منتج الكوب

في الرياضيات ، وتحديدًا في الطوبولوجيا الجبرية ، يُعدّ الضرب الكأسي طريقة لضم دورتين متجاورتين من الدرجة${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$لتشكيل دورة مركبة من الدرجة${\displaystyle p+q}$يُعرّف هذا عملية ضرب تبادلية متدرجة ترابطية (وتوزيعية) في علم التماثل، مما يُحوّل علم التماثل للفضاء${\displaystyle X}$في حلقة متدرجة ،${\displaystyle H^{*}(X)}$، والتي تسمى حلقة التماثل . تم تقديم منتج الكأس في أعمال جي دبليو ألكسندر وإدوارد تشيك وهاسلر ويتني من 1935 إلى 1938، وبشكل عام تمامًا، من قبل صموئيل إيلنبرغ في عام 1944.

في علم التماثل الفردي ، يُعدّ ضرب الكأس بناءً يُعطي ضربًا على حلقة التماثل المتدرج.${\displaystyle H^{*}(X)}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$.

يبدأ البناء بنتاج سلاسل مترافقة : إذا${\displaystyle \alpha ^{p}}$هو${\displaystyle p}$-cochain و ${\displaystyle \beta ^{q}}$هو${\displaystyle q}$-cochain، ثم

${\displaystyle (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}$

أين${\displaystyle \sigma }$هو مفرد${\displaystyle (p+q)}$- سيمبلكس و${\displaystyle \iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}}$ هو التضمين المتعارف عليه للبسيط الممتد بواسطة${\displaystyle S}$إلى${\displaystyle (p+q)}$-simplex الذي يتم فهرسة رؤوسه بواسطة${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$.

بشكل غير رسمي،${\displaystyle \sigma \circ \iota _{0,1,...,p}}$هو${\displaystyle p}$-الواجهة الأمامية و${\displaystyle \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}}$ هو${\displaystyle q}$الوجه الخلفي لـ${\displaystyle \sigma }$، على التوالى.

الحدود المشتركة لمنتج الكأس من السلاسل المشتركة${\displaystyle \alpha ^{p}}$و${\displaystyle \beta ^{q}}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}$

حاصل ضرب مجموعتين متماثلتين في شكل كأس هو مجموعة متماثلة أخرى، وحاصل ضرب مجموعة متماثلة في شكل حدّي مع مجموعة متماثلة أخرى (بأي ترتيب) هو مجموعة متماثلة. تُحدث عملية ضرب مجموعتين متماثلتين في شكل كأس عملية ثنائية الخطية على علم التماثل.

${\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).}$

عملية ضرب الكأس في علم التماثل تحقق الهوية

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$

بحيث تكون عملية الضرب المقابلة تبديلية متدرجة .

إن حاصل ضرب الأكواب دالة ، بالمعنى التالي: إذا

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

هي دالة متصلة، و

${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}$

إذا كان التشاكل المستحث في علم التماثل،

${\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}$

لجميع الصفوف${\displaystyle \alpha ,\beta }$في${\displaystyle H^{*}(Y)}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle f^{*}}$هو تماثل حلقي (متدرج) .

يمكنك الاطلاع على منتج الكوب${\displaystyle \smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}$ كعملية ربط مستمدة من التركيب التالي:

${\displaystyle \displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)}$

من حيث سلاسل المركبات لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle X\times X}$، حيث أن الخريطة الأولى هي خريطة كونيث، والثانية هي الخريطة الناتجة عن القطر${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$.

يُحوّل هذا التركيب إلى خارج القسمة ليعطي خريطة مُحدّدة جيدًا من حيث علم التماثل، وهذا هو حاصل الضرب الكأسي. يُفسّر هذا النهج وجود حاصل الضرب الكأسي في علم التماثل، ولكن ليس في علم التماثل.${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$يُنشئ خريطة${\displaystyle \Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)}$لكنها ستؤدي أيضًا إلى إنشاء خريطة${\displaystyle \Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)}$وهذا ما يُعقّد تعريف المنتج. مع ذلك، يُفيد هذا في تعريف منتج الغطاء .

ينتج عن هذا العرض لمنتج الكأس، أي العلاقة الثنائية الخطية${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v}$و${\displaystyle u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.}$

يمكن استخدام منتجات الكأس للتمييز بين المتشعبات وأوتاد الفضاءات ذات مجموعات التماثل المتطابقة.${\displaystyle X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}}$يمتلك نفس مجموعات التماثل المشترك مثل الطارة T ، ولكن مع ناتج كأس مختلف. في حالة X، يكون ضرب السلاسل المشتركة المرتبطة بنسخ${\displaystyle S^{1}}$متدهور، بينما في T يمكن استخدام الضرب في مجموعة التماثل الأولى لتحليل الطارة كمخطط من خليتين، وبالتالي يكون الناتج مساوياً لـ Z (بشكل عام M حيث تكون هذه هي الوحدة الأساسية).

عملية الضرب الكأسي هي عملية ثنائية (2-ary)؛ ويمكن تعريف عملية ثلاثية (3-ary) وأعلى رتبة تُسمى ضرب ماسي ، وهي تعميم لعملية الضرب الكأسي. هذه عملية تماثلية من رتبة أعلى ، وهي مُعرَّفة جزئيًا فقط (مُعرَّفة فقط لبعض الثلاثيات).

• التماثل الفريد
• نظرية التماثل
• غطاء المنتج
• مجموعة توريلي

• جيمس ر. مونكرز ، "مبادئ الطوبولوجيا الجبرية"، دار نشر بيرسيوس، كامبريدج، ماساتشوستس (1984) ISBN 0-201-04586-9(غلاف مقوى) رقم ISBN 0-201-62728-0(غلاف ورقي)
• جلين إي. بريدون ، "الطوبولوجيا والهندسة"، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك (1993) ISBN 0-387-97926-3
• هاتشر، ألين (2002)، الطوبولوجيا الجبرية ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-79540-0.