بنية معقدة معممة

لنفترض فضاءً متعدد الشعب M ذو البعد N. الحزمة المماسية لـ M ، والتي سنرمز لها بـ T ، هي حزمة المتجهات فوق M التي تتكون أليافها من جميع المتجهات المماسية لـ M. مقطع من T هو حقل متجه على M. الحزمة المماسية المرافقة لـ M ، والتي سنرمز لها بـ T * ^، هي حزمة المتجهات فوق M التي تكون مقاطعها أشكالًا تفاضلية من الدرجة الأولى على M.

في الهندسة المعقدة، تُدرس البنى على الحزم المماسية للمتشعبات. أما في الهندسة التبسيطية، فيُهتم بالقوى الخارجية للحزمة المماسية المرافقة. وتجمع الهندسة المعممة بين هذين المجالين من خلال معالجة مقاطع الحزمة المماسية المعممة ، وهي المجموع المباشر.${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$من حزم المماس والمماس المشترك، وهي عبارة عن مجاميع رسمية لحقل متجه وشكل تفاضلي أحادي.

تتمتع الألياف بضرب داخلي طبيعي ذي توقيع ( N , N ). إذا كان X و Y حقلين متجهين، و ξ و η شكلين تفاضليين من الدرجة الأولى، فإن الضرب الداخلي لـ X+ξ و Y+η يُعرَّف على النحو التالي: 

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X)).}$

إن البنية شبه المعقدة المعممة هي مجرد بنية شبه معقدة لحزمة المماس المعممة التي تحافظ على الضرب الداخلي الطبيعي:

${\displaystyle {\mathcal {J}}:\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}\to \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

بحيث${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}=-{\rm {Id}},}$و

${\displaystyle \langle {\mathcal {J}}(X+\xi ),{\mathcal {J}}(Y+\eta )\rangle =\langle X+\xi ,Y+\eta \rangle .}$

كما هو الحال في البنية شبه المعقدة العادية ، فإن البنية شبه المعقدة المعممة تتحدد بشكل فريد من خلال خصائصها.${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$- حزمة خاصة ، أي حزمة فرعية${\displaystyle L}$من حزمة المماس المعممة المعقدة${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$ مقدم من

${\displaystyle L=\{X+\xi \in (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} \$ :\ {\mathcal {J}}(X+\xi )={\sqrt {-1}}(X+\xi )\}}

تحقق هذه الحزمة الفرعية L الخصائص التالية:

وعلى العكس من ذلك، فإن أي حزمة فرعية L تحقق الشرطين (i) و(ii) هي${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$-الحزمة الذاتية لبنية معقدة شبه معممة فريدة، بحيث يمكن اعتبار الخصائص (i) و (ii) تعريفًا بديلًا للبنية المعقدة شبه المعممة.

في الهندسة المعقدة العادية، يكون الهيكل شبه المعقد قابلاً للتكامل مع الهيكل المعقد إذا وفقط إذا كان قوس لي لقسمين من الحزمة الفرعية الهولومورفية هو قسم آخر من الحزمة الفرعية الهولومورفية.

في الهندسة العقدية المعممة، لا نهتم بحقول المتجهات، بل بالمجاميع الشكلية لحقول المتجهات والأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى. وقد تم تقديم نوع من أقواس لي لهذه المجاميع الشكلية في عام 1990، ويُسمى قوس كوران، والذي يُعرَّف بـ

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i(X)\eta -i(Y)\xi )}$

أين${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$يمثل d المشتقة الخارجية و i هو الضرب الداخلي على طول حقل المتجهات X.

البنية المعقدة المعممة هي بنية معقدة شبه معممة بحيث يكون فضاء المقاطع الملساء لـ L مغلقًا تحت قوس كوران.

توجد علاقة تناظرية بين الحزمة الفرعية المتناحية القصوى لـ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$والأزواج${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$حيث E هي حزمة فرعية من T و${\displaystyle \varepsilon }$هو شكل ثنائي. يمتد هذا التطابق بشكل مباشر إلى الحالة المعقدة.

بالنظر إلى زوج${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$يمكن للمرء أن يبني حزمة فرعية متجانسة الخواص إلى أقصى حد${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ل${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$كما يلي. عناصر الحزمة الفرعية هي المجاميع الرسمية${\displaystyle X+\xi }$حيث يمثل الحقل المتجهي X مقطعًا من E والشكل التفاضلي الأحادي ξ مقيدًا بالفضاء الثنائي${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$يساوي الشكل الأحادي${\displaystyle \varepsilon (X).}$

لرؤية ذلك${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$إذا كان متجانس الخواص، لاحظ أنه إذا كان Y مقطعًا من E و${\displaystyle \xi }$يقتصر على${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$يكون${\displaystyle \varepsilon (X)}$ثم${\displaystyle \xi (Y)=\varepsilon (X,Y),}$كجزء من${\displaystyle \xi }$متعامد مع${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$يلغي Y. لذلك إذا${\displaystyle X+\xi }$و${\displaystyle Y+\eta }$هي أقسام من${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$ثم

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X))={\frac {1}{2}}(\varepsilon (Y,X)+\varepsilon (X,Y))=0}$

وهكذا${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$متجانس الخواص. علاوة على ذلك،${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$تكون القيمة القصوى لوجود${\displaystyle \dim(\mathbf {E} )}$أبعاد (معقدة) للاختيارات لـ${\displaystyle \mathbf {E} ,}$و${\displaystyle \varepsilon }$غير مقيد بمكمل${\displaystyle \mathbf {E} ^{*},}$وهو ذو بُعد (مركب)${\displaystyle n-\dim(\mathbf {E} ).}$وبالتالي فإن البعد الكلي (المركب) هو n . وقد أثبت غوالتيري أن جميع الحزم الفرعية المتناحية القصوى تكون على الشكل التالي:${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \mathbf {E} }$و${\displaystyle \varepsilon .}$

نوع الحزمة الفرعية المتجانسة القصوى${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$يمثل البعد الحقيقي للحزمة الفرعية التي تُفني E. أو بعبارة أخرى ، هو 2N ناقص البعد الحقيقي لإسقاط${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$على الحزمة المماسية T. بعبارة أخرى، نوع الحزمة الفرعية المتناحية القصوى هو البعد المشترك لإسقاطها على الحزمة المماسية. في الحالة المركبة، يُستخدم البعد المركب، ويُشار إلى النوع أحيانًا بالنوع المركب . بينما يمكن أن يكون نوع الحزمة الفرعية من حيث المبدأ أي عدد صحيح بين 0 و2 N ، لا يمكن أن يكون للهياكل شبه المركبة المعممة نوع أكبر من N لأن مجموع الحزمة الفرعية ومرافقها المركب يجب أن يكون كليًا.${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

يظل نوع الحزمة الفرعية المتناحية القصوى ثابتًا تحت التحويلات التفاضلية وأيضًا تحت تحولات المجال المغناطيسي ، وهي تحويلات متساوية القياس لـ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$من الشكل

${\displaystyle X+\xi \longrightarrow X+\xi +i_{X}B}$

حيث B هو شكل مغلق ثنائي عشوائي يسمى المجال B في أدبيات نظرية الأوتار .

لا يكون نوع البنية شبه المعقدة المعممة ثابتًا في الغالب، إذ يمكن أن يتغير بمقدار أي عدد زوجي . ومع ذلك، فهو شبه متصل من الأعلى ، مما يعني أن لكل نقطة جوارًا مفتوحًا لا يزداد فيه النوع. عمليًا، يعني هذا أن المجموعات الفرعية ذات النوع الأكبر من النوع المحيط تظهر على فضاءات فرعية ذات بُعد مشترك موجب .

الدليل الحقيقي r للفضاء الجزئي المتناحي الأقصى L هو البعد المركب لتقاطع L مع مرافقه المركب. الفضاء الجزئي المتناحي الأقصى لـ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$تكون بنية شبه معقدة معممة إذا وفقط إذا كانت r = 0.

الحزمة الكنسية هي حزمة فرعية أحادية البعد من الحزمة الأساسية${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$من الأشكال التفاضلية المعقدة على M. تذكر أن مصفوفات غاما تُعرّف تماثلًا بين الأشكال التفاضلية والسبينورات. على وجه الخصوص، تُسقط الأشكال الزوجية والفردية على الكيراليتين للسبينورات من نوع فايل . للمتجهات تأثير على الأشكال التفاضلية يُعطى بالضرب الداخلي. وللأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى تأثير على الأشكال المُعطاة بالضرب الخارجي. وبالتالي، فإن مقاطع الحزمة${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$تؤثر على الأشكال التفاضلية. هذا التأثير هو تمثيل لتأثير جبر كليفورد على السبينورات.

يُقال عن السبينور أنه سبينور نقي إذا تم إفناؤه بواسطة نصف مجموعة مولدات جبر كليفورد. السبينورات هي مقاطع من حزمتنا${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} ,}$ومولدات جبر كليفورد هي ألياف حزمتنا الأخرى${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$لذلك، يتم إفناء أي سبينور نقي بواسطة حزمة فرعية نصف بُعدية E من${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$تكون هذه الحزم الفرعية متناحية الخواص دائمًا، لذا لتحديد بنية شبه معقدة، يكفي فقط فرض أن مجموع E ومرافقه المعقد هو كل${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$يصدق هذا عندما يحتوي حاصل الضرب الخارجي للسبينور النقي ومرافقه المعقد على مكون ذي بُعد علوي. تحدد هذه السبينورات النقية هياكل شبه معقدة معممة.

بفرض بنية شبه معقدة معممة، يمكن أيضاً تحديد سبينور نقي حتى الضرب بدالة معقدة اختيارية . تُعرَّف هذه الخيارات من السبينورات النقية بأنها مقاطع الحزمة الأساسية.

إذا كان المتجه الدوراني النقي الذي يحدد بنية معقدة معينة مغلقًا ، أو بشكل أكثر عمومية إذا كان مشتقه الخارجي يساوي تأثير مصفوفة جاما على نفسه، فإن البنية المعقدة تقريبًا تكون قابلة للتكامل، وبالتالي فإن هذه المتجهات الدورانية النقية تتوافق مع البنى المعقدة المعممة.

وإذا فرضنا كذلك أن الحزمة القانونية تافهة شكليًا، بمعنى أنها مقاطع عالمية ذات أشكال مغلقة، فإنها تحدد بنية كالابي-ياو معممة ويقال إن M عبارة عن مشعب كالابي-ياو معمم .

محليًا، يمكن كتابة جميع السبينورات النقية بنفس الشكل، اعتمادًا على عدد صحيح k ، والشكل الثنائي للحقل B ، والشكل التبادلي غير المنحط ω، والشكل k -Ω. في جوار محلي لأي نقطة، يمكن دائمًا وضع السبينور النقي Φ الذي يولد الحزمة القانونية على الشكل التالي:

${\displaystyle \Phi =e^{B+i\omega }\Omega }$

حيث يمكن تحليل Ω كحاصل ضرب خارجي للأشكال الأحادية .

عرّف الحزمة الفرعية E من حزمة المماس المعقدة${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$أن يكون إسقاط الحزمة الفرعية الهولومورفية L من${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$ل${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} .}$في تعريف البنية شبه المعقدة المعممة، فرضنا أن تقاطع L ومرافقها لا يحتوي إلا على نقطة الأصل، وإلا فلن يتمكنا من تغطية كامل${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$لكن تقاطع إسقاطاتهما ليس بالضرورة أمرًا تافهًا. بشكل عام، يكون هذا التقاطع على الشكل التالي:

${\displaystyle E\cap {\overline {E}}=\Delta \otimes \mathbb {C} }$

بالنسبة لبعض الحزمة الفرعية Δ. النقطة التي لها جوار مفتوح يكون فيه بُعد ألياف Δ ثابتًا تُسمى نقطة منتظمة .

لكل نقطة منتظمة في مشعب عقدي معمّم جوار مفتوح، والذي، بعد تحويل تماثلي وإزاحة للحقل B، له نفس البنية العقدية المعممة للجداء الديكارتي للفضاء المتجهي العقدي${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$والفضاء التبسيطي القياسي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-2k}}$بالشكل التبسيطي القياسي، وهو المجموع المباشر لمصفوفتين غير قطريتين من الرتبة 2×2 مع مدخلات 1 و -1.

بالقرب من النقاط غير المنتظمة، لا تنطبق نظرية التصنيف المذكورة أعلاه. مع ذلك، حول أي نقطة، يكون المشعب العقدي المعمم، حتى التشاكل التفاضلي وحقل B، ناتج ضرب مشعب تماثلي مع مشعب عقدي معمّم من النوع العقدي عند تلك النقطة، تمامًا كما في نظرية وينشتاين للبنية المحلية لمشعبات بواسون . يبقى السؤال المطروح حول البنية المحلية: كيف تبدو البنية العقدية المعممة بالقرب من نقطة من النوع العقدي؟ في الواقع، ستُستحث هذه البنية بواسطة بنية بواسون هولومورفية .

فضاء الأشكال التفاضلية المعقدة${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$لها عملية اقتران معقدة معطاة بواسطة الاقتران المعقد في${\displaystyle \mathbb {C} .}$يُتيح هذا تعريف الأشكال التفاضلية التامة الشكلية والمضادة التامة الشكلية ، بالإضافة إلى الأشكال ( m , n )، وهي كثيرات حدود متجانسة في هذه الأشكال التفاضلية ذات m عامل تام الشكل و n عامل مضاد تام الشكل. وبالتحديد، ترتبط جميع الأشكال ( n , 0) محليًا بالضرب بدالة عقدية، وبالتالي تُشكّل حزمة خطية عقدية.

تُعدّ الأشكال ( n , 0) سبينورات نقية، إذ تُفنى بواسطة متجهات المماس المضادة للهولومورفية والأشكال الأحادية الهولومورفية. لذا، يمكن استخدام حزمة الخطوط هذه كحزمة أساسية لتعريف بنية عقدية معممة. بتقييد المُفني من${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$بالنسبة لحزمة المماس المعقدة، نحصل على الفضاء الجزئي لحقول المتجهات المضادة للهولومورفية. لذلك، فإن هذا التركيب المعقد المعمم على${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$يُعرّف بنية معقدة عادية على الحزمة المماسية.

بما أن نصف أساس حقول المتجهات فقط هو هولومورفي، فإن هذه البنى المعقدة من النوع N. في الواقع، المشعبات المعقدة، والمشعبات التي يتم الحصول عليها بضرب حزمة السبينور النقية التي تحدد مشعبًا معقدًا في مشعب معقد،${\displaystyle \partial }$-المغلقة (2,0)-شكل، هي النوع الوحيد من المشعبات المعقدة المعممة من النوع N.

حزمة السبينور النقية المتولدة بواسطة

${\displaystyle \phi =e^{i\omega }}$

بالنسبة لشكل ثنائي غير منحل ω، يُعرّف بنية تماثلية على الفضاء المماسي. وبالتالي، فإن المشعبات التماثلية هي أيضًا مشعبات عقدية معممة.

إنّ السبينور النقي المذكور أعلاه مُعرَّفٌ عالميًا، وبالتالي فإنّ الحزمة الكنسية تافهة. هذا يعني أنّ المشعبات التبسيطية ليست مجرد مشعبات عقدية معممة، بل هي في الواقع مشعبات كالابي-ياو معممة.

سبينور النقي${\displaystyle \phi }$يرتبط هذا بسبينور نقي، وهو مجرد عدد، عن طريق إزاحة تخيلية للحقل المغناطيسي، وهي إزاحة من نوع كاهلر . لذلك، فإن هذه البنى المعقدة المعممة من نفس نوع تلك المقابلة لسبينور نقي قياسي . يُفنى العدد القياسي بواسطة الفضاء المماسي بأكمله، وبالتالي فإن هذه البنى من النوع 0 .

حتى إزاحة المجال المغناطيسي B، والتي تُقابل ضرب السبينور النقي بالدالة الأسية لشكل ثنائي حقيقي مغلق، تُعتبر المشعبات التبسيطية النوع صفر الوحيدة من المشعبات العقدية المعممة. وتُسمى المشعبات التبسيطية حتى إزاحة المجال المغناطيسي B أحيانًا بالمشعبات التبسيطية B.

لاحظ أن بنية كالابي المترية المعممة، التي قدمها ماركو غوالتيري، تُعد شرطًا أقوى من بنية كالابي - ياو المعممة، التي قدمها نايجل هيتشين . وبالتحديد، تستلزم بنية كالابي - ياو المترية المعممة وجود بنيتين شبه معقدتين معممتين متبادلتين.