مخطط هيلبرت

قام غروتينديك بوضع مخطط هيلبرت${\displaystyle \mathbf {هيلب} (ن)}$ل${\displaystyle n}$إسقاطي -أبعاد${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$الفضاء كمخطط فرعي من غراسمانيان مُعرَّف بانعدام المحددات المختلفة . وتتمثل خاصيته الأساسية في أنه بالنسبة للمخطط${\displaystyle T}$، فهو يمثل الدالة التي${\displaystyle T}$النقاط ذات القيم هي المخططات الفرعية المغلقة لـ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times T}$التي مسطحة فوق${\displaystyle T}$.

لو${\displaystyle X}$هو مخطط فرعي من${\displaystyle n}$الفضاء الإسقاطي ذو الأبعاد n، إذن${\displaystyle X}$يتوافق مع نموذج مثالي متدرج${\displaystyle I_{X}^{\bullet }}$حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle S}$في${\displaystyle n+1}$متغيرات، مع قطع متدرجة${\displaystyle I_{X}^{m}}$. بالنسبة لكبير بما فيه الكفاية${\displaystyle m}$جميع مجموعات التماثل الأعلى من${\displaystyle X}$بمعاملات في${\displaystyle {\mathcal {O}}(m)}$يختفي. باستخدام التسلسل الدقيق

${\displaystyle 0\to I_{X}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

لدينا${\displaystyle I_{X}^{m}=\Gamma (I_{X}\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m))}$له أبعاد${\displaystyle Q(m)-P_{X}(m)}$، أين${\displaystyle Q}$هي متعددة حدود هيلبرت للفضاء الإسقاطي. ويمكن إثبات ذلك بضرب المتتالية التامة أعلاه في الحزم المسطحة محليًا.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m)}$مما يعطي متتالية دقيقة حيث يكون للحدين الأخيرين تماثل تافه، مما يعني تفاهته التماثل الأعلى لـ${\displaystyle I_{X}(m)}$لاحظ أننا نستخدم مساواة متعددة حدود هيلبرت لحزمة متماسكة مع خاصية أويلر لمجموعات تماثل الحزمة الخاصة بها .

اختر قيمة كبيرة بما يكفي لـ${\displaystyle m}$. ال${\displaystyle (Q(m)-P_{X}(m))}$فضاء ذو ​​أبعاد${\displaystyle I_{X}^{m}}$هو فضاء جزئي من${\displaystyle Q(m)}$فضاء ذو ​​أبعاد${\displaystyle S^{m}}$، لذا فهي تمثل نقطة من نقاط غراسمانيان${\displaystyle {\textbf {Gr}}(Q(m)-P_{X}(m),Q(m))}$سيعطي هذا تضمينًا لجزء من مخطط هيلبرت الذي يتوافق مع متعددة حدود هيلبرت${\displaystyle P_{X}}$في هذا غراسمانيان.

يبقى وصف بنية المخطط على هذه الصورة، أي وصف عدد كافٍ من العناصر للمثالي المقابل لها. ويُحدد هذا العدد الكافي من العناصر بالشرط التالي: أن يكون للدالة I _X ( m ) ⊗ S ( k ) → S ( k + m ) رتبة لا تتجاوز dim( I _X ( k + m )) لجميع قيم k الموجبة ، وهو ما يُكافئ انعدام المحددات المختلفة. (يُبين تحليل أكثر دقة أنه يكفي اختيار k = 1 ).

إذا كانت خريطة الهيكل${\displaystyle X\to S}$إذا كانت الدالة إسقاطية، فإن هذا المؤثر يُمثَّل بمخطط هيلبرت المُنشأ أعلاه. ويتطلب تعميم ذلك على حالة الدوال من النوع المحدود تقنية الفضاءات الجبرية التي طورها آرتين. ^{[ 1 ]}

في أعم صورها، تُعرَّف دالة هيلبرت لخريطة من نوع محدود للفضاءات الجبرية${\displaystyle f\colon X\to B}$مُعرّف على مخطط${\displaystyle S}$ثم يتم تعريف دالة هيلبرت على النحو التالي ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}:(Sch/B)^{op}\to Sets}$

إرسال T إلى

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}(T)=\left\{Z\subset X\times _{B}T:{\begin{aligned}&Z\to T{\text{ is flat, proper,}}\\&{\text{and of finite presentation}}\end{aligned}}\right\}}$.

لا يمكن تمثيل هذا المؤثر بواسطة مخطط، بل بواسطة فضاء جبري. كذلك، إذا${\displaystyle S={\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$، و${\displaystyle X\to B}$هي خريطة من النوع المحدود للمخططات، ويتم تمثيل دالة هيلبرت الخاصة بها بواسطة فضاء جبري.

كان مخطط فانو لمخطط إسقاطي أحد الأمثلة المحفزة لدراسة مخطط هيلبرت بشكل عام . بالنظر إلى مخطط فرعي${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$درجة علمية${\displaystyle d}$هناك خطة${\displaystyle F_{k}(X)}$في${\displaystyle \mathbb {G} (k,n)}$تحديد المعلمات${\displaystyle H\subset X\subset \mathbb {P} ^{n}}$أين${\displaystyle H}$هو${\displaystyle k}$المستوى في${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$وهذا يعني أنه تضمين من الدرجة الأولى لـ${\displaystyle \mathbb {P} ^{k}}$[ ^{3 ]} للأسطح الملساء ^في${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$درجة علمية${\displaystyle d\geq 3}$مخططات فانو غير الفارغة${\displaystyle F_{k}(X)}$تكون الأسطح الملساء ذات أبعاد صفرية. وذلك لأن الخطوط على الأسطح الملساء لها تقاطع ذاتي سلبي. ^{[ 3 ]}

ومن الأمثلة الشائعة الأخرى مخططات هيلبرت لـ${\displaystyle n}$- نقاط المخطط${\displaystyle X}$، ويشار إليه عادةً بـ${\displaystyle X^{[n]}}$بالنسبة لسطح ريمان X،${\displaystyle X^{[n]}=S^{n}X=X^{n}/S_{n}}$. ل${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$يوجد تفسير هندسي جميل حيث تكون مواضع الحدود${\displaystyle B\subset H}$يمكن اعتبار وصف تقاطع النقاط بمثابة تحديد معلمات النقاط مع متجهات المماس الخاصة بها. على سبيل المثال،${\displaystyle (\mathbb {P} ^{2})^{[2]}}$الانفجار${\displaystyle Bl_{\Delta }(\mathbb {P} ^{2}\times \mathbb {P} ^{2}/S_{2})}$القطر ^{[ 4 ]} modulo الفعل المتناظر.

مخطط هيلبرت للأسطح الفائقة من الدرجة k في${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$يتم تحديده بواسطة الإسقاط${\displaystyle \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(k)))}$على سبيل المثال، مخطط هيلبرت للأسطح الفائقة من الدرجة الثانية في${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$يكون${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$مع السطح الفائق الشامل المعطى بواسطة

${\displaystyle {\text{Proj}}(k[x_{0},x_{1}][\alpha ,\beta ,\gamma ]/(\alpha x_{0}^{2}+\beta x_{0}x_{1}+\gamma x_{1}^{2}))\subseteq \mathbb {P} _{x_{0},x_{1}}^{1}\times \mathbb {P} _{\alpha ,\beta ,\gamma }^{2}}$

حيث تكون الحلقة الأساسية ثنائية الدرجة.

لجنس ثابت${\displaystyle g}$منحنى جبري${\displaystyle C}$، درجة حزمة التثني الثلاثية الموترية${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$يتم توليدها عالميًا، مما يعني أن خاصية أويلر الخاصة بها تتحدد بأبعاد المقاطع العالمية، لذلك

${\displaystyle \chi (\omega _{C}^{\otimes 3})=\dim H^{0}(C,\omega _{X}^{\otimes 3})}$.

بُعد هذا الفضاء المتجهي هو${\displaystyle 5g-5}$ومن ثم الأقسام العالمية لـ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$تحديد تضمين في${\displaystyle \mathbb {P} ^{5g-6}}$لكل جنس${\displaystyle g}$المنحنى. باستخدام صيغة ريمان-روخ، يمكن حساب متعددة حدود هيلبرت المرتبطة به على النحو التالي:

${\displaystyle H_{C}(t)=6(g-1)t+(1-g)}$.

ثم، مخطط هيلبرت

${\displaystyle {\text{Hilb}}_{\mathbb {P} ^{5g-6}}^{H_{C}(t)}}$

تُستخدم هذه الطريقة لتمثيل جميع منحنيات الجنس g . ويُعدّ بناء هذا المخطط الخطوة الأولى في بناء حزمة المعاملات للمنحنيات الجبرية. أما الأداة التقنية الرئيسية الأخرى فهي حاصل قسمة GIT، حيث يتم بناء فضاء المعاملات هذا كحاصل قسمة.

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}=[U_{g}/GL_{5g-6}]}$،

أين${\displaystyle U_{g}}$هو الموضع الفرعي للمنحنيات الملساء في مخطط هيلبرت.

• صيغة بوت والهندسة التعدادية
• عدد المكعبات الملتوية على شكل ثلاثي خماسي
• المنحنيات العقلانية على ثلاثيات كالابي-ياو: التحقق من تنبؤات التناظر المرآوي