الهندسة التبسيطية

الهندسة التبسيطية هي فرع من الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا التفاضلية يدرس المشعبات التبسيطية ؛ أي المشعبات القابلة للتفاضل والمجهزة بصيغة تفاضلية ثنائية مغلقة وغير متدهورة . وتعود أصول الهندسة التبسيطية إلى صياغة هاميلتونية للميكانيكا الكلاسيكية ، حيث يتخذ فضاء الطور لبعض الأنظمة الكلاسيكية بنية مشعب تبسيطي. ^{[ 1 ]}

مصطلح "التماثلي"، كما تبناه هيرمان فايل في الرياضيات ، ^{[ 2 ] [ 3 ]} هو ترجمة حرفية حديثة من اليونانية لكلمة "مركب". سابقًا، كانت تُسمى " المجموعة التماثلية " "مجموعة الخطوط المركبة". كلمة "مركب" مشتقة من الكلمة اللاتينية com-plexus ، والتي تعني "مضفر معًا" (co- + plexus)، بينما كلمة "تماثلي" تمثل الكلمة اليونانية المقابلة sym-plektikos ( συμπλεκτικός ، والتي تعني "اللف أو التضفير معًا، صيغة الوصل"). في كلتا الحالتين، تأتي الجذور من الجذر الهندو-أوروبي *pleḱ- ، الذي يعبر عن مفهوم الطي أو النسيج، وتشير البادئات إلى "الترابط". يعكس الاسم الروابط العميقة بين البنى المركبة والتماثلية.

بحسب نظرية داربو ، فإنّ المشعبات التبسيطية متماثلة محليًا مع فضاء المتجهات التبسيطي القياسي . وبالتالي، فهي لا تملك سوى ثوابت عالمية (طوبولوجية). غالبًا ما يُستخدم مصطلح "الطوبولوجيا التبسيطية" كمرادف لمصطلح "الهندسة التبسيطية".

تُعرَّف الهندسة التبسيطية على فضاء أملس ذي أبعاد زوجية، وهو فضاء متعدد الشعب قابل للتفاضل . ويُعرَّف على هذا الفضاء كائن هندسي، هو الشكل التبسيطي ثنائي الأبعاد ، الذي يسمح بقياس أحجام الأجسام ثنائية الأبعاد في هذا الفضاء . ويؤدي الشكل التبسيطي في الهندسة التبسيطية دورًا مشابهًا لدور موتر القياس في الهندسة الريمانية . فبينما يقيس موتر القياس الأطوال والزوايا، يقيس الشكل التبسيطي المساحات الموجهة. ^{[ 4 ]}

نشأت الهندسة التبسيطية من دراسة الميكانيكا الكلاسيكية ، ومن أمثلة البنية التبسيطية حركة جسم في بُعد واحد. لتحديد مسار الجسم، يلزم معرفة كل من الموضع q والزخم p ، اللذين يشكلان نقطة ( p , q ) في المستوى الإقليدي .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$في هذه الحالة، يكون الشكل التبسيطي هو

${\displaystyle \omega =dp\wedge dq}$

وهي شكل من أشكال المساحة التي تقيس مساحة المنطقة A في المستوى S من خلال التكامل :

${\displaystyle A=\int _{S}\omega .}$

تُعد هذه المنطقة مهمة لأنها تظل ثابتة مع تطور الأنظمة الديناميكية المحافظة بمرور الوقت. ^{[ 4 ]}

تُعرَّف الهندسات التبسيطية ذات الأبعاد الأعلى بشكل مماثل. تتكون الهندسة التبسيطية ذات البعد 2n من أزواج من الاتجاهات

${\displaystyle ((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))}$

في مشعب ذي 2n بُعد بالإضافة إلى شكل تماثلي

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

ينتج عن هذا الشكل التبسيطي حجم منطقة 2 n- الأبعاد V في الفضاء كمجموع مساحات إسقاطات V على كل مستوى من المستويات التي تشكلها أزواج الاتجاهات ^{[ 4 ].}

${\displaystyle A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

الهندسة الريمانية هي دراسة المشعبات التفاضلية المزودة بموترات ثنائية غير متدهورة ومتناظرة (تسمى موترات القياس ). وتتشابه الهندسة التبسيطية مع الهندسة الريمانية في بعض الجوانب وتختلف عنها في جوانب أخرى.

على عكس حالة ريمان، لا تمتلك المشعبات التبسيطية ثوابت محلية مثل الانحناء . هذه نتيجة لنظرية داربو التي تنص على أن جوار أي نقطة في مشعب تبسيطي ذي بُعد 2n يكون متماثلًا مع البنية التبسيطية القياسية على مجموعة مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$.

يتمثل أحد الاختلافات الأخرى مع الهندسة الريمانية في أنه لا يمكن لكل مشعب قابل للتفاضل أن يقبل شكلاً تماثلياً؛ فهناك قيود طوبولوجية معينة. على سبيل المثال، كل مشعب تماثلي هو مشعب زوجي الأبعاد وقابل للتوجيه . بالإضافة إلى ذلك، إذا كان M مشعبًا تماثلياً مغلقًا، فإن مجموعة التماثل الثانية لدي رام H₂ ( M ) غير تافهة (بل إن كل مجموعة تماثل زوجية الأبعاد غير تافهة)؛ وهذا يعني، على سبيل المثال، أن الكرة الوحيدة ذات البعد n التي تقبل شكلاً تماثلياً هي الكرة ذات ^البعد 2 .

يمكن الربط بين هذين الموضوعين من خلال التشبيه بين الخطوط الجيوديسية في الهندسة الريمانية والمنحنيات شبه الهولومورفية في الهندسة التبسيطية. فالخطوط الجيوديسية هي منحنيات ذات أقصر طول (محليًا)، بينما المنحنيات شبه الهولومورفية هي أسطح ذات مساحة دنيا. ويلعب كلا المفهومين دورًا أساسيًا في تخصصيهما.

كل مشعب كاهلر هو أيضًا مشعب سيمبليكتيكي. وحتى سبعينيات القرن العشرين، لم يكن خبراء السيمبليكتيكي متأكدين مما إذا كانت هناك أي مشعبات سيمبليكتيكي غير كاهلرية مضغوطة، ولكن منذ ذلك الحين تم بناء العديد من الأمثلة (كان أولها من نصيب ويليام ثورستون )؛ وعلى وجه الخصوص، أظهر روبرت جومبف أن كل مجموعة معروضة بشكل محدود تظهر كمجموعة أساسية لبعض المشعبات السيمبليكتيكي الرباعية ، في تناقض واضح مع حالة كاهلر.

يمكن القول إن معظم المشعبات التبسيطية ليست كاهلرية؛ وبالتالي لا تمتلك بنية عقدية قابلة للتكامل تتوافق مع الشكل التبسيطي. ومع ذلك، فقد لاحظ ميخائيل غروموف ملاحظة مهمة مفادها أن المشعبات التبسيطية تسمح بوفرة من البنى العقدية شبه المتوافقة ، بحيث تستوفي جميع بديهيات المشعب الكاهلري باستثناء شرط أن تكون خرائط الانتقال هولومورفية .

استغل غروموف وجود البنى شبه المعقدة على المشعبات التبسيطية لتطوير نظرية المنحنيات شبه الهولومورفية ، ^{[ 5 ]} مما أدى إلى عدد من التطورات في الطوبولوجيا التبسيطية، بما في ذلك فئة من الثوابت التبسيطية تُعرف الآن باسم ثوابت غروموف-ويتن . لاحقًا، وباستخدام تقنية المنحنيات شبه الهولومورفية، ابتكر أندرياس فلور أداة مهمة أخرى في الهندسة التبسيطية تُعرف باسم هومولوجيا فلور . ^{[ 6 ]}

• أبراهام، رالف ؛ مارسدن، جيرولد إي. (1978). أسس الميكانيكا . لندن: بنجامين-كامينغز. ISBN 978-0-8053-0102-1.
• أرنولد السادس (1986). "الطوبولوجيا المبسطة الأولى" [ الخطوات الأولى في الطوبولوجيا المتماثلة ] . Успеkhи математический наук (بالروسية). 41 (6(252))): 3– 18. دوى : 10.1070/RM1986v041n06ABEH004221 . ISSN 0036-0279 . S2CID 250908036 – عن طريق المسوحات الرياضية الروسية , 1986, 41:6, 1–21.  
• ماكدوف، دوسا ؛ سالامون، د. (1998). مقدمة في الطوبولوجيا التبسيطية . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-850451-1.
• فومينكو، أ. ت. (1995). الهندسة التبسيطية (  الطبعة الثانية). جوردون وبريتش. رقم ISBN 978-2-88124-901-3.(مقدمة لمستوى المرحلة الجامعية الأولى.)
• دي جوسون، موريس أ. (2006). الهندسة التناظرية وميكانيكا الكم . بازل: دار بيركهاوزر. رقم ISBN 978-3-7643-7574-4.
• هوفر، هيلموت؛ زيندر، إدوارد (2011). الثوابت التبسيطية وديناميكيات هاميلتون . كلاسيكيات بيركهاوزر الحديثة (  الطبعة الأولى). بيركهاوزر بازل. doi : 10.1007/978-3-0348-0104-1 . ISBN 978-3-0348-0103-4.
• وينشتاين، آلان (1981). "الهندسة التبسيطية" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 5 (1): 1-13 . doi : 10.1090/s0273-0979-1981-14911-9 .
• ويل، هيرمان (1939). المجموعات الكلاسيكية. ثوابتها وتمثيلاتها .أُعيد طبعه بواسطة مطبعة جامعة برينستون (1997). رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 0-691-05756-7MR 0000255​​ 

• الوسائط المتعلقة بالهندسة التبسيطية على ويكيميديا ​​كومنز
• "البنية التبسيطية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]