مجموعة محلية متماسكة

في الرياضيات ، تُعرَّف المجموعة المدمجة محليًا بأنها مجموعة طوبولوجية G تكون طوبولوجيتها الأساسية مدمجة محليًا وهاوسدورف . تكتسب المجموعات المدمجة محليًا أهمية بالغة نظرًا لأن العديد من أمثلة المجموعات التي تظهر في مختلف فروع الرياضيات هي مجموعات مدمجة محليًا، كما أن لهذه المجموعات مقياسًا طبيعيًا يُسمى مقياس هار . يسمح هذا المقياس بتعريف تكاملات الدوال القابلة للقياس بوريل على G، مما يُسهِّل فهم مفاهيم التحليل القياسية مثل تحويل فورييه و${\displaystyle L^{p}}$يمكن تعميم المساحات .

تُثبت العديد من نتائج نظرية تمثيل الزمر المنتهية عن طريق حساب المتوسط ​​على الزمرة. بالنسبة للزمر المتراصة، تُعطي تعديلات هذه البراهين نتائج مماثلة عن طريق حساب المتوسط ​​بالنسبة لتكامل هار المعياري . في الحالة العامة للزمر المتراصة محليًا، لا يلزم تطبيق هذه التقنيات. تُشكل النظرية الناتجة جزءًا أساسيًا من التحليل التوافقي . تُوصف نظرية تمثيل الزمر الأبيلية المتراصة محليًا بازدواجية بونترياجين .

• أي مجموعة متراصة تكون متراصة محلياً.
  • على وجه الخصوص، فإن ^زمرة الدائرة S1 للأعداد المركبة ذات المعامل الواحد تحت الضرب هي زمرة متراصة، وبالتالي متراصة محليًا. وقد مثّلت زمرة الدائرة تاريخيًا أول زمرة غير تافهة طوبولوجيًا تتمتع أيضًا بخاصية التراص المحلي، ومن ثمّ حفّزت البحث عن النظرية الأكثر عمومية، المعروضة هنا.
• أي زمرة منفصلة تكون متراصة محلياً. ولذلك، تشمل نظرية الزمر المتراصة محلياً نظرية الزمر العادية، إذ تصبح أي زمرة زمرة طوبولوجية عند إعطائها الطوبولوجيا المنفصلة .
• إن المجموعات الجمعية للأعداد الحقيقية R والأعداد المركبة C ، إذا أعطيت لها طوبولوجياتها القياسية، تكون مضغوطة محليًا، وكذلك المجموعات الضربية للأعداد غير الصفرية R ^x و C ^x .
• زمر لي ، وهي زمر إقليدية محلية، تكون متراصة محلياً. وهنا نجد العديد من الأمثلة على الزمر المتراصة محلياً غير التبديلية.
• يكون الفضاء الشعاعي الطوبولوجي المعياري فوق حقل محلي مضغوطًا محليًا إذا وفقط إذا كان ذا أبعاد محدودة .
• لا تكون المجموعة الجمعية للأعداد النسبية Q متراصة محليًا إذا عُلمت بطوبولوجياها القياسية، أو بطوبولوجيا نسبية كمجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية . وتكون متراصة محليًا إذا عُلمت بطوبولوجيا منفصلة.
• تكون المجموعة الجمعية للأعداد p -adic Q _p مع طوبولوجيتها القياسية مضغوطة محليًا لأي عدد أولي p .

بحسب خاصية التجانس، يكفي التحقق من التراص الموضعي للفضاء الأساسي لمجموعة طوبولوجية عند العنصر المحايد. أي أن المجموعة G تكون فضاءً متراصًا موضعيًا إذا وفقط إذا كان للعنصر المحايد جوار متراص . ويترتب على ذلك وجود قاعدة موضعية من الجوارات المتراصة عند كل نقطة.

كل زمرة جزئية مغلقة من زمرة متراصة محليًا هي زمرة متراصة محليًا. (شرط الإغلاق ضروري كما يتضح من زمرة الأعداد النسبية). وعلى العكس، كل زمرة جزئية متراصة محليًا من زمرة هاوسدورف هي زمرة مغلقة. كل خارج قسمة من زمرة متراصة محليًا هو زمرة متراصة محليًا. حاصل ضرب عائلة من الزمر المتراصة محليًا يكون متراصًا محليًا إذا وفقط إذا كانت جميع عوامله، باستثناء عدد محدود منها، متراصة بالفعل.

تكون المجموعات الطوبولوجية منتظمة تمامًا كالفضاءات الطوبولوجية. أما المجموعات المدمجة محليًا فتتمتع بخاصية أقوى وهي كونها طبيعية .

كل زمرة متراصة محليًا، من النوع T₀ _، وقابلة للعد من الدرجة الأولى، تكون قابلة للقياس كمترية طوبولوجية (أي يمكن إعطاؤها متريًا ثابتًا من اليسار ومتوافقًا مع الطوبولوجيا) وكاملة . وإذا كانت هذه الزمرة قابلة للعد من الدرجة الثانية ، فيمكن اختيار المتر ليكون متريًا مناسبًا. (انظر المقال الخاص بالزمر الطوبولوجية ).

في مجموعة بولندية G ، تحقق جبر سيجما لمجموعات هار الصفرية شرط السلسلة القابلة للعد إذا وفقط إذا كانت G مضغوطة محليًا. ^{[ 1 ]}

لأي مجموعة أبيلية متراصة محليًا (LCA) A ، مجموعة التشاكلات المستمرة

Hom( A , S ¹ )

من A إلى مجموعة الدائرة، تكون المجموعة متراصة محليًا مرة أخرى. تؤكد ثنائية بونترياجين أن هذا المؤثر يُحفز تكافؤ الفئات

LCA ^op → LCA.

يتبادل هذا المؤثر عدة خصائص للمجموعات الطوبولوجية. على سبيل المثال، تتوافق المجموعات المنتهية مع المجموعات المنتهية، وتتوافق المجموعات المدمجة مع المجموعات المنفصلة، ​​وتتوافق المجموعات المترية مع الاتحادات القابلة للعد للمجموعات المدمجة (والعكس صحيح في جميع العبارات).

تُشكّل مجموعات LCA فئةً تامة ، حيث تكون أحاديات الشكل المقبولة زمرًا فرعية مغلقة، بينما تكون فوق الشكلات المقبولة دوال قسمة طوبولوجية. ولذلك، يُمكن دراسة طيف نظرية K لهذه الفئة. وقد بيّن كلاوسن (2017) أنها تقيس الفرق بين نظرية K الجبرية لـ Z و R ، أي الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية على التوالي، بمعنى وجود متتالية ألياف تماثلية.

K( Z ) → K( R ) → (LCA).

• المجموعة المدمجة – مجموعة طوبولوجية ذات طوبولوجيا مدمجة 
• مجال كامل
• حقل مضغوط محليًا
• الفضاء المدمج محليًا - نوع من الفضاءات الطوبولوجية في الرياضيات 
• مجموعة كمومية متراصة محليًا
• فضاء متجهي طوبولوجي مرتب
• مجموعة أبيلية طوبولوجية
• حقل طوبولوجي – بنية جبرية تتضمن الجمع والضرب والقسمة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• المجموعة الطوبولوجية - مجموعة تمثل فضاءً طوبولوجيًا مع عمليات مجموعة متصلة 
• وحدة طوبولوجية
• الحلقة الطوبولوجية
• شبه المجموعة الطوبولوجية
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي – الفضاء المتجهي مع مفهوم التقارب 

• كلاوسن، داستن (2017)، منهج نظري من النوع K لخرائط آرتين ، arXiv : 1703.07842v2