متعدد الأوجه شبه المعقد

في الرياضيات ، يُعرف الفضاء شبه المركب بأنه فضاء أملس مزود ببنية خطية مركبة ملساء على كل فضاء مماس . كل فضاء مركب هو فضاء شبه مركب، ولكن توجد فضاءات شبه مركبة ليست فضاءات مركبة. وللبنى شبه المركبة تطبيقات مهمة في الهندسة التبسيطية .

يعود هذا المفهوم إلى تشارلز إهريسمان وهاينز هوبف في الأربعينيات من القرن العشرين. ^{[ 1 ]}

ليكن M مشعبًا أملسًا. البنية شبه العقدية J على M هي بنية عقدية خطية (أي دالة خطية مربعها يساوي -1) على كل فضاء مماس للمشعب، وتتغير بسلاسة على المشعب. بعبارة أخرى، لدينا حقل موتر أملس J من الدرجة (1، 1) بحيث${\displaystyle J^{2}=-1}$عند اعتبارها تماثل حزمة متجهة${\displaystyle J\colon ™\to ™}$على حزمة المماس . يُطلق على المتشعب المجهز ببنية شبه معقدة اسم المتشعب شبه المعقد .

إذا كان M يقبل بنية شبه معقدة، فلا بد أن يكون زوجي الأبعاد. ويمكن توضيح ذلك كما يلي: لنفترض أن M ذو بُعد n ، ولتكن J  : TM → TM بنية شبه معقدة. إذا كان J² = -1، ^فإن ( det J ) ^² = (-1) ^ⁿ . ولكن إذا كان M متعدد شعب حقيقي، فإن det J عدد حقيقي، وبالتالي يجب أن يكون n زوجيًا إذا كان M يمتلك بنية شبه معقدة. ويمكن إثبات أنه يجب أن يكون قابلاً للتوجيه أيضًا.

يُظهر تمرين بسيط في الجبر الخطي أن أي فضاء متجهي ذي أبعاد زوجية يقبل بنية عقدية خطية. بالتالي، يقبل أي مشعب ذي أبعاد زوجية دائمًا موترًا من الرتبة (1, 1) نقطيًا (وهو مجرد تحويل خطي على كل فضاء مماس) بحيث يكون J _p ² = −1 عند كل نقطة p . فقط عندما يمكن تجميع هذا الموتر المحلي لتعريفه عالميًا، تُنتج البنية العقدية الخطية النقطية بنية شبه عقدية، والتي تُحدد حينها بشكل فريد. إن إمكانية هذا التجميع، وبالتالي وجود بنية شبه عقدية على مشعب M، تُكافئ اختزال زمرة البنية للحزمة المماسية من GL(2 n , R ) إلى GL( n , C ) . إذن، تُعدّ مسألة الوجود مسألة جبرية طوبولوجية بحتة ، وهي مفهومة جيدًا.

لكل عدد صحيح n، تقبل الفضاءات المسطحة ^{R²ⁿ بنية} شبه معقدة. مثال على هذه البنية شبه المعقدة هو (1 ≤ j ، k ≤ 2ⁿ ):${\displaystyle J_{jk}=-i\delta _{j,k-1}}$بالنسبة لـ j الفردي ،${\displaystyle J_{jk}=i\delta _{j,k+1}}$بالنسبة لـ j الزوجية .

الكرتان الوحيدتان اللتان تقبلان بنى شبه معقدة هما ^S² و S⁶ ⁽ بوريل وسير ، 1953 ⁾ . على وجه الخصوص، لا يمكن إعطاء S⁴ بنية شبه معقدة (إهريسمان وهوبف) ^. في حالة S² ، تنشأ البنية شبه المعقدة من بنية معقدة حقيقية على كرة ريمان . أما الكرة السداسية، S⁶ ^، عند اعتبارها مجموعة الأوكتونيونات التخيلية ذات المعيار الواحد، فإنها ترث بنية شبه معقدة من ضرب الأوكتونيونات؛ وتُعرف مسألة ما إذا كانت تمتلك بنية معقدة بمسألة هوبف، نسبةً إلى هاينز هوبف . ^{[ 2 ]}

كما يسمح التركيب المعقد على الفضاء المتجهي V بتحليل V C إلى V +  و V  - (الفضاءات الذاتية لـ J المناظرة لـ + i و -i على التوالي)، فإن التركيب شبه المعقد على M يسمح بتحليل حزمة المماس المعقدة TM C (وهي حزمة متجهات الفضاءات المماسية المعقدة عند كل نقطة) إلى TM + و TM - . يُسمى مقطع TM +  حقل متجه من النوع (1, 0)، بينما يُسمى مقطع TM -  حقل متجه من النوع (0, 1). بالتالي، يُقابل J الضرب في i لحقول المتجهات (1,  0) لحزمة المماس المعقدة، والضرب في -i لحقول المتجهات (0,  1).

كما نبني الأشكال التفاضلية من القوى الخارجية لحزمة الظل المرافق ، يمكننا بناء القوى الخارجية لحزمة الظل المرافق المعقدة (المتماثلة قانونيًا مع حزمة الفضاءات الثنائية لحزمة الظل المعقدة). ويؤدي التركيب شبه المعقد إلى تفكيك كل فضاء من فضاءات الأشكال r.

${\displaystyle \Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).\,}$

بمعنى آخر، كل Ω ^r ( M ) ^C يقبل التفكيك إلى مجموع Ω ^{( p , q )}  ( M )، مع r  = p + q .   

كما هو الحال مع أي مجموع مباشر ، يوجد إسقاط قانوني π( _{p , q)} من Ωr ⁽ M ) C ^إلى Ω ^{( p , q )} . ولدينا أيضًا المشتقة الخارجية d التي تُسقط Ωr ⁽ M ) C ^على Ωr ^{+ 1} ( M ) ^C . وبالتالي، يمكننا استخدام البنية شبه المعقدة لتحسين تأثير المشتقة الخارجية إلى أشكال من النوع المحدد.

${\displaystyle \partial =\pi _{p+1,q}\circ d}$

${\displaystyle {\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d}$

لهذا السبب.${\displaystyle \partial }$هي دالة تزيد الجزء الهولومورفي من النوع بمقدار واحد (تأخذ أشكال النوع ( p , q ) إلى أشكال النوع ( p + 1, q ))، و ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$هي دالة تزيد الجزء المضاد للشكل من النوع بمقدار واحد. تُسمى هذه المؤثرات بمؤثرات دولبو .

بما أن مجموع جميع الإسقاطات يجب أن يكون دالة التطابق ، نلاحظ أنه يمكن كتابة المشتقة الخارجية على النحو التالي:

${\displaystyle d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\cdots .}$

كل مشعب معقد هو نفسه مشعب شبه معقد. في الإحداثيات الهولومورفية المحلية${\displaystyle z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }}$يمكن للمرء تحديد الخرائط

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$

(تمامًا مثل الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار π/2) أو

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}$

يمكن التحقق بسهولة من أن هذه الخريطة تُعرّف بنية شبه معقدة. وبالتالي، فإن أي بنية معقدة على متعدد الشعب تُنتج بنية شبه معقدة، والتي يُقال إنها "مُستحثة" من البنية المعقدة، ويُقال إن البنية المعقدة "متوافقة" مع البنية شبه المعقدة.

أما السؤال المعاكس، أي ما إذا كانت البنية شبه المعقدة تستلزم وجود بنية معقدة، فهو أقل وضوحًا، ولا يصح عمومًا. على أي مشعب شبه معقد، يمكن دائمًا إيجاد إحداثيات تأخذ عندها البنية شبه المعقدة الشكل القانوني المذكور أعلاه عند أي نقطة معينة p . مع ذلك، لا يمكن عمومًا إيجاد إحداثيات تأخذ عندها J الشكل القانوني في جوار كامل للنقطة p . تُسمى هذه الإحداثيات، إن وُجدت، "إحداثيات هولومورفية محلية لـ J". إذا كان M يقبل إحداثيات هولومورفية محلية لـ J حول كل نقطة، فإن هذه الإحداثيات تتجمع لتشكل أطلسًا هولومورفيًا لـ M ، مما يمنحه بنية معقدة، والتي بدورها تُنتج J. يُقال حينها إن J " قابلة للتكامل ". إذا كانت J ناتجة عن بنية معقدة، فإنها تكون ناتجة عن بنية معقدة فريدة.

بفرض أي تطبيق خطي A على كل فضاء مماس لـ M ؛ أي إذا كان A حقل موتر من الرتبة (1،  1)، فإن موتر ناينهاوس هو حقل موتر من الرتبة (1، 2) معطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,}$

أو، في الحالة المعتادة لبنية شبه معقدة A=J بحيث${\displaystyle J^{2}=-Id}$،

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,}$

تعتمد التعبيرات الفردية على اليمين على اختيار حقول المتجهات الملساء X و Y ، لكن الجانب الأيسر يعتمد في الواقع فقط على القيم النقطية لـ X و Y ، ولهذا السبب فإن N _A عبارة عن موتر. ويتضح هذا أيضًا من صيغة المكونات.

${\displaystyle -(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).}$

من حيث قوس فروليشر-نيجينهاوس ، الذي يعمم قوس لي للحقول المتجهة، فإن موتر نيجينهاوس N _A هو نصف [ A ، A ]. 

تنص نظرية نيولاندر -نيرنبرغ على أن البنية شبه المعقدة J قابلة للتكامل إذا وفقط إذا كان N _J  =  0. والبنية المعقدة المتوافقة فريدة، كما ذُكر سابقًا. ولأن وجود بنية شبه معقدة قابلة للتكامل يُكافئ وجود بنية معقدة، يُعتبر هذا أحيانًا تعريفًا للبنية المعقدة.

هناك العديد من المعايير الأخرى التي تعادل تلاشي موتر ناينهاوس، والتي توفر بالتالي طرقًا للتحقق من قابلية تكامل بنية معقدة تقريبًا (ويمكن في الواقع العثور على كل منها في الأدبيات):

• قوس لي لأي حقلين  متجهين من النوع (1، 0) يكون مرة أخرى من النوع (1،  0).
• ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$
• ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0.}$

أي من هذه الشروط يستلزم وجود بنية معقدة فريدة ومتوافقة.

يُعدّ وجود بنية شبه معقدة مسألة طوبولوجية، ويسهل الإجابة عليها نسبيًا، كما ذُكر سابقًا. أما وجود بنية شبه معقدة قابلة للتكامل، فهو مسألة تحليلية أكثر تعقيدًا. فعلى سبيل المثال، لا يزال من غير المعروف ما إذا كانت S ⁶ تقبل بنية شبه معقدة قابلة للتكامل، على الرغم من وجود تاريخ طويل من الادعاءات التي لم يتم التحقق منها نهائيًا. وتُعدّ مسائل السلاسة مهمة. فبالنسبة لـ J التحليلية الحقيقية ، تُستنتج نظرية نيولاندر-نيرنبرغ من نظرية فروبينيوس ؛ أما بالنسبة لـ J من النوع C ^∞ (والأقل سلاسة) ، فيتطلب الأمر تحليلًا (باستخدام تقنيات أكثر صعوبة مع ضعف فرضية الانتظام).

لنفترض أن M مزودة بصيغة سيمبلكتية ω ، ومقياس ريماني g ، وبنية شبه عقدية J. بما أن ω و g غير منعدمتين ، فإن كل منهما يُنشئ تشاكل حزم TM → T*M ، حيث تُعطى الدالة الأولى، التي يُرمز لها بـ φω _، بالضرب الداخلي _φω ( u ) = iuω = _ω ( u , •) ، وتُعطى الدالة الأخرى، التي يُرمز لها بـ φg _، بالعملية المماثلة لـ g . بناءً على هذا الفهم، تُشكل البنى الثلاث ( g ، ω ، J ) ثلاثية متوافقة عندما يُمكن تحديد كل بنية بالبنيتين الأخريين كما يلي:     

• g ( u , v ) = ω ( u , Jv )
• ω( u , v ) = g ( Ju , v )
• J ( u ) = ( φ _g ) ⁻¹ ( φ _ω ( u )).

في كلٍّ من هذه المعادلات، يُقال إن البنيتين على الجانب الأيمن متوافقتان عندما يُنتج البناء المقابل بنيةً من النوع المُحدد. على سبيل المثال، تكون ω و J متوافقتين إذا وفقط إذا كانت ω (•, J •) مقياسًا ريمانيًا. الحزمة على M التي تكون مقاطعها هي البنى شبه المعقدة المتوافقة مع ω لها ألياف قابلة للانكماش : البنى المعقدة على الألياف المماسية المتوافقة مع التقييد على الأشكال التبسيطية.

باستخدام الخصائص الأساسية للصيغة التبسيطية ω ، يمكن إثبات أن البنية شبه العقدية المتوافقة J هي بنية شبه كاهلرية للمقياس الريماني ω ( u , Jv ). كذلك، إذا كانت J قابلة للتكامل، فإن ( M , ω , J ) هي مشعب كاهلري .

ترتبط هذه الثلاثيات بخاصية 2 من 3 للمجموعة الوحدوية .

قدّم نايجل هيتشين مفهوم البنية شبه المعقدة المعممة على المتشعب M ، والذي تم تفصيله في أطروحات الدكتوراه لطالبيه ماركو غوالتيري وجيل كافالكانتي . تُعرَّف البنية شبه المعقدة العادية بأنها اختيار فضاء جزئي نصف بُعدي لكل ليف من ألياف حزمة المماس المعقدة TM . أما البنية شبه المعقدة المعممة فهي اختيار فضاء جزئي متساوي الخواص نصف بُعدي لكل ليف من ألياف المجموع المباشر لحزمتي المماس والمماس المرافق المعقدتين . في كلتا الحالتين، يُشترط أن يُنتج المجموع المباشر للحزمة الجزئية ومرافقها المعقد الحزمة الأصلية.

تتكامل البنية شبه المعقدة مع بنية معقدة إذا كان الفضاء الجزئي نصف البعد مغلقًا تحت قوس لي . وتتكامل البنية شبه المعقدة المعممة مع بنية معقدة معممة إذا كان الفضاء الجزئي مغلقًا تحت قوس كوران . وإذا كان هذا الفضاء نصف البعد، علاوة على ذلك، هو مُفني سبينور نقي لا يتلاشى في أي مكان، فإن M يكون متعدد شعب كالابي-ياو معمّمًا .

• مفهوم شبه رباعي الأبعاد في الهندسة - صفحات تعرض وصفًا موجزًا ​​لأهداف إعادة التوجيه 
• فئة تشيرن – الفئات المميزة لحزم المتجهات 
• قوس Frölicher-Nijenhuis
• متعدد الشعب الكاهلري – متعدد الشعب ذو بنية ريمانية ومعقدة وتماثلية 
• مشعب بواسون – البنية الرياضية في الهندسة التفاضلية 
• مشعب ريزا
• المتشعب التبسيطي – نوع من المتشعبات في الهندسة التفاضلية 

• نيولاندر، أوغست؛ نيرنبرغ، لويس (1957). " الإحداثيات التحليلية المركبة في المشعبات شبه المركبة". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 65 (3): 391-404 . doi : 10.2307/1970051 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970051. MR 0088770 .   
• كاناس دا سيلفا، آنا (2001). محاضرات في الهندسة التناظرية . سبرينغر. رقم ISBN 3-540-42195-5.معلومات عن الثلاثيات المتوافقة، ومشعبات كاهلر وهيرميت، وما إلى ذلك.
• ويلز، ريموند أو. (1980). التحليل التفاضلي على المشعبات المعقدة . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-90419-0.قسم قصير يقدم المواد الأساسية القياسية.
• روبي، إيلينا (2014). الهندسة الجبرية، قاموس موجز . برلين/بوسطن: والتر دي جرويتر. ISBN 978-3-11-031622-3.
• الأماكن القريبة : سيري، جان بيير (1953). "مجموعات الكذب والقدرات تقلل من ستينرود". المجلة الأمريكية للرياضيات . 75 (3): 409-448 . دوى : 10.2307 / 2372495 . جستور 2372495 . السيد 0058213 .