مساحة H

في الرياضيات ، الفضاء H ^{[ 1 ]} هو نسخة نظرية التماثل لتعميم مفهوم المجموعة الطوبولوجية ، حيث يتم إزالة البديهيات المتعلقة بالتجميع والمعكوسات .

يتكون فضاء H من فضاء طوبولوجي X ، بالإضافة إلى عنصر e من X وتطبيق متصل μ  : X × X → X ، بحيث يكون μ( e , e ) = e ، ويكون كل من التطبيقين x ↦ μ( x , e ) و x ↦ μ( e , x ) متماثلين مع تطبيق التطابق من خلال التطبيقات التي تُرسل e إلى e . ^{[ 2 ]} يمكن اعتبار هذا فضاءً طوبولوجيًا مُحددًا مع عملية ضرب متصلة تكون نقطة الأساس فيها عنصر تطابق حتى التماثل الحافظ لنقطة الأساس.

يُقال إن الفضاء الطوبولوجي X هو فضاء H إذا وُجد عنصران e و μ بحيث يكون الثلاثي ( X , e , μ) فضاء H كما في التعريف السابق. ^{[ 3 ]} وبدلاً من ذلك، يمكن تعريف فضاء H دون اشتراط وجود تماثلات لتحديد نقطة الأساس e ، أو باشتراط أن يكون e عنصرًا مطابقًا تمامًا، دون أي اعتبار للتماثل. ^{[ 4 ]} في حالة مُركَّب CW ، تكون هذه التعريفات الثلاثة متكافئة في الواقع. ^{[ 5 ]}

يمكن إعادة صياغة التعريف القياسي للمجموعة الأساسية ، بالإضافة إلى كونها مجموعة، على النحو التالي: فضاء الحلقات في فضاء طوبولوجي مُشار إليه له بنية مجموعة H، مُجهزة بالعمليتين القياسيتين للربط والانعكاس. ^{[ 6 ]} علاوة على ذلك، فإن تطبيقًا مستمرًا يحافظ على نقطة الأساس في الفضاءات الطوبولوجية المُشار إليها يُنشئ تماثلًا من نوع H في فضاءات الحلقات المُقابلة؛ وهذا يعكس تماثل المجموعة على المجموعات الأساسية الناتج عن تطبيق مستمر. ^{[ 7 ]}

من السهل التحقق من أنه، عند وجود تكافؤ تماثلي مُوجَّه من فضاء-H إلى فضاء طوبولوجي مُوجَّه، توجد بنية طبيعية في فضاء-H على الفضاء الأخير. ^{[ 8 ]} وبذلك، فإن وجود بنية في فضاء-H على فضاء معين يعتمد فقط على نوع التماثل المُوجَّه الخاص به.

تُضفي البنية الضربية لفضاء H بنيةً على مجموعات التماثل والتماثل المشترك الخاصة به . على سبيل المثال، تُعدّ حلقة التماثل المشترك لفضاء H متصل مساريًا، مع مجموعات تماثل مشترك حرة ومولدة توليدًا منتهيًا، جبر هوبف . ^{[ 9 ]} كما يُمكن تعريف جداء بونترياجين على مجموعات التماثل لفضاء H. ^{[ 10 ]}

المجموعة الأساسية لفضاء H هي مجموعة تبديلية . لتوضيح ذلك، ليكن X فضاء H ذو عنصر محايد e ، ولتكن f و g حلقتين عند e . عرّف التطبيق F : [0,1] × [0,1] → X كما يلي: F ( a , b ) = f ( a ) g ( b ). عندئذٍ، يكون F ( a ,0) = F ( a ,1) = f ( a ) e متماثلًا مع f ، ويكون F (0, b ) = F (1, b ) = eg ( b ) متماثلًا مع g . من الواضح كيفية تعريف التماثل من [ f ][ g ] إلى [ g ][ f ].

تنص نظرية هوبف الثابتة لآدامز ، نسبةً إلى فرانك آدامز ^، على أن S₀ ^و S₁ و ^S₃ و S₇ هي الكرات الوحيدة التي تُشكّل فضاءات H. يُشكّل كلٌّ من هذه الفضاءات فضاء H بالنظر إليه كمجموعة جزئية من عناصر المعيار الواحد للأعداد الحقيقية ، والمركبة ، والرباعية ^، والثمانية ، على التوالي ^، وباستخدام عمليات الضرب من هذه الجبر. في الواقع، ^تُشكّل S₀ و S₁ و ^S₃ زمرًا ( زمر لي ) مع عمليات الضرب هذه. لكن ^S₇ ليست زمرةً بهذه الطريقة لأن ضرب الأوكتوني ليس تجميعيًا، ولا يمكن إعطاؤه أي عملية ضرب متصلة أخرى تجعله زمرة.

• المجموعة الطوبولوجية
• علم التماثل التشيكي
• جبر هوبف
• أحادي طوبولوجي
• كائن H

• هاتشر، ألين (2002). الطوبولوجيا الجبرية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-79540-0.القسم 3.ج
• جيمس، إيوان م. (1999). تاريخ الطوبولوجيا . نيويورك-برلين: إلسيفير ساينس. ISBN 9780080534077.
• سبانير، إدوين هـ. (1981). الطوبولوجيا الجبرية (طبعة منقحة من الطبعة الأصلية لعام 1966  ). نيويورك-برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-90646-0.
• ستاشيف، جيمس ديلون (1963)، "الترابطية الهوموتوبية للفضاءات H. الجزء الأول، الجزء الثاني"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 108 (2): 275-292 ، 293-312 ، doi : 10.2307/1993609 ، JSTOR 1993609 ، MR 0158400  .
• ستاشيف، جيمس (1970)، فضاءات H من منظور التماثل ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  161، برلين-نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ.
• سويتزر، روبرت م. (1975). الطوبولوجيا الجبرية – التجانس والتماثل . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  212. نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ.