مجموعة كمومية متراصة محليًا

في الرياضيات والفيزياء النظرية ، تُعدّ المجموعة الكمومية المدمجة محليًا منهجًا جبريًا من نوع C* لدراسة المجموعات الكمومية ، وهو تعميم لمنهجيات جبر كاكس ، والمجموعات الكمومية المدمجة ، وجبر هوبف . وقد حققت المحاولات السابقة لوضع تعريف موحد للمجموعات الكمومية، باستخدام، على سبيل المثال، العمليات الوحدوية الضربية، بعض النجاح، ولكنها واجهت أيضًا العديد من المشكلات التقنية.

من أبرز السمات التي تميز هذا النهج الجديد عن سابقيه الوجود البديهي للأوزان الثابتة من اليسار واليمين. وهذا يُعطي نظيراً غير تبادلي لمقاييس هار من اليسار واليمين على زمرة هاوسدورف المدمجة محلياً.

قبل أن نتمكن حتى من البدء في تعريف مجموعة الكم المدمجة محليًا بشكل صحيح، نحتاج أولاً إلى تعريف عدد من المفاهيم التمهيدية وأيضًا ذكر بعض النظريات.

التعريف (الوزن). ليكن${\displaystyle A}$ليكن جبر C* ، وليكن${\displaystyle A_{\geq 0}}$تشير إلى مجموعة العناصر الموجبة من${\displaystyle A}$ثقل على​${\displaystyle A}$هي دالة${\displaystyle \phi :A_{\geq 0}\to [0,\infty ]}$بحيث

• ${\displaystyle \phi (a_{1}+a_{2})=\phi (a_{1})+\phi (a_{2})}$للجميع${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{\geq 0}}$، و
• ${\displaystyle \phi (r\cdot a)=r\cdot \phi (a)}$للجميع${\displaystyle r\in [0,\infty )}$و${\displaystyle a\in A_{\geq 0}}$.

بعض الرموز المستخدمة للأوزان. ليكن${\displaystyle \phi }$ليكن وزنًا في جبر C*${\displaystyle A}$نستخدم الرموز التالية:

• ${\displaystyle {\mathcal {M}} _ {\phi }^{+}:=\{a\in A_{\geq 0}\mid \phi (a)<\infty \}}$، والتي تسمى مجموعة جميع القيم الموجبة${\displaystyle \phi }$- عناصر قابلة للتكامل من${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {N}} _ {\phi }:=\{a\in A\mid \phi (a^{*}a)<\infty \}}$، والتي تسمى مجموعة جميع${\displaystyle \phi }$- عناصر قابلة للتكامل التربيعي من${\displaystyle A}$.
• $//$، والتي تسمى مجموعة جميع${\displaystyle \phi }$- عناصر قابلة للتكامل من${\displaystyle A}$.

أنواع الأوزان. ليكن${\displaystyle \phi }$ليكن وزنًا في جبر C*${\displaystyle A}$.

• نقول ذلك${\displaystyle \phi }$يكون مخلصاً إذا وفقط إذا${\displaystyle \phi (a)\neq 0}$لكل قيمة غير صفرية${\displaystyle a\in A_{\geq 0}}$.
• نقول ذلك${\displaystyle \phi }$تكون شبه متصلة من الأسفل إذا وفقط إذا كانت المجموعة${\displaystyle \{a\in A_{\geq 0}\mid \phi (a)\leq \lambda \}}$هي مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle A}$لكل${\displaystyle \lambda \in [0,\infty ]}$.
• نقول ذلك${\displaystyle \phi }$تكون محددة بشكل كثيف إذا وفقط إذا${\displaystyle {\mathcal {M}} _ {\phi }^{+}}$هي مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle A_{\geq 0}}$أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا كان أحد${\displaystyle {\mathcal {N}} _ {\phi }}$أو${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }}$هي مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle A}$.
• نقول ذلك${\displaystyle \phi }$تكون صحيحة إذا وفقط إذا كانت غير صفرية، وشبه متصلة من الأسفل، ومحددة بكثافة.

التعريف (مجموعة ذات مُعامل واحد). ليكن${\displaystyle A}$ليكن جبرًا من نوع C*. مجموعة ذات مُعامل واحد على${\displaystyle A}$هي عائلة${\displaystyle \alpha =(\alpha _{t})_{t\in \mathbb {R} }}$من التشاكلات الذاتية * لـ${\displaystyle A}$ذلك يرضي${\displaystyle \alpha _{s}\circ \alpha _{t}=\alpha _{s+t}}$للجميع${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$نقول ذلك${\displaystyle \alpha }$تكون متصلة معيارياً إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle a\in A}$، عملية رسم الخرائط${\displaystyle \mathbb {R} \to A}$محدد بواسطة${\displaystyle t\mapsto {\alpha _{t}}(a)}$متصل.

التعريف (الامتداد التحليلي لمجموعة ذات مُعامل واحد). بالنظر إلى مجموعة ذات مُعامل واحد متصلة معيارياً${\displaystyle \alpha }$في جبر C*${\displaystyle A}$سنقوم بتعريف امتداد تحليلي لـ${\displaystyle \alpha }$لكل${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$، يترك

${\displaystyle I(z):=\{y\in \mathbb {C} \mid |\Im (y)|\leq |\Im (z)|\}}$،

وهو عبارة عن شريط أفقي في المستوى المركب. نسمي هذه الدالة${\displaystyle f:I(z)\to A}$منتظم إذا وفقط إذا تحققت الشروط التالية:

• وهو تحليلي من الداخل${\displaystyle I(z)}$أي لكل${\displaystyle y_{0}}$في داخل${\displaystyle I(z)}$الحد${\displaystyle \displaystyle \lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(y)-f(y_{0})}{y-y_{0}}}}$موجود بالنسبة لطوبولوجيا المعيار على${\displaystyle A}$.
• وهي محدودة بالمعيار على${\displaystyle I(z)}$.
• وهي متصلة معيارياً على${\displaystyle I(z)}$.

لنفترض الآن أن${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$ودع

${\displaystyle D_{z}:=\{a\in A\mid {\text{There exists a norm-regular}}~f:I(z)\to A~{\text{such that}}~f(t)={\alpha _{t}}(a)~{\text{for all}}~t\in \mathbb {R} \}.}$

يُعرِّف${\displaystyle \alpha _{z}:D_{z}\to A}$بواسطة${\displaystyle {\alpha _{z}}(a):=f(z)}$الوظيفة${\displaystyle f}$يتم تحديدها بشكل فريد (بواسطة نظرية الدوال التحليلية المركبة)، لذلك${\displaystyle \alpha _{z}}$إنها محددة جيداً بالفعل. العائلة${\displaystyle (\alpha _{z})_{z\in \mathbb {C} }}$ويُطلق عليه حينها اسم الامتداد التحليلي لـ${\displaystyle \alpha }$.

النظرية 1. المجموعة${\displaystyle \cap _{z\in \mathbb {C} }D_{z}}$، والتي تسمى مجموعة العناصر التحليلية لـ${\displaystyle A}$، هي مجموعة جزئية كثيفة من${\displaystyle A}$.

تعريف (وزن الكيلومترات). ليكن${\displaystyle A}$كن جبرًا من نوع C* و${\displaystyle \phi :A_{\geq 0}\to [0,\infty ]}$وزن على${\displaystyle A}$نقول ذلك${\displaystyle \phi }$هو وزن KMS (يرمز KMS إلى Kubo-Martin-Schwinger)${\displaystyle A}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \phi }$الوزن المناسب على${\displaystyle A}$وتوجد مجموعة ذات معيار واحد متصلة بالمعيار${\displaystyle (\sigma _{t})_{t\in \mathbb {R} }}$على${\displaystyle A}$بحيث

• ${\displaystyle \phi }$ثابت تحت${\displaystyle \sigma }$، أي،${\displaystyle \phi \circ \sigma _{t}=\phi }$للجميع${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$، و
• لكل${\displaystyle a\in {\text{Dom}}(\sigma _{i/2})}$لدينا${\displaystyle \phi (a^{*}a)=\phi (\sigma _{i/2}(a)[\sigma _{i/2}(a)]^{*})}$.

نرمز بـ${\displaystyle M(A)}$جبر المضاعفات لـ${\displaystyle A}$.

النظرية 2. إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي جبر C* و${\displaystyle \pi :A\to M(B)}$هو تماثل غير منحط من النوع *- (أي،${\displaystyle \pi [A]B}$هي مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle B}$ثم يمكننا التمديد بشكل فريد${\displaystyle \pi }$إلى تماثل *${\displaystyle {\overline {\pi }}:M(A)\to M(B)}$.

النظرية 3. إذا${\displaystyle \omega :A\to \mathbb {C} }$هي حالة (أي دالة خطية موجبة ذات معيار)${\displaystyle 1}$) على${\displaystyle A}$ثم يمكننا التوسع بشكل فريد${\displaystyle \omega }$إلى دولة${\displaystyle {\overline {\omega }}:M(A)\to \mathbb {C} }$على${\displaystyle M(A)}$.

تعريف (المجموعة الكمومية المدمجة محليًا). المجموعة الكمومية المدمجة محليًا (الجبرية من النوع C*) هي زوج مرتب${\displaystyle {\mathcal {G}}=(A,\Delta )}$، أين${\displaystyle A}$هي جبر C* و${\displaystyle \Delta :A\to M(A\otimes A)}$هو تماثل غير منحط من النوع * يسمى الضرب المشترك ، والذي يحقق الشروط الأربعة التالية:

• الضرب المشترك هو ضرب ترابطي، أي${\displaystyle {\overline {\Delta \otimes \iota }}\circ \Delta ={\overline {\iota \otimes \Delta }}\circ \Delta }$.
• المجموعات${\displaystyle \left\{{\overline {\omega \otimes {\text{id}}}}(\Delta (a))~{\big |}~\omega \in A^{*},~a\in A\right\}}$و${\displaystyle \left\{{\overline {{\text{id}}\otimes \omega }}(\Delta (a))~{\big |}~\omega \in A^{*},~a\in A\right\}}$هي مجموعات فرعية كثيفة خطيًا من${\displaystyle A}$.
• يوجد وزن KMS موثوق${\displaystyle \phi }$على${\displaystyle A}$أي أن هذا ثابت من اليسار، أي${\displaystyle \phi \!\left({\overline {\omega \otimes {\text{id}}}}(\Delta (a))\right)={\overline {\omega }}(1_{M(A)})\cdot \phi (a)}$للجميع${\displaystyle \omega \in A^{*}}$و${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$.
• يوجد وزن KMS${\displaystyle \psi }$على${\displaystyle A}$أي أنه ثابت من اليمين،${\displaystyle \psi \!\left({\overline {{\text{id}}\otimes \omega }}(\Delta (a))\right)={\overline {\omega }}(1_{M(A)})\cdot \psi (a)}$للجميع${\displaystyle \omega \in A^{*}}$و${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$.

انطلاقاً من تعريف المجموعة الكمومية المدمجة محلياً، يمكن إثبات أن وزن KMS الثابت من اليمين${\displaystyle \psi }$يكون أميناً تلقائياً. لذلك، فإن أمانة${\displaystyle \psi }$هذا شرط زائد ولا يحتاج إلى افتراض.

تتيح فئة الزمر الكمومية المدمجة محليًا بناءًا ثنائيًا يمكن من خلاله إثبات أن الثنائي المزدوج لزمرة كمومية مدمجة محليًا متماثل مع الزمرة الأصلية. تُعطي هذه النتيجة تعميمًا واسع النطاق لثنائية بونترياغين للزمر الأبيلية هاوسدورف المدمجة محليًا.

تتمتع النظرية بصياغة مكافئة من حيث جبر فون نيومان . ^{[ 1 ]}

• مساحة محلية مضغوطة
• حقل مضغوط محليًا
• مجموعة محلية متماسكة

• يوهان كوسترمانز وستيفان فايس. " مجموعات الكم المدمجة محليا. " الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة. المجلد. 33، رقم 6 (2000)، الصفحات من  837 إلى 934.
• توماس تيمرمان. "دعوة إلى المجموعات الكمومية والازدواجية - من جبر هوبف إلى الوحدويات الضربية وما بعدها." كتب الرياضيات EMS، الجمعية الرياضية الأوروبية (2008).