}يُطلق على هذا اسم متعددة حدود هيلبرت، والتي تُعطي تصنيفًا طبيعيًا لدالة "القسمة". مرة أخرى، بالنسبة لـل{\displaystyle {\mathcal {L}}}يوجد اتحاد منفصل للدوال الفرعية عند تثبيتها

سؤالuoتهـ/X/S=∐Φ∈سؤال[ت]سؤالuoتهـ/X/SΦ،ل{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}=\coprod _{\Phi \in \mathbb {Q} [t]}{\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}

أين

سؤالuoتهـ/X/SΦ،ل(تي)={(F،q)∈سؤالuoتهـ/X/S(تي):ΦF=Φ}{\displaystyle {\mathcal {Quot}} _ {{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q)\in {\mathcal {Quot}} _ {{\mathcal {E}}/X/S}(T):\Phi _{\mathcal {F}}=\Phi \right\}}

متعددة حدود هيلبرتΦF{\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}}هي متعددة حدود هيلبرت لـFت{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}بالنسبة للنقاط المغلقةت∈تي{\displaystyle t\in T}لاحظ أن متعددة حدود هيلبرت مستقلة عن اختيار حزمة الخطوط الواسعة جدًال{\displaystyle {\mathcal {L}}}.

نظرية غروتينديك للوجود

تنص إحدى نظريات غروتينديك على أن الدوالسؤالuoتهـ/X/SΦ،ل{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}جميعها قابلة للتمثيل بواسطة مخططات إسقاطيةاقتباسهـ/X/SΦ{\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi }}زيادةS{\displaystyle S}.

أمثلة

غراسمانيان

غراسمانيان​جي(ن،ك){\displaystyle G(n,k)}لك{\displaystyle k}-طائرات فين{\displaystyle n}الفضاء المتجهي ذو الأبعاد n له خارج قسمة عالمي

ياجي(ن،ك)⊕ك→يو{\displaystyle {\mathcal {O}} _ {G(n,k)}^{\oplus k}\to {\mathcal {U}}}

أينيوx{\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}}هوك{\displaystyle k}المستوى المُمثَّل بـx∈جي(ن،ك){\displaystyle x\in G(n,k)}. منذيو{\displaystyle {\mathcal {U}}}هو مجاني محليًا ويمثل في كل نقطةك{\displaystyle k}المستوى -، له متعددة حدود هيلبرت الثابتةΦ(λ)=ك{\displaystyle \Phi (\lambda )=k}وهذا يدل علىجي(ن،ك){\displaystyle G(n,k)}يمثل دالة الاقتباس

سؤالuoتياجي(ن،ك)⊕(ن)/المواصفات(Z)/المواصفات(Z)ك،ياجي(ن،ك){\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus (n)}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}^{k,{\mathcal {O}}_{G(n,k)}}}

الفضاء الإسقاطي

كحالة خاصة، يمكننا بناء الحزمة الإسقاطيةP(هـ){\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}زيادةX{\displaystyle X}كما هو الحال في "المخطط"

سؤالuoتهـ/X/S1،ياX{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{1,{\mathcal {O}}_{X}}}

لحزمةهـ{\displaystyle {\mathcal {E}}}فيS{\displaystyle S}-مخططX{\displaystyle X}.

مخطط هيلبرت

مخطط هيلبرت هو مثال خاص على مخطط الاقتباس. لاحظ المخطط الفرعيZ⊂X{\displaystyle Z\subset X}يمكن تقديمها كإسقاط

ياX→ياZ{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Z}}

وعائلة مسطحة من هذه الإسقاطات التي يتم تحديد معالمها بواسطة مخططتي∈Sجح/S{\displaystyle T\in Sch/S}يمكن تقديمها بواسطة

ياXتي→F{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{T}}\to {\mathcal {F}}}

بما أن هناك متعددة حدود هيلبرت مرتبطة بـZ{\displaystyle Z}، المشار إليهΦZ{\displaystyle \Phi _{Z}}يوجد تماثل بين المخططات

اقتباسياX/X/SΦZ≅هيلبX/SΦZ{\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}_{X}/X/S}^{\Phi _{Z}}\cong {\text{Hilb}}_{X/S}^{\Phi _{Z}}}

مثال على تحديد المعلمات

لوX=Pكن{\displaystyle X=\mathbb {P} _{k}^{n}}وS=المواصفات(ك){\displaystyle S={\text{Spec}}(k)}بالنسبة لحقل مغلق جبريًا ، فإن المقطع غير الصفريs∈Γ(يا(د)){\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))}لديه موضع متلاشيZ=Z(s){\displaystyle Z=Z(s)}باستخدام متعددة حدود هيلبرت

ΦZ(λ)=(ن+λن)-(ن-د+λن){\displaystyle \Phi _{Z}(\lambda )={\binom {n+\lambda }{n}}-{\binom {n-d+\lambda }{n}}}

ثم هناك عملية الشمول.

يا→ياZ{\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}

مع النواةيا(-د){\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}. منذs{\displaystyle s}كان مقطعًا غير صفري عشوائيًا، وموضع التلاشي لـأ⋅s{\displaystyle a\cdot s}لأ∈ك*{\displaystyle a\in k^{*}}يعطي نفس موضع التلاشي، المخططسؤال=P(Γ(يا(د))){\displaystyle Q=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))}يُعطي هذا تمثيلاً طبيعياً لجميع هذه المقاطع. هناك حزمةهـ{\displaystyle {\mathcal {E}}}علىX×سؤال{\displaystyle X\times Q}بحيث يكون لأي[s]∈سؤال{\displaystyle [s]\in Q}يوجد مخطط فرعي مرتبط بهZ⊂X{\displaystyle Z\subset X}والشموليا→ياZ{\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}يمثل هذا التركيب دالة الاقتباس

سؤالuoتيا/Pن/المواصفات(ك)ΦZ{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{\Phi _{Z}}}

الأسطح التربيعية في المستوى الإسقاطي

لوX=P2{\displaystyle X=\mathbb {P} ^{2}}وs∈Γ(يا(2)){\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))}، متعددة حدود هيلبرت هي

ΦZ(λ)=(2+λ2)-(2-2+λ2)=(λ+2)(λ+1)2-λ(λ-1)2=λ2+3λ+22-λ2-λ2=2λ+22=λ+1{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Z}(\lambda )&={\binom {2+\lambda }{2}}-{\binom {2-2+\lambda }{2}}\\&={\frac {(\lambda +2)(\lambda +1)}{2}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2}}\\&={\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +2}{2}}-{\frac {\lambda ^{2}-\lambda }{2}}\\&={\frac {2\lambda +2}{2}}\\&=\lambda +1\end{aligned}}}

و

اقتباسيا/P2/المواصفات(ك)λ+1≅P(Γ(يا(2)))≅P5{\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}\cong \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(2)))\cong \mathbb {P} ^{5}}

القسمة الكونية علىP5×P2{\displaystyle \mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}}يُعطى بواسطة

يا→يو{\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {U}}}

حيث يمر الليف فوق نقطة[Z]∈اقتباسيا/P2/المواصفات(ك)λ+1{\displaystyle [Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}}يعطي التشاكل الإسقاطي

يا→ياZ{\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}

على سبيل المثال، إذا[Z]=[أ0:أ1:أ2:أ3:أ4:أ5]{\displaystyle [Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]}يمثل معاملات

و=أ0x2+أ1xy+أ2xz+أ3y2+أ4yz+أ5z2{\displaystyle f=a_{0}x^{2}+a_{1}xy+a_{2}xz+a_{3}y^{2}+a_{4}yz+a_{5}z^{2}}

ثم القسمة الشاملة على[Z]{\displaystyle [Z]}يعطي التسلسل الدقيق القصير

0→يا(-2)→ويا→ياZ→0{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {f}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}

حزم متجهة شبه مستقرة على منحنى

حزم متجهة شبه مستقرة على منحنىج{\displaystyle C}من جنسز{\displaystyle g}ويمكن وصفها بشكل مكافئ بأنها حزم حرة محلية ذات رتبة محدودة. هذه الحزم الحرة المحليةF{\displaystyle {\mathcal {F}}}من الرتبةن{\displaystyle n}والدرجةد{\displaystyle d}يمتلك الخصائص [ 5 ]

  1. ح1(ج،F)=0{\displaystyle H^{1}(C,{\mathcal {F}})=0}
  2. F{\displaystyle {\mathcal {F}}}يتم إنشاؤها بواسطة الأقسام العالمية

لد>ن(2ز-1){\displaystyle d>n(2g-1)}وهذا يعني وجود دالة شاملة.

ح0(ج،F)⊗ياج≅ياج⊕شمال→F{\displaystyle H^{0}(C,{\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {O}}_{C}\cong {\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}\to {\mathcal {F}}}

ثم، مخطط "سؤالuoتياج⊕شمال/ج/Z{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }}يُحدد هذا النموذج جميع هذه التطبيقات الشاملة. وباستخدام نظرية غروتينديك-ريمان-روخ، يكون البُعدشمال{\displaystyle N}يساوي

χ(F)=د+ن(1-ز){\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=d+n(1-g)}

باقة الخط الثابتل{\displaystyle {\mathcal {L}}}درجة علمية1{\displaystyle 1}هناك التواءF(م)=F⊗ل⊗م{\displaystyle {\mathcal {F}}(m)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes m}}، مما يؤدي إلى تغيير الدرجة بواسطةنم{\displaystyle nm}، لذا

χ(F(م))=من+د+ن(1-ز){\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(m))=mn+d+n(1-g)}[ 5 ]

مما يعطي متعددة حدود هيلبرت

ΦF(λ)=نλ+د+ن(1-ز){\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}(\lambda )=n\lambda +d+n(1-g)}

ثم، يقع موضع حزم المتجهات شبه المستقرة في

سؤالuoتياج⊕شمال/ج/ZΦF،ل{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }^{\Phi _{\mathcal {F}},{\mathcal {L}}}}

والتي يمكن استخدامها لإنشاء فضاء المعاملاتمج(ن،د){\displaystyle {\mathcal {M}}_{C}(n,d)}من حزم المتجهات شبه المستقرة باستخدام حاصل قسمة GIT . [ 5 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ جروتينديك، ألكسندر. تقنيات البناء ونظريات الوجود في الهندسة الجبرية IV  : مخططات هيلبرت. ندوة بورباكي : سنوات 1960/61، المعارض 205-222، ندوة بورباكي، رقم. 6 (1961)، الحديث رقم. 221، ص. 249-276
  2. ↑ نيتسور، نيتين (2005). "بناء مخططات هيلبرت وكوت". الهندسة الجبرية الأساسية: شرح الهندسة الجبرية الأساسية لغروتينديك . دراسات وبحوث رياضية. المجلد  123. الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 105-137 . arXiv : math/0504590 . ISBN  978-0-8218-4245-4.
  3. ↑ ألتمان، ألين ب.؛ كلايمان، ستيفن ل. (1980). "تبسيط مخطط بيكارد" . التقدم في الرياضيات . 35 (1): 50-112 . doi : 10.1016/0001-8708(80)90043-2 . ​​ISSN 0001-8708 . 
  4. ↑ بمعنى أساسsأنا{\displaystyle s_{i}}بالنسبة للأقسام العالميةΓ(X،ل){\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {L}})}يُعرّف التضمينs:X→PSشمال{\displaystyle \mathbb {s} :X\to \mathbb {P} _{S}^{N}}لشمال=خافت(Γ(X،ل)){\displaystyle N={\text{dim}}(\Gamma (X,{\mathcal {L}}))}
  5. 1 2 3 هوسكينز، فيكتوريا. "مسائل المعاملات ونظرية الثوابت الهندسية" (ملف PDF) . الصفحات 68، 74-85 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 1 مارس 2020. 

للمزيد من القراءة