دالة تور

في الرياضيات ، تُعرف دوال تور بأنها الدوال المشتقة من حاصل الضرب الموتري للوحدات النمطية على حلقة . إلى جانب دالة إكست ، تُعد تور أحد المفاهيم الأساسية في الجبر التماثلي ، حيث تُستخدم أفكار من الطوبولوجيا الجبرية لبناء ثوابت البنى الجبرية. ويمكن تعريف تماثل الزمر ، وجبر لي ، والجبر الترابطي بدلالة تور. ويأتي الاسم من العلاقة بين زمرة تور الأولى (Tor ₁₎ وزمرة الالتواء الجزئية لزمرة أبيلية .

في حالة خاصة للمجموعات الأبيلية، قدّم إدوارد تشيك مفهوم Tor عام 1935 ^{[ 1 ]} وأطلق عليه صموئيل إيلنبرغ هذا الاسم حوالي عام 1950. ^{[ 2 ]} وقد طُبّق لأول مرة على نظرية كونيث ونظرية المعامل الشامل في علم الطوبولوجيا. أما بالنسبة للوحدات النمطية على أي حلقة ، فقد عرّف هنري كارتان وإيلنبرغ مفهوم Ext عام 1956. ^{[ 3 ]}

يترك${\displaystyle R}$كن خاتمًا . اكتب${\displaystyle R{\textsf {-Mod}}}$بالنسبة لفئة اليسار​${\displaystyle R}$-الوحدات النمطية و${\displaystyle {\textsf {Mod-}}R}$بالنسبة لفئة الحق${\displaystyle R}$-الوحدات. (إذا${\displaystyle R}$( إذا كانت تبادلية ، يمكن تحديد الفئتين.) بالنسبة لليسار الثابت${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle B}$، يترك${\displaystyle T(A)=A\otimes _{R}B}$ل${\displaystyle A}$في${\displaystyle {\textsf {Mod-}}R}$هذا دالة تامة يمنى من${\displaystyle {\textsf {Mod-}}R}$إلى فئة المجموعات الأبيلية${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$وهكذا فقد تركت الدوال المشتقة${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}T}$مجموعات تور هي المجموعات الأبيلية المعرفة بواسطة $${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=({\mathcal {L}}_{i}T)(A),}$$ بالنسبة لعدد صحيح${\displaystyle i}$يعني هذا، بحسب التعريف: خذ أي دقة إسقاطية$${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$$ وإزالة${\displaystyle A}$وتشكيل سلسلة معقدة : $${\displaystyle \cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0}$$

لكل عدد صحيح${\displaystyle i}$المجموعة${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$هل التماثل لهذا المركب في الموضع${\displaystyle i}$تساوي صفرًا بالنسبة لـ${\displaystyle i}$سلبي. علاوة على ذلك،${\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{R}(A,B)}$هي النواة الأساسية للخريطة${\displaystyle P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B}$، وهو متماثل مع${\displaystyle A\otimes _{R}B}$.

أو يمكن تعريف${\displaystyle \mathrm {تور} }$عن طريق الإصلاح${\displaystyle A}$وأخذ الدوال المشتقة اليسرى للدالة الدقيقة اليمنى${\displaystyle G(B)=A\otimes _{R}B}$أي، الموتر${\displaystyle A}$بدقة إسقاطية من${\displaystyle B}$ونأخذ علم التماثل. أظهر كارتان وإيلنبرغ أن هذه البنى مستقلة عن اختيار التحليل الإسقاطي، وأن كلا البنيتين تُنتجان نفس مجموعات تور. ^{[ 4 ]} علاوة على ذلك، بالنسبة لحلقة ثابتة${\displaystyle R}$،${\displaystyle \mathrm {تور} }$هو دالة في كل متغير (من${\displaystyle R}$(وحدات المجموعات الأبيلية).

لحلقة تبديلية${\displaystyle R}$و${\displaystyle R}$-الوحدات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$،${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$هو${\displaystyle R}$-وحدة (باستخدام ذلك${\displaystyle A\otimes _{R}B}$هو${\displaystyle R}$(في هذه الحالة، يكون -وحدة نمطية). بالنسبة لحلقة غير تبديلية${\displaystyle R}$،${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$هي مجموعة أبيلية فقط، بشكل عام. إذا${\displaystyle R}$هي جبر على حلقة${\displaystyle S}$(وهذا يعني على وجه الخصوص أن${\displaystyle S}$(إذا كانت تبادلية)، فإن${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$هو على الأقل${\displaystyle S}$-وحدة.

فيما يلي بعض الخصائص والحسابات الأساسية لمجموعات تور. ^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{0}^{R}(A,B)\cong A\otimes _{R}B}$لأي حق${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle A}$وغادر${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle B}$.
• ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$للجميع${\displaystyle i>0}$إذا كان أي منهما${\displaystyle A}$أو${\displaystyle B}$مسطح (على سبيل المثال، مجاني ) كـ${\displaystyle R}$-وحدة. في الواقع، يمكن حساب Tor باستخدام دقة مسطحة إما${\displaystyle A}$أو${\displaystyle B}$وهذا أكثر عمومية من الحل الإسقاطي (أو الحر). ^{[ 6 ]}
• لو${\displaystyle A,B}$إذا كانت زمرًا أبيلية مولدة نهائيًا،${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)\cong A_{\text{tor}}\otimes _{\mathbb {Z} }B_{\text{tor}}}$، أين${\displaystyle A_{\text{tor}}}$هي مجموعة فرعية من الالتواء${\displaystyle A}$.
• هناك عكس للعبارة السابقة:
  • لو${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(A,B)=0}$للجميع${\displaystyle B}$، ثم${\displaystyle A}$مسطح (وبالتالي${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$للجميع${\displaystyle i>0}$).
  • لو${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(A,B)=0}$للجميع${\displaystyle A}$، ثم${\displaystyle B}$مسطح (وبالتالي${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$للجميع${\displaystyle i>0}$).
• بحسب الخصائص العامة للدوال المشتقة ، فإن كل متتالية تامة قصيرة${\displaystyle 0\to K\to L\to M\to 0}$من الحق${\displaystyle R}$-الوحدات النمطية تحفز تسلسلًا دقيقًا طويلًا من الشكل ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,}$$لأي شخص متبق${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle B}$ينطبق التسلسل التام المماثل أيضًا على Tor فيما يتعلق بالمتغير الثاني.
• التناظر: بالنسبة للحلقة التبديلية${\displaystyle R}$يوجد تماثل طبيعي${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \mathrm {Tor} _{i}^{R}(B,A)}$[ ^{8 ]} ( ^لـ${\displaystyle R}$في خاصية التبديل، لا حاجة للتمييز بين اليسار واليمين${\displaystyle R}$-وحدات.)
• لو${\displaystyle R}$هي حلقة تبديلية و${\displaystyle u}$في${\displaystyle R}$إذا لم يكن قاسمًا للصفر ، فإنه لأي${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle B}$،$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B/uB&i=0\\B[u]&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$أين$${\displaystyle B[u]=\{x\in B:ux=0\}}$$هو${\displaystyle u}$- مجموعة فرعية من الالتواء${\displaystyle B}$هذا هو تفسير اسم تور.${\displaystyle R}$أن يكون الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} }$بالنسبة للأعداد الصحيحة، يمكن استخدام هذه العملية الحسابية لحساب${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)}$لأي مجموعة أبيلية مولدة بشكل نهائي${\displaystyle A}$.
• بتعميم المثال السابق، يمكن حساب مجموعات تور التي تتضمن خارج قسمة حلقة تبديلية على أي متتالية منتظمة ، باستخدام مُركَّب كوزول . ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، إذا${\displaystyle R}$هي حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$فوق حقل${\displaystyle k}$، ثم${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$هل الجبر الخارجي فوق${\displaystyle k}$على${\displaystyle n}$المولدات في${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} }(A,B)=0}$للجميع${\displaystyle i\geq 2}$السبب: كل مجموعة أبيلية${\displaystyle A}$لها حل حر بطول 1، لأن كل مجموعة فرعية من مجموعة أبيلية حرة هي أبيلية حرة.
• بتعميم المثال السابق،${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$للجميع${\displaystyle i\geq 2}$لو${\displaystyle R}$هو مجال مثالي رئيسي (PID). والسبب: كل وحدة نمطية${\displaystyle A}$تتمتع وحدة PID بدقة حرة بطول 1، حيث أن كل وحدة فرعية من وحدة حرة فوق PID تكون حرة.
• لأي خاتم${\displaystyle R}$تحافظ تور على المجاميع المباشرة (التي قد تكون لانهائية) والنهايات المشتركة المُصفّاة في كل متغير. ^{[ 10 ]} على سبيل المثال، في المتغير الأول، هذا يعني أن$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}}$$
• تغيير القاعدة المسطحة: من أجل قاعدة مسطحة تبديلية${\displaystyle R}$-الجبر${\displaystyle T}$،${\displaystyle R}$-الوحدات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$وعدد صحيح${\displaystyle i}$, ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\otimes _{R}T\cong \mathrm {Tor} _{i}^{T}(A\otimes _{R}T,B\otimes _{R}T).}$$ويترتب على ذلك أن Tor يتبادل مع التوطين . أي، بالنسبة لمجموعة مغلقة ضربيًا${\displaystyle S}$في${\displaystyle R}$،$${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$$
• لحلقة تبديلية${\displaystyle R}$وتبادلية${\displaystyle R}$الجبر${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$،${\displaystyle \mathrm {Tor} _{*}^{R}(A,B)}$لها بنية جبر تبديلي متدرج على${\displaystyle R}$علاوة على ذلك، فإن عناصر الدرجة الفردية في جبر تور لها مربع يساوي صفرًا، وهناك عمليات قوى مقسومة على عناصر الدرجة الزوجية الموجبة. ^{[ 12 ]}

• يتم تعريف تماثل المجموعة بواسطة${\displaystyle H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$حيث G هي مجموعة، وM هي تمثيل لـ G على الأعداد الصحيحة، و${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$هي حلقة المجموعة G.​
• بالنسبة لجبر A على حقل k ووحدة ثنائية A - M ، يتم تعريف تماثل هوخشيلد بواسطة$${\displaystyle HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}(A,M).}$$
• يُعرَّف علم التماثل في جبر لي بواسطة${\displaystyle H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$، أين${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي جبر لي على حلقة تبديلية R ، وM هي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-وحدة، و${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$هي الجبر الشامل الشامل .
• بالنسبة لحلقة تبديلية R ذات تشاكل على حقل k ،${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$هي جبر هوبف متدرج تبادلي على k . ^{[ 13 ]} (إذا كانت R حلقة محلية نوثرية بحقل البقايا k ، فإن جبر هوبف الثنائي لـ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$(Ext * ^R ₍ k , k ) ) كجبر،${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$هي جبر القوى المقسمة التبادلي المتدرج الحر على فضاء متجه متدرج π _* ( R ). ^{[ 14 ]} عندما تكون خاصية k صفرًا، يمكن تعريف π _* ( R ) مع علم التماثل أندريه-كويلين D _* ( k / R , k ). ^{[ 15 ]}

• التشكل المسطح
• صيغة التقاطع لسير
• حاصل الضرب الموتري المشتق
• تسلسل إيلنبرغ-مور الطيفي

• أفراموف، لوتشيزار ؛ هالبرين، ستيفن (1986)، "عبر المرآة: قاموس بين نظرية التماثل العقلاني والجبر المحلي"، في جيه-إي. روس (محرر)، الجبر، والطوبولوجيا الجبرية، وتفاعلاتهما (ستوكهولم، 1983) ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1183، سبرينغر نيتشر ، الصفحات 1-27 ، doi : 10.1007/BFb0075446 ، ISBN  978-3-540-16453-1، MR 0846435 
• كارتان، هنري ؛ إيلنبرغ، صموئيل (1999) [1956]، الجبر التماثلي ، برينستون: مطبعة جامعة برينستون ، ISBN 0-691-04991-2، MR 0077480 
• Čech، Eduard (1935)، “Les groupes de Betti d’un complexe infini” (PDF) ، أساسيات الرياضيات ، 25 : 33–44 ، دوى : 10.4064/fm-25-1-33-44 ، JFM 61.0609.02 
• غوليكسن، تور؛ ليفين، غيرسون (1969)، علم التماثل للحلقات المحلية ، أوراق كوينز في الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  20، جامعة كوينز، MR 0262227 
• كويلين، دانيال (1970)، "حول (التماثل المشترك) للحلقات التبادلية"، تطبيقات الجبر الفئوي ، وقائع ندوة الرياضيات البحتة، المجلد  17، الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 65-87 ، MR 0257068  
• سجودين ، جونار (1980)، “جبر هوبف ومشتقاته”، مجلة الجبر ، 64 : 218–229 ، دوى : 10.1016 / 0021-8693(80)90143-X ، MR 0575792 
• ويبل، تشارلز أ. (1994)، مقدمة في الجبر التماثلي ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  38، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-55987-4، MR 1269324 ، OCLC 36131259  
• ويبل، تشارلز (1999)، "تاريخ الجبر المتماثل"، تاريخ الطوبولوجيا (ملف PDF) ، أمستردام: نورث هولاند، ص 797-836 ، MR 1721123  

• مؤلفو مشروع ستاكس، مشروع ستاكس