غطاء المنتج

في الطوبولوجيا الجبرية، يُعدّ الضرب العلوي طريقة لضم سلسلة من الدرجة${\displaystyle p}$مع سلسلة من الدرجة${\displaystyle q}$بحيث${\displaystyle q\leq p}$، لتشكيل سلسلة مركبة من الدرجة${\displaystyle pq}$تم تقديمه بواسطة إدوارد تشيك في عام 1936، وبشكل مستقل بواسطة هاسلر ويتني في عام 1938.

ليكن X فضاءً طوبولوجيًا و R حلقة معاملات. الضرب العلوي هو تطبيق ثنائي الخطية على التماثل والتماثل المفردين

${\displaystyle \frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{pq}(X;R).}$

يتم تعريفها عن طريق تقليص سلسلة مفردة${\displaystyle \sigma$ :\Delta ^{p}\rightarrow X} مع سلسلة مشتركة مفردة${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R),}$وفقًا للصيغة التالية:

${\displaystyle \sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}.}$

هنا، الترميز${\displaystyle \sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}}$يشير ذلك إلى تقييد الخريطة التبسيطية${\displaystyle \sigma }$إلى وجهها الممتد بواسطة متجهات القاعدة.

قياسًا على تفسير حاصل الضرب الكأسي بدلالة صيغة كونيث ، يمكننا تفسير وجود حاصل الضرب الغطاءي بالطريقة التالية. باستخدام تقريب CW، يمكننا أن نفترض أن${\displaystyle X}$هو مركب CW و${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$(و${\displaystyle C^{\bullet }(X)}$) هو مُركّب سلاسله الخلوية (أو سلاسله المُشتركة، على التوالي). لننظر إذن في التركيب $${\displaystyle C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\Delta _{*}\otimes \mathrm {Id} }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$ حيث نقوم بأخذ حاصل ضرب الموترات للمركبات السلسلية ،${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$هي الخريطة القطرية التي تولد الخريطة $${\displaystyle \Delta _{*}\colon C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X\times X)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)}$$ على سلسلة معقدة، و${\displaystyle \varepsilon \colon C_{p}(X)\otimes C^{q}(X)\to \mathbb {Z} }$هي خريطة التقييم (دائمًا 0 باستثناء${\displaystyle p=q}$).

ثم ينتقل هذا التركيب إلى خارج القسمة لتحديد حاصل الضرب النهائي${\displaystyle \frown \colon H_{\bullet }(X)\times H^{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X)}$وبالنظر بعناية إلى التكوين أعلاه، يتضح أنه يتخذ بالفعل شكل خرائط${\displaystyle \frown \colon H_{p}(X)\times H^{q}(X)\to H_{pq}(X)}$، وهو دائمًا يساوي صفرًا لـ${\displaystyle p<q}$.

لأي نقطة${\displaystyle x}$في${\displaystyle M}$لدينا التسلسل الطويل والدقيق في علم التماثل (مع معاملات في${\displaystyle R}$) من الزوج${\displaystyle (M,Mx)}$(انظر التشابه النسبي )

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(M-{x};R){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(M-{x};R)\to \cdots .}$

عنصر${\displaystyle [M]}$ل${\displaystyle H_{n}(M;R)}$يُطلق عليه اسم الفئة الأساسية لـ${\displaystyle M}$لو${\displaystyle j_{*}([M])}$هو مولد لـ${\displaystyle H_{n}(M,M-{x};R)}$فئة أساسية من${\displaystyle M}$موجود إذا${\displaystyle M}$مغلق وقابل للتوجيه R. في الواقع، إذا${\displaystyle M}$هو مكان مغلق ومتصل و${\displaystyle R}$-متعددة قابلة للتوجيه، الخريطة${\displaystyle H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R)}$هو تماثل لجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle R}$وبالتالي، يمكننا اختيار أي مولد لـ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$باعتبارها الطبقة الأساسية.

لـ مغلق${\displaystyle R}$متعدد الشعب القابل للتوجيه${\displaystyle M}$مع فئة أساسية${\displaystyle [M]}$في${\displaystyle H_{n}(M;R)}$(والتي يمكننا اختيارها لتكون أي مولد لـ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$) خريطة منتجات الغطاء$${\displaystyle H^{k}(M;R)\to H_{nk}(M;R),\alpha \mapsto [M]\frown \alpha }$$ هو تماثل لجميع${\displaystyle k}$تُعرف هذه النتيجة باسم ثنائية بوانكاريه .

إذا استبدلنا في المناقشة أعلاه${\displaystyle X\times X}$بواسطة${\displaystyle X\times Y}$يمكن إعادة إنتاج البناء (جزئيًا) انطلاقًا من عمليات الربط $${\displaystyle C_{\bullet} (X\times Y)\otimes C^{\bullet }(Y)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(Y)\otimes C^{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$ و $${\displaystyle C^{\bullet} (X\times Y)\otimes C_{\bullet }(Y)\cong C^{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(Y)\otimes C_{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X)}$$

للحصول على المنتجات المائلة ، على التوالي${\displaystyle /}$: $${\displaystyle H_{p}(X\times Y;R)\otimes H^{q}(Y;R)\rightarrow H_{pq}(X;R)}$$و $${\displaystyle H^{p}(X\times Y;R)\otimes H_{q}(Y;R)\rightarrow H^{pq}(X;R).}$$

في حالة${\displaystyle X=Y}$، يرتبط الأول بضرب الغطاء من خلال الخريطة القطرية:${\displaystyle \Delta _{*}(a)/\phi =a\frown \phi }$.

هذه "المنتجات" تشبه القسمة أكثر من الضرب من بعض النواحي، وهو ما ينعكس في تدوينها.

حدود حاصل الضرب المغلق تُعطى بالصيغة التالية  :

${\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi ).}$

بالنظر إلى خريطة f، فإن الخرائط المستحثة تحقق ما يلي  :

${\displaystyle f_{*}(\sigma )\frown \psi =f_{*}(\sigma \frown f^{*}(\psi )).}$

يرتبط منتج الغطاء والكوب بما يلي  :

${\displaystyle \psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )}$

أين

${\displaystyle \sigma$ :\Delta ^{p+q}\rightarrow X} , ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}$و${\displaystyle \varphi \in C^{p}(X;R).}$

لو${\displaystyle \sigma }$يُسمح بأن تكون درجة أعلى من${\displaystyle p+q}$تتخذ الهوية الأخيرة شكلاً أكثر عمومية

${\displaystyle (\sigma \frown \varphi )\frown \psi =\sigma \frown (\varphi \smile \psi )}$

مما يجعل${\displaystyle H_{\ast }(X;R)}$إلى اليمين${\displaystyle H^{\ast }(X;R)}$- وحدة .

• منتج الكوب
• ازدواجية بوانكاريه
• التماثل الفريد
• نظرية التماثل

• هاتشر، أ. ، الطوبولوجيا الجبرية ، مطبعة جامعة كامبريدج (2002) ISBN 0-521-79540-0. مناقشة مفصلة لنظريات التماثل للمجمعات والمتشعبات التبسيطية، والتماثل الفردي، وما إلى ذلك.
• ماي، جيه بي (1999). دورة موجزة في الطوبولوجيا الجبرية (ملف PDF) . مطبعة جامعة شيكاغو . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 سبتمبر 2008 .يقدم القسم 2.7 عرضًا نظريًا للفئات للنظرية على أنها حد مشترك في فئة الزمر الجزئية.
• منتج مائل في مختبر n
• ازدواجية بوانكاريه في مختبر n