جبر هوبف

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 79 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف جبر هوبف ، نسبةً إلى هاينز هوبف ، بأنه بنيةٌ تجمع بين خصائص الجبر التجميعي الأحادي والجبر المشترك التجميعي الثنائي ، مما يجعله جبرًا ثنائيًا ، بالإضافة إلى امتلاكه لخاصية مضادة تحقق شرطًا معينًا. وتتميز نظرية تمثيل جبر هوبف بخصائص فريدة، إذ يسمح وجود الضرب المشترك والوحدة المشتركة والمضاد المتوافق بإنشاء جداءات موترية للتمثيلات ، والتمثيلات التافهة، والتمثيلات الثنائية.

تظهر جبريات هوبف بشكل طبيعي في الطوبولوجيا الجبرية ، حيث نشأت وترتبط بمفهوم فضاء H ، وفي نظرية مخططات الزمر ، وفي نظرية الزمر (عبر مفهوم حلقة الزمر )، وفي العديد من المجالات الأخرى، مما يجعلها على الأرجح أكثر أنواع الجبر الثنائي شيوعًا . كما تُدرس جبريات هوبف بشكل مستقل، مع تركيز كبير على فئات محددة من الأمثلة من جهة، ومسائل التصنيف من جهة أخرى. ولها تطبيقات متنوعة تتراوح من فيزياء المادة المكثفة ونظرية الحقول الكمومية [ 1 ] إلى نظرية الأوتار [ 2 ] وظواهر مصادم الهادرونات الكبير [ 3 ] .

التعريف الرسمي

يترك(ح،∇،η،Δ،ε){\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}ليكن جبرًا ثنائيًا (ترابطيًا وتشاركيًا) على حقلك.{\displaystyle K.}يمكن للمرء أن ينظر في جبر الالتفافهومك⁡(ح،ح){\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(H,H)}من الخرائط الخطية من الرتبة K ذات حاصل ضرب معطى بواسطة:(و⋆ز)(ح)=∇∘(و⊗ز)∘Δ(ح).{\displaystyle (f\star g)(h)=\nabla \circ (f\otimes g)\circ \Delta (h).}هوية جبر الالتفاف هيη∘ε.{\displaystyle \eta \circ \varepsilon .}

الجبر الثنائيح{\displaystyle H}يُقال إنها جبر هوبف إذا كانت هويةح،{\displaystyle H,}بطاقة تعريفح∈هومك⁡(ح،ح){\displaystyle \operatorname {id} _{H}\in \operatorname {Hom} _{K}(H,H)}له معكوس التفافيS∈هومك⁡(ح،ح){\displaystyle S\in \operatorname {Hom} _{K}(H,H)}(يُطلق عليه اسم الطرف المقابل ). العبارة التيS{\displaystyle S}هو عكسبطاقة تعريفح{\displaystyle \operatorname {id} _{H}}يكافئ ذلك خاصية التبادلية للمخطط التالي  :

مخطط التبادل المضاد

في تدوين سويدلر الخالي من المجموع ، يمكن التعبير عن هذه الخاصية أيضًا على النحو التالي:

S(ج(1))ج(2)=ج(1)S(ج(2))=ε(ج)1 للجميع ج∈ح.{\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\varepsilon (c)1\qquad {\mbox{ for all }}c\in H.}

أما بالنسبة للجبر ، فيمكن استبدال الحقل الأساسي K بحلقة تبديلية R في التعريف أعلاه. [ 4 ]

إن تعريف جبر هوبف هو تعريف ذاتي مزدوج (كما يتضح من تناظر الرسم التخطيطي أعلاه)، لذا إذا أمكن تعريف جبر مزدوج لـ H (وهو أمر ممكن دائمًا إذا كان H محدود الأبعاد)، فإنه يكون تلقائيًا جبر هوبف. [ 5 ]

ثوابت البنية

تحديد الأساس{هـك}{\displaystyle \{e_{k}\}}بالنسبة للفضاء المتجهي الأساسي، يمكن تعريف الجبر بدلالة ثوابت البنية للضرب:

هـأنا∇هـج=∑كμأناجكهـك{\displaystyle e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}}

للضرب المشترك:

Δهـأنا=∑ج،كνأناجكهـج⊗هـك{\displaystyle \Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}}

والطرف المقابل:

Sهـأنا=∑جτأناجهـج{\displaystyle Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}}

وبالتالي، تتطلب خاصية الترابط أن

μأناجكμكنم=μجنكμأناكم{\displaystyle \mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}}

بينما تتطلب خاصية الترابط المشترك أن

νكأناجνأنامن=νكمأناνأنانج{\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}}

تتطلب البديهية الرابطة أن

νكأناجτجمμأنامن=νكجمτجأناμأنامن{\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;im}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;im}^{n}}

خصائص القطب المقابل

أحيانًا يكون من المطلوب أن يكون للمضاد S معكوس خطي K ، وهو أمر تلقائي في الحالة ذات الأبعاد المحدودة، [ 6 ] أو إذا كان H تبديليًا أو تبديليًا مشتركًا (أو بشكل عام شبه مثلثي ).

بشكل عام، S هو مضاد للتشاكل ، [ 7 ] لذا فإن S 2 هو تشاكل ، وهو بالتالي تشاكل ذاتي إذا كان S قابلاً للعكس (كما قد يكون مطلوبًا).

إذا كان S² = id H ، فإن جبر هوبف يُقال إنه انعكاسي (والجبر الأساسي مع الانعكاس هو جبر * ). إذا كان H شبه بسيط محدود الأبعاد على حقل ذي خاصية صفرية، أو تبديلي، أو تبديلي مشترك، فإنه يكون انعكاسيًا.

إذا كان الجبر الثنائي B يقبل نظيرًا S ، فإن S يكون فريدًا ("يقبل الجبر الثنائي بنية جبر هوبف واحدة على الأكثر"). [ 8 ] وبالتالي، لا يمثل النظير أي بنية إضافية يمكننا اختيارها: فكون الجبر الثنائي جبر هوبف هو خاصية من خصائصه.

النظير هو نظير لخريطة الانعكاس على مجموعة ترسل g إلى g −1 . [ 9 ]

الجبر الجزئي لهوبف

تُسمى الجبر الجزئي A لجبر هوبف H جبرًا جزئيًا لهوبف إذا كان جبرًا جزئيًا مشتركًا لـ H ، وكان العنصر المضاد S يُسقط A على A. بعبارة أخرى، يكون الجبر الجزئي A جبرًا لهوبف قائمًا بذاته عندما تكون عمليات الضرب والضرب المشترك والوحدة المشتركة والعنصر المضاد لـ H محصورة في A (بالإضافة إلى اشتراط أن يكون العنصر المحايد 1 لـ H موجودًا في A). وقد أثبتت نظرية نيكولز-زولر للحرية، التي وضعها وارن نيكولز وبيتينا زولر (1989)، أن الوحدة النمطية الطبيعية A - H خالية من الرتبة المحدودة إذا كان H محدود الأبعاد: وهو تعميم لنظرية لاغرانج للمجموعات الجزئية . [ 10 ] وكنتيجة طبيعية لهذه النظرية ونظرية التكامل، فإن الجبر الجزئي لهوبف لجبر هوبف شبه بسيط محدود الأبعاد يكون تلقائيًا شبه بسيط.

يُقال إن الجبر الجزئي هوبف A طبيعي يميني في جبر هوبف H إذا حقق شرط الاستقرار ad r ( h )( A ) ⊆ A لكل h في H ، حيث يُعرَّف التطبيق المرافق الأيمن ad r بالعلاقة ad r ( h )( a ) = S ( h (1) ) ah (2) لكل a في A و h في H. وبالمثل، يكون الجبر الجزئي هوبف A طبيعيًا يساريًا في H إذا كان مستقرًا تحت التطبيق المرافق الأيسر المُعرَّف بالعلاقة ad l ( h )( a ) = h (1) aS ( h (2) ). يتطابق شرطا الطبيعية إذا كان المتقابل S تقابليًا، وفي هذه الحالة يُقال إن A جبر جزئي هوبف طبيعي.

تحقق الجبر الجزئي الطبيعي A في H شرط تساوي المجموعات الجزئية من H: HA⁺ = A⁺H ، حيث A⁺ هي نواة الوحدة المرافقة على A. ويعني شرط الطبيعية هذا أن HA⁺ هو مثالي هوبف في H ( أي مثالي جبري في نواة الوحدة المرافقة، ومثالي مرافق للجبر المشترك ، ومستقر تحت النظير). ونتيجة لذلك، لدينا جبر هوبف خارج القسمة H/HA⁺، وتماثل شامل H → H / A⁺H ، وهي نظرية مماثلة لنظرية الزمر الجزئية الطبيعية وزمر القسمة في نظرية الزمر . [ 11 ]

أوامر هوبف

إن ترتيب هوبف O على مجال تكاملي R مع حقل كسور K هو ترتيب في جبر هوبف H على K مغلق تحت عمليات الجبر والجبر المشترك: على وجه الخصوص، فإن الضرب المشترك Δ يحول O إلى O ⊗ O. [ 12 ]

عناصر شبيهة بالمجموعات

العنصر الشبيه بالمجموعة هو عنصر غير صفري x بحيث يكون Δ( x ) = x ⊗ x . تشكل العناصر الشبيهة بالمجموعة مجموعةً يكون معكوسها هو العنصر المضاد. [ 13 ] العنصر الأولي x يحقق Δ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x . [ 14 ] [ 15 ]

أمثلة

اعتمادا عليالضربمجلس محليالطرف المقابلالتبادليةالتبادل المشتركملاحظات
جبر المجموعات KGالمجموعة GΔ( g ) = g ⊗ g لكل g في Gε ( g ) = 1 لجميع g في GS ( g ) = g −1 لكل g في Gإذا وفقط إذا كانت G تبديليةنعم
الدوال f من مجموعة منتهية [ a ] إلى K ، K G (مع الجمع والضرب النقطي)المجموعة المنتهية GΔ( f )( x , y ) = f ( xy )ε ( f ) = f (1 G )S ( f )( x ) = f ( x −1 )نعمإذا وفقط إذا كانت G تبديليةهذا ثنائي لجبر المجموعة KG
الدوال التمثيلية على مجموعة متراصةالمجموعة المدمجة GΔ( f )( x , y ) = f ( xy )ε ( f ) = f (1 G )S ( f )( x ) = f ( x −1 )نعمإذا وفقط إذا كانت G تبديليةوعلى العكس من ذلك، فإن كل جبر هوبف المختزل التبادلي المتداخل على C مع تكامل هار محدود ينشأ بهذه الطريقة، مما يعطي صياغة واحدة لازدواجية تاناكا-كراين . [ 16 ]
الدوال المنتظمة على مجموعة جبريةΔ( f )( x , y ) = f ( xy )ε ( f ) = f (1 G )S ( f )( x ) = f ( x −1 )نعمإذا وفقط إذا كانت G تبديليةوعلى العكس من ذلك، فإن كل جبر هوبف تبادلي على حقل ما ينشأ من مخطط مجموعة بهذه الطريقة، مما يعطي تكافؤًا مضادًا للفئات. [ 17 ]
جبر الموترات T( V )الفضاء المتجهي VΔ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x ، حيث x في V ، و Δ(1) = 1 ⊗ 1ε ( x ) = 0S ( x ) = − x لجميع x في T 1 ( V ) (وتم تمديدها إلى قوى موتر أعلى)إذا وفقط إذا كان بُعد ( V ) = 0 أو 1نعمالجبر المتناظر والجبر الخارجي (وهما خارج قسمة جبر الموتر) هما أيضًا جبر هوبف مع هذا التعريف للضرب المشترك والوحدة المشتركة والمضاد
الجبر الشامل المغلف U(g)جبر ليΔ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x لكل x في g (هذه القاعدة متوافقة مع المبدلات ، وبالتالي يمكن تعميمها بشكل فريد على جميع U )ε ( x ) = 0 لجميع قيم x في g (مرة أخرى، تم تمديدها إلى U )S ( x ) = − xإذا وفقط إذا كانت g تبديليةنعم
جبر هوبف لسويدلر H = K [ c , x ]/ c 2 = 1، x 2 = 0 و xc = − cx .K هو حقل ذو خصائص مختلفة عن 2Δ( c ) = ج ⊗ ج , Δ( x ) = ج ⊗ x + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1ε ( c ) = 1 و ε ( x ) = 0S ( c ) = c − 1 = c و S ( x ) = −cxلالايتم توليد فضاء المتجهات الأساسي بواسطة {1، c ، x ، cx } وبالتالي يكون له بُعد 4. هذا هو أصغر مثال لجبر هوبف غير تبادلي وغير تبادلي مشترك.
حلقة الدوال المتناظرة [ 18 ]من حيث الدوال المتناظرة المتجانسة الكاملة h k ( k ≥ 1):

Δ( h k ) = 1 ⊗ h k + h 1 ⊗ h k −1 + ... + h k −1 ⊗ h 1 + h k ⊗ 1.

ε ( h k ) = 0S ( h k ) = (−1) k e kنعمنعم

لاحظ أن الدوال على مجموعة منتهية يمكن تحديدها بحلقة المجموعة، على الرغم من أنه من الطبيعي أكثر اعتبارها ثنائية - تتكون حلقة المجموعة من مجموعات منتهية من العناصر، وبالتالي تتطابق مع الدوال على المجموعة من خلال تقييم الدالة على العناصر المجمعة.

علم التماثل لمجموعات لي

جبر التماثل (على حقل)ك{\displaystyle K}) من مجموعة ليجي{\displaystyle G}هي جبر هوبف: يتم توفير عملية الضرب بواسطة الضرب الكأسي ، والضرب المشترك

ح*(جي،ك)→ح*(جي×جي،ك)≅ح*(جي،ك)⊗ح*(جي،ك){\displaystyle H^{*}(G,K)\rightarrow H^{*}(G\times G,K)\cong H^{*}(G,K)\otimes H^{*}(G,K)}

عن طريق الضرب الجماعيجي×جي→جي{\displaystyle G\times G\to G}كانت هذه الملاحظة في الواقع مصدرًا لمفهوم جبر هوبف. وباستخدام هذا الهيكل، أثبت هوبف نظرية هيكلية لجبر التماثل لمجموعات لي.

نظرية (هوبف) [ 19 ] ليكنأ{\displaystyle A}ليكن جبر هوبف ذو أبعاد منتهية، ومتدرج تبديلي ، ومتدرج مشترك تبديلي، على حقل ذي خاصية صفر.أ{\displaystyle A}(كجبر) هو جبر خارجي حر ذو مولدات من الدرجة الفردية.

المجموعات الكمومية والهندسة غير التبادلية

معظم الأمثلة المذكورة أعلاه إما تبديلية (أي أن عملية الضرب تبديلية ) أو تبديلية مشتركة (أي [ 20 ] Δ = T ∘ Δ حيث تُعرَّف خريطة الالتواء [ 21 ] T : H ⊗ H → H ⊗ H بواسطة T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x ). وهناك جبر هوبف أخرى مثيرة للاهتمام، وهي عبارة عن "تشويهات" أو " تكميمات " معينة لتلك الواردة في المثال 3، والتي ليست تبديلية ولا تبديلية مشتركة. يُطلق على جبر هوبف هذا غالبًا اسم الزمر الكمومية ، وهو مصطلح لم يُعرَّف بدقة حتى الآن. وهي مهمة في الهندسة غير التبديلية ، والفكرة هي كالتالي: يمكن وصف الزمرة الجبرية القياسية وصفًا جيدًا بواسطة جبر هوبف القياسي الخاص بها من الدوال المنتظمة. يمكننا حينها اعتبار النسخة المشوهة من جبر هوبف بمثابة وصف لمجموعة جبرية "غير قياسية" أو "كمية" (وهي ليست مجموعة جبرية بالمعنى الدقيق). ورغم أنه لا يبدو أن هناك طريقة مباشرة لتعريف هذه الكائنات غير القياسية أو التعامل معها، إلا أنه لا يزال بالإمكان العمل مع جبر هوبف الخاص بها، بل ويمكن تعريفها به. ومن هنا جاء اسم "المجموعة الكمية".

نظرية التمثيل

ليكن A جبر هوبف، وليكن M و N وحدات نمطية على A. عندئذٍ، يكون M ⊗ N أيضًا وحدة نمطية على A ، مع

أ(م⊗ن):=Δ(أ)(م⊗ن)=(أ1⊗أ2)(م⊗ن)=(أ1م⊗أ2ن){\displaystyle a(m\otimes n):=\Delta (a)(m\otimes n)=(a_{1}\otimes a_{2})(m\otimes n)=(a_{1}m\otimes a_{2}n)}

لكل m ∈ M و n ∈ N و Δ( a ) = ( a1 , a2 ) . علاوة على ذلك، يمكننا تعريف التمثيل التافه على أنه الحقل الأساسي K مع

أ(م):=ϵ(أ)م{\displaystyle a(m):=\epsilon (a)m}

لـ m ∈ K. وأخيرًا، يمكن تعريف التمثيل الثنائي لـ A : إذا كانت M وحدة نمطية لـ A و M* هي فضاءها الثنائي، فإن

(أو)(م):=و(S(أ)م){\displaystyle (af)(m):=f(S(a)m)}

حيث f ∈ M * و m ∈ M.

تضمن العلاقة بين Δ و ε و S أن بعض التشاكلات الطبيعية للفضاءات المتجهة هي في الواقع تشاكلات لوحدات A. على سبيل المثال، التشاكلات الطبيعية للفضاءات المتجهة M → M ⊗ K و M → K ⊗ M هي أيضًا تشاكلات لوحدات A. كذلك، فإن التطبيق من الفضاء المتجه M* ⊗ M → K مع f ⊗ m → f ( m ) هو أيضًا تشاكل لوحدات A. مع ذلك، فإن التطبيق M ⊗ M* → K ليس بالضرورة تشاكلًا لوحدات A.

تُستخدم جبر هوبف المتدرجة غالبًا في الطوبولوجيا الجبرية : فهي البنية الجبرية الطبيعية على المجموع المباشر لجميع مجموعات التماثل أو التماثل المشترك لفضاء H.

تُعمم المجموعات الكمومية المدمجة محليًا جبر هوبف وتحمل طوبولوجيا . جبر جميع الدوال المتصلة على زمرة لي هو مجموعة كمومية مدمجة محليًا.

تُعدّ جبريات شبه هوبف تعميمات لجبريات هوبف، حيث لا تتحقق خاصية التجميع المشترك إلا حتى درجة معينة. وقد استُخدمت في دراسة معادلات كنيجنيك-زامولودتشيكوف . [ 22 ]

إن جبر هوبف المضاعف الذي قدمه ألفونس فان دايل في عام 1994 [ 23 ] هو تعميم لجبر هوبف حيث الضرب المشترك من جبر (مع أو بدون وحدة) إلى جبر المضاعف لجبر الضرب الموتري للجبر مع نفسه.

تُعد جبريات هوبف (المجموعات) التي قدمها في جي تورايف في عام 2000 تعميمات لجبريات هوبف.

جبر هوبف الضعيف

تُعدّ جبر هوبف الضعيفة ، أو الزمر الكمومية، تعميمات لجبر هوبف. ومثل جبر هوبف، تُشكّل جبر هوبف الضعيفة فئةً ذاتية التناظر من الجبر؛ أي، إذا كان H جبر هوبف (ضعيفًا)، فإن H *، الفضاء الثنائي للأشكال الخطية على H (بالنسبة لبنية الجبر-الجبر المشترك المُستمدة من الاقتران الطبيعي مع H وبنيته الجبرية-الجبرية المشتركة) هو أيضًا جبر هوبف ضعيف. يُفترض عادةً أن جبر هوبف الضعيف H هو

  • الجبر ذو الأبعاد المحدودة والجبر المشترك مع الضرب المشترك Δ: H → H ⊗ H والوحدة المشتركة ε: H → k التي تحقق جميع بديهيات جبر هوبف باستثناء ربما Δ(1) ≠ 1 ⊗ 1 أو ε( ab ) ≠ ε( a )ε( b ) لبعض a و b في H. بدلاً من ذلك، يتطلب الأمر ما يلي:
(Δ(1)⊗1)(1⊗Δ(1))=(1⊗Δ(1))(Δ(1)⊗1)=(Δ⊗بطاقة تعريف)Δ(1){\displaystyle (\Delta (1)\otimes 1)(1\otimes \Delta (1))=(1\otimes \Delta (1))(\Delta (1)\otimes 1)=(\Delta \otimes {\mbox{Id}})\Delta (1)}
ϵ(أبج)=∑ϵ(أب(1))ϵ(ب(2)ج)=∑ϵ(أب(2))ϵ(ب(1)ج){\displaystyle \epsilon (abc)=\sum \epsilon (ab_{(1)})\epsilon (b_{(2)}c)=\sum \epsilon (ab_{(2)})\epsilon (b_{(1)}c)}
لكل a و b و c في H.​
  • H لها مضاد ضعيف S : H → H يحقق البديهيات التالية:
  1. S(أ(1))أ(2)=1(1)ϵ(أ1(2)){\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}=1_{(1)}\epsilon (a1_{(2)})}لكل a في H (الجانب الأيمن هو الإسقاط المثير للاهتمام الذي يرمز إليه عادة بـ Π R ( a ) أو ε s ( a ) مع صورة جبر فرعي قابل للفصل يرمز إليه بـ H R أو H s )؛
  2. أ(1)S(أ(2))=ϵ(1(1)أ)1(2){\displaystyle a_{(1)}S(a_{(2)})=\epsilon (1_{(1)}a)1_{(2)}}لكل a في H (إسقاط آخر مثير للاهتمام يُشار إليه عادةً بـ Π R ( a ) أو ε t ( a ) مع صورة جبر قابل للفصل H L أو H t ، مضاد للتماثل مع H L عبر S )؛
  3. S(أ(1))أ(2)S(أ(3))=S(أ){\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)})=S(a)}لكل a في H.​
لاحظ أنه إذا كان Δ(1) = 1 ⊗ 1، فإن هذه الشروط تختزل إلى الشرطين المعتادين على مضاد جبر هوبف.

تم اختيار البديهيات جزئيًا بحيث تكون فئة وحدات H فئة أحادية صلبة . وحدة H الوحدوية هي الجبر القابل للفصل H L المذكور أعلاه.

على سبيل المثال، يُعدّ جبر الزمر الجزئي المنتهي جبر هوبف ضعيفًا. وبالتحديد، فإن جبر الزمر الجزئي على [n] مع زوج واحد من الأسهم القابلة للعكس e <sub>ij</sub> و e<sub> ji </sub> بين i و j في [ n ] متماثل مع جبر H للمصفوفات من الرتبة n × n . تُعطى بنية جبر هوبف الضعيف على هذا الجبر H المحدد بالعلاقة التالية: حاصل الضرب المشترك Δ( e<sub> ij </sub> ) = e <sub> ij </sub> ⊗ e<sub> ij </sub> ، والوحدة المشتركة ε( e<sub> ij</sub> ) = 1، والمضاد S ( e<sub> ij</sub> ) = e<sub> ji</sub> . يتطابق الجبران الجزئيان القابلان للفصل H<sub> L</sub> و H<sub> R </sub>، وهما جبران تبادليان غير مركزيين في هذه الحالة (الجبر الجزئي للمصفوفات القطرية).

يمكن العثور على المساهمات النظرية المبكرة في جبر هوبف الضعيف في [ 24 ] وكذلك [ 25 ].

جبر هوبف

انظر إلى جبر هوبف

التشبيه بالمجموعات

يمكن وضع بديهيات للمجموعات باستخدام نفس المخططات (أو العمليات) المستخدمة في جبر هوبف، حيث تُعتبر G مجموعةً بدلاً من كونها وحدة نمطية. في هذه الحالة:

  • يتم استبدال الحقل K بمجموعة النقاط الواحدة
  • توجد وحدة طبيعية (خريطة إلى نقطة واحدة)
  • يوجد ضرب مشترك طبيعي (الخريطة القطرية)
  • الوحدة هي العنصر المهيمن للمجموعة
  • الضرب هو الضرب في المجموعة
  • النقيض هو العكس

في هذه الفلسفة، يمكن اعتبار المجموعة بمثابة جبر هوبف على " الحقل ذي العنصر الواحد ". [ 26 ]

جبر هوبف في الفئات المونيدية المضفرة

يمكن توسيع تعريف جبر هوبف بشكل طبيعي ليشمل فئات أحادية مضفرة عشوائية . [ 27 ] [ 28 ] جبر هوبف في مثل هذه الفئة(ج،⊗،أنا،α،λ،ρ،γ){\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}هو سداسي(ح،∇،η،Δ،ε،S){\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}أينح{\displaystyle H}هو كائن فيج{\displaystyle C}، و

∇:ح⊗ح→ح{\displaystyle \nabla :H\otimes H\to H}(الضرب)،
η:أنا→ح{\displaystyle \eta :I\to H}(وحدة)،
Δ:ح→ح⊗ح{\displaystyle \Delta :H\to H\otimes H}(عملية الضرب)،
ε:ح→أنا{\displaystyle \varepsilon :H\to I}(وحدة)،
S:ح→ح{\displaystyle S:H\to H}(مضاد)

— هي التشكلات فيج{\displaystyle C}بحيث

1) الثلاثي(ح،∇،η){\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}هو أحادي في فئة الأحاديات(ج،⊗،أنا،α،λ،ρ،γ){\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}أي أن المخططات التالية تبادلية: [ ب ]

أحادي في فئة أحادية

2) الثلاثي(ح،Δ،ε){\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}هو كومونويد في فئة المونويد(ج،⊗،أنا،α،λ،ρ،γ){\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}أي أن المخططات التالية تبادلية: [ ب ]

كومونويد في فئة أحادية

3) هياكل المونويد والكومونويد علىح{\displaystyle H}متوافقان: عملية الضرب∇{\displaystyle \nabla }والوحدةη{\displaystyle \eta }هي تشاكلات للكومونويدات، و(هذا مكافئ في هذه الحالة) في الوقت نفسه الضرب المشتركΔ{\displaystyle \Delta }والوحدةε{\displaystyle \varepsilon }هي تشاكلات أحادية؛ وهذا يعني أن المخططات التالية يجب أن تكون تبادلية:

التماسك بين الضرب والضرب المشترك

الوحدة والوحدة المرافقة في الجبر الثنائي

الوحدة والوحدة المرافقة في الجبر الثنائي

أينλأنا:أنا⊗أنا→أنا{\displaystyle \lambda _{I}:I\otimes I\to I}هو التشكل الوحدوي الأيسر فيج{\displaystyle C}، وθ{\displaystyle \theta }التحول الطبيعي للدوال(أ⊗ب)⊗(ج⊗د)↣θ(أ⊗ج)⊗(ب⊗د){\displaystyle (A\otimes B)\otimes (C\otimes D){\stackrel {\theta }{\rightarrowtail }}(A\otimes C)\otimes (B\otimes D)}وهو أمر فريد من نوعه في فئة التحويلات الطبيعية للدوال المكونة من التحويلات البنيوية (التجميعية، والوحدات اليسرى واليمنى، والتبديل، ومعكوساتها) في الفئةج{\displaystyle C}.

الخماسي(ح،∇،η،Δ،ε){\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}يُطلق على الجبر الثنائي الذي يمتلك الخصائص 1 و2 و3 اسم الجبر الثنائي في الفئة(ج،⊗،أنا،α،λ،ρ،γ){\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )};

4) مخطط الأضداد تبادلي:

الوحدة والوحدة المرافقة في الجبر الثنائي

الأمثلة النموذجية هي التالية.

  • المجموعات . في الفئة الأحادية(تعيين،×،1){\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}من المجموعات (مع الضرب الديكارتي)×{\displaystyle \times }كحاصل ضرب موتر، ونغمة مفردة عشوائية، على سبيل المثال،1={∅}{\displaystyle 1=\{\varnothing \}}(ككائن الوحدة) ثلاثية(ح،∇،η){\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}تكون المجموعة أحادية بالمعنى الفئوي إذا وفقط إذا كانت أحادية بالمعنى الجبري المعتاد ، أي إذا كانت العمليات∇(x،y)=x⋅y{\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}وη(1){\displaystyle \eta (1)}تتصرف مثل عمليات الضرب والوحدة المعتادة فيح{\displaystyle H}(ولكن ربما بدون قابلية عكس العناصر)x∈ح{\displaystyle x\in H}في الوقت نفسه، ثلاثية(ح،Δ،ε){\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}يكون كومونويد بالمعنى الفئوي إذا وفقط إذاΔ{\displaystyle \Delta }هي العملية القطريةΔ(x)=(x،x){\displaystyle \Delta (x)=(x,x)}(والعملية)ε{\displaystyle \varepsilon }كما أنه يُعرَّف بشكل فريد:ε(x)=∅{\displaystyle \varepsilon (x)=\varnothing }وأي بنية من هذا القبيل من الكومونود(ح،Δ،ε){\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}متوافق مع أي بنية من بنى المونويد(ح،∇،η){\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}بمعنى أن المخططات في القسم 3 من التعريف تتبادل دائمًا. وكنتيجة لذلك، كل أحادي(ح،∇،η){\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}في(تعيين،×،1){\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}يمكن اعتبارها بشكل طبيعي جبرًا ثنائيًا(ح،∇،η،Δ،ε){\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}في(تعيين،×،1){\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}والعكس صحيح. وجود نقطة التقابلS:ح→ح{\displaystyle S:H\to H}بالنسبة لمثل هذا الجبر الثنائي(ح،∇،η،Δ،ε){\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}يعني ذلك بالضبط أن كل عنصرx∈ح{\displaystyle x\in H}له عنصر معكوسx-1∈ح{\displaystyle x^{-1}\in H}فيما يتعلق بعملية الضرب∇(x،y)=x⋅y{\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}وبالتالي، في فئة المجموعات(تعيين،×،1){\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}جبر هوبف هو بالضبط مجموعات بالمعنى الجبري المعتاد.
  • جبر هوبف الكلاسيكي . في الحالة الخاصة عندما(ج،⊗،s،أنا){\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}هي فئة الفضاءات المتجهة على حقل معينك{\displaystyle K}، جبر هوبف في(ج،⊗،s،أنا){\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}هي بالضبط جبر هوبف الكلاسيكي الموصوف أعلاه .
  • الجبر الوظيفي على المجموعات . الجبر الوظيفي القياسيج(جي){\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}،هـ(جي){\displaystyle {\mathcal {E}}(G)}،يا(جي){\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}،P(جي){\displaystyle {\mathcal {P}}(G)}(من الدوال المتصلة، والناعمة، والهولومورفية، والمنتظمة) على المجموعات هي جبر هوبف في الفئة ( Ste ،⊙{\displaystyle \odot }) من فضاءات الصور النمطية ، [ 29 ]
  • جبر المجموعات . جبر المجموعات النمطيج⋆(جي){\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}،هـ⋆(جي){\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(G)}،يا⋆(جي){\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(G)}،P⋆(جي){\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(G)}(من المقاييس والتوزيعات والدوال التحليلية والتيارات) على المجموعات هي جبر هوبف في الفئة ( Ste ،⊛{\displaystyle \circledast }) من فضاءات النمط النمطي . [ 29 ] تُستخدم جبريات هوبف هذه في نظريات الازدواجية للمجموعات غير التبادلية . [ 30 ]

انظر أيضاً

ملاحظات ومراجع

ملحوظات

  1. ↑ إن محدودية المجموعة G تعني أن KG ⊗ KG متماثلة طبيعيًا مع KG x G. يُستخدم هذا في الصيغة المذكورة أعلاه للضرب المشترك. بالنسبة للمجموعات غير المنتهية G ، فإن KG ⊗ KG هي مجموعة جزئية فعلية من KG x G. في هذه الحالة ، يمكن تزويد فضاء الدوال ذات الدعم المحدود ببنية جبر هوبف .
  2. 1 2 هناαح،ح،ح:(ح⊗ح)⊗ح→ح⊗(ح⊗ح){\displaystyle \alpha _{H,H,H}:(H\otimes H)\otimes H\to H\otimes (H\otimes H)}،λح:أنا⊗ح→ح{\displaystyle \lambda _{H}:I\otimes H\to H}،ρح:ح⊗أنا→ح{\displaystyle \rho _{H}:H\otimes I\to H}هي التحولات الطبيعية للترابطية، وللوحدات اليسرى واليمنى في الفئة الأحادية(ج،⊗،أنا،α،λ،ρ،γ){\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}.

الاقتباسات

  1. ↑ هالدين، إف دي إم؛ ها، زد إن سي؛ تالسترا، جي سي؛ برنارد، دي؛ باسكييه، في. (1992). "التناظر اليانغي للسلاسل الكمومية المتكاملة ذات التفاعلات طويلة المدى ووصف جديد للحالات في نظرية الحقل المطابق". رسائل المراجعة الفيزيائية . 69 (14): 2021-2025 . Bibcode : 1992PhRvL..69.2021H . doi : 10.1103/physrevlett.69.2021 . PMID 10046379 . 
  2. ↑ بليفكا، ج.؛ سبيل، ف.؛ توريلي، أ. (2006). "بنية جبر هوبف لمصفوفة التشتت AdS/CFT". مجلة Physical Review D. 74 ( 6) 066008. arXiv : hep-th/0608038 . Bibcode : 2006PhRvD..74f6008P . doi : 10.1103/PhysRevD.74.066008 . S2CID 2370323 . 
  3. ↑ أبرو، صموئيل؛ بريتو، روث ؛ دوهر، كلود؛ جاردي، إينان (2017-12-01). "جبر هوبف التخطيطي لتكاملات فاينمان المقطوعة: حالة الحلقة الواحدة". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2017 (12): 90. arXiv : 1704.07931 . Bibcode : 2017JHEP...12..090A . doi : 10.1007/jhep12(2017)090 . ISSN 1029-8479 . S2CID 54981897 .  
  4. ↑ أندروود 2011 ، ص 55 
  5. ↑ أندروود 2011 ، ص 62 
  6. ↑ رادفورد، ديفيد إي. (1976). "رتبة الأضداد في جبر هوبف ذي الأبعاد المحدودة محدودة" . المجلة الأمريكية للرياضيات . 98 (2): 333-355 . doi : 10.2307/2373888 . ISSN 0002-9327 . 
  7. ^ داسكليسكو وناستاسيسكو ورايانو (2001). "الدعامة 4.2.6". جبر هوبف: مقدمة . ص. 153. 
  8. ^ داسكليسكو وناستاسيسكو ورايانو (2001). "الملاحظات 4.2.3". جبر هوبف: مقدمة . ص. 151. 
  9. ↑ ملاحظات محاضرة عن المجموعات الكمومية
  10. ↑ نيكولز، وارن د.؛ زويلر، م. بيتينا (1989)، "نظرية حرية جبر هوبف"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 111 (2): 381-385 ، doi : 10.2307/2374514 ، JSTOR 2374514 ، MR 0987762  
  11. ↑ مونتغمري 1993 ، ص 36 
  12. ↑ أندروود 2011 ، ص 82 
  13. ↑ هازوينكل، ميشيل ؛ غوباريني، ناديزدا ميخائيلوفنا؛ كيريتشينكو، فلاديمير ف. (2010). الجبر، والحلقات، والوحدات: جبر لي وجبر هوبف . دراسات وأبحاث رياضية. المجلد 168. الجمعية الرياضية الأمريكية . ص 149. ISBN   978-0-8218-7549-0.
  14. ^ ميخاليف، ألكسندر فاسيليفيتش؛ بيلز، غونتر، محرران. (2002). الدليل الموجز للجبر . سبرينغر-فيرلاغ . ص. 307، ج.42. رقم ISBN 978-0-7923-7072-7.
  15. ↑ آبي، إيتشي (2004). جبر هوبف . سلسلة كامبريدج في الرياضيات. المجلد 74. مطبعة جامعة كامبريدج . ص 59. ISBN   978-0-521-60489-5.
  16. ↑ هوتشيلد، ج ( 1965)، بنية زمر لي ، هولدن-داي، ص 14-32 
  17. ↑ جانتزن، ينس كارستن (2003)، تمثيلات المجموعات الجبرية ، دراسات وبحوث رياضية، المجلد 107 ( الطبعة الثانية)، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN   978-0-8218-3527-2القسم 2.3
  18. ↑ انظر: Hazewinkel, Michiel (يناير 2003). "الدوال المتناظرة، والدوال المتناظرة غير التبادلية، والدوال شبه المتناظرة". Acta Applicandae Mathematicae . 75 ( 1–3 ): 55–83 . arXiv : math/0410468 . doi : 10.1023/A:1022323609001 . S2CID 189899056 . 
  19. ^ هوبف، هاينز (1941). “Über die Topologie der Gruppen–Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen”. آن. الرياضيات . 2 (باللغة الألمانية). 42 (1): 22-52 . دوى : 10.2307/1968985 . جستور 1968985 . 
  20. ↑ أندروود 2011 ، ص 57 
  21. ↑ أندروود 2011 ، ص 36 
  22. ↑ مونتغمري 1993 ، ص 203 
  23. ↑ فان دايل، ألفونس (1994). "جبر هوبف المضاعف" (ملف PDF) . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 342 (2): 917-932 . doi : 10.1090/S0002-9947-1994-1220906-5 .
  24. ^ بوم ، غابرييلا. نيل، فلوريان. سلاتشاني، كورنيل (1999). “جبر هوبف الضعيف”. ي. الجبر . 221 (2): 385– 438. أرخايف : الرياضيات/9805116 . دوى : 10.1006/jabr.1999.7984 . S2CID 14889155 . 
  25. ↑ نيكشيتش، ديمتري؛ فاينرمان، ليونيد (2002). "المجموعات الجزئية المنتهية وتطبيقاتها" . في مونتغمري، س.؛ شنايدر، هـ.-ج. (محرران). اتجاهات جديدة في جبر هوبف . المجلد 43. كامبريدج: منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية. الصفحات 211-262 . ISBN   978-0-521-81512-3.
  26. ↑ المجموعة = جبر هوبف «  ندوة التدوين السرية ، كائنات المجموعة وجبر هوبف ، فيديو لسيمون ويليرتون.
  27. ^ تورايف وفيريليزير 2017 ، 6.2.
  28. ↑ أكبروف 2009 ، ص 482.
  29. 1 2 أكبروف 2003 ، 10.3.
  30. ↑ أكبروف 2009 .

مراجع

  • داسكاليسكو، سورين؛ ناستيسكو، قسطنطين؛ رايانو، شتربان (2001)، جبر هوبف. مقدمة ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد.  235 (  الطبعة الأولى)، مارسيل ديكر، ISBN 978-0-8247-0481-0، Zbl 0962.16026 .
  • كارتييه، بيير (2007)، "مقدمة في جبر هوبف"، في كارتييه، ب.؛ موسى، ب.؛ جوليا، ب.؛ فانوف، ب. (محررون)، آفاق في نظرية الأعداد والفيزياء والهندسة ، المجلد  الثاني، برلين: سبرينغر، الصفحات 537-615 ، doi : 10.1007/978-3-540-30308-4_12 ، ISBN  978-3-540-30307-7
  • فوكس، يورغن (1992)، جبر لي الأفيني والمجموعات الكمومية. مقدمة مع تطبيقات في نظرية الحقل المطابق ، سلسلة دراسات كامبريدج في الفيزياء الرياضية، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-48412-1، Zbl 0925.17031 
  • هاينز هوبف ، Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen، حوليات الرياضيات 42 (1941)، 22-52. أعيد طبعه في Selecta Heinz Hopf، الصفحات  من 119 إلى 151، سبرينغر، برلين (1964). م.ر 0004784 ، زبل 0025.09303  
  • مونتغمري، سوزان (1993)، جبر هوبف وتأثيراته على الحلقات ، سلسلة المؤتمرات الإقليمية في الرياضيات، المجلد  82، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-0738-5Zbl 0793.16029​ 
  • ستريت، روس (2007)، المجموعات الكمومية: طريق إلى الجبر الحالي ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية الأسترالية، المجلد  19، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-69524-4، MR 2294803 ، Zbl 1117.16031  .
  • سويدلر، موس إي. (1969)، جبر هوبف ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، دبليو إيه بنجامين، نيويورك، رقم ISBN 978-0-8053-9254-8، MR 0252485 ، Zbl 0194.32901  
  • أندروود، روبرت ج. (2011)، مقدمة في جبر هوبف ، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-72765-3Zbl 1234.16022​ 
  • توراييف، فلاديمير؛ فيريليزييه، ألكسيس (2017)، الفئات المونيدية ونظرية الحقول الطوبولوجية ، التقدم في الرياضيات، المجلد  322، سبرينغر، doi : 10.1007/978-3-319-49834-8 ، ISBN 978-3-319-49833-1.
  • أكبروف، س. س. (2003). "ازدواجية بونترياغين في نظرية الفضاءات المتجهة الطوبولوجية وفي الجبر الطوبولوجي" . مجلة العلوم الرياضية . 113 (2): 179-349 . doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID 115297067 . 
  • أكبروف، س. س. (2009). "الدوال الهولومورفية من النوع الأسي والازدواجية لمجموعات شتاين ذات المكون الجبري المتصل للهوية". مجلة العلوم الرياضية . 162 (4): 459-586 . arXiv : 0806.3205 . doi : 10.1007/s10958-009-9646-1 . S2CID 115153766 .