الفصل الأساسي

عندما تكون M متعددة شعب مغلقة متصلة وقابلة للتوجيه ذات بُعد n ، فإن مجموعة التماثل العليا تكون دورية لانهائية :${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$والتوجيه هو اختيار للمولد، واختيار للتماثل.${\displaystyle \mathbb {Z} \to H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$يُطلق على المولد اسم الفئة الأساسية .

إذا كان M غير متصل (ولكن لا يزال قابلاً للتوجيه)، فإن الفئة الأساسية هي المجموع المباشر للفئات الأساسية لكل مكون متصل (يتوافق مع توجيه لكل مكون).

فيما يتعلق بعلم التماثل لـ de Rham، فإنه يمثل التكامل على M ؛ أي بالنسبة لـ M، وهو فضاء متعدد الشعب أملس، يمكن إقران شكل n - ω بالفئة الأساسية كما يلي:

${\displaystyle \langle \omega ,[M]\rangle =\int _{M}\omega \ ,}$

وهو تكامل ω على M ، ويعتمد فقط على فئة التماثل لـ ω.

إذا لم يكن M قابلاً للتوجيه،${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )\ncong \mathbb {Z} }$وبالتالي، لا يمكن تعريف فئة أساسية M تقع داخل الأعداد الصحيحة. ومع ذلك، فإن كل مشعب مغلق هو${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$قابل للتوجيه، و ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$(لـ M متصلة). وبالتالي، فإن كل مشعب مغلق هو${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$موجه (ليس فقط قابل للتوجيه : لا يوجد لبس في اختيار التوجيه)، وله${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-الفئة الأساسية.

هذا${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$- يتم استخدام الفئة الأساسية في تعريف فئة ستيفل-ويتني .

إذا كانت M متعددة شعب مضغوطة قابلة للتوجيه ذات حدود، فإن مجموعة التماثل النسبي العليا تكون دورية لانهائية.${\displaystyle H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbb {Z} }$وبالتالي يمكن توسيع مفهوم الفئة الأساسية ليشمل المتشعب ذي الحالة الحدية.