طوبولوجيا الفضاء الفرعي

في علم الطوبولوجيا والمجالات ذات الصلة في الرياضيات ، الفضاء الجزئي للفضاء الطوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$هي مجموعة جزئية S من X مزودة بطوبولوجيا مستمدة من طوبولوجيا${\displaystyle \tau }$تُسمى طوبولوجيا الفضاء الجزئي ^{[ 1 ]} (أو الطوبولوجيا النسبية ، ^{[ 1 ]} الطوبولوجيا الموروثة ، ^{[ 2 ]} الطوبولوجيا المستحثة ، ^{[ 1 ]} أو طوبولوجيا الأثر ). ^{[ 3 ]}

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$ومجموعة فرعية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X}$، طوبولوجيا الفضاء الجزئي على${\displaystyle S}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .}$

أي مجموعة فرعية من${\displaystyle S}$تكون مفتوحة في طوبولوجيا الفضاء الجزئي إذا وفقط إذا كانت تقاطعًا لـ${\displaystyle S}$مع مجموعة مفتوحة في${\displaystyle (X,\tau )}$. لو${\displaystyle S}$إذا تم تزويدها بطوبولوجيا الفضاء الجزئي، فإنها تصبح فضاءً طوبولوجيًا بحد ذاتها، وتسمى فضاءً جزئيًا من${\displaystyle (X,\tau )}$. عادةً ما يُفترض أن تكون المجموعات الفرعية من الفضاءات الطوبولوجية مزودة بطوبولوجيا الفضاء الفرعي ما لم يُذكر خلاف ذلك.

أو يمكننا تعريف طوبولوجيا الفضاء الجزئي لمجموعة جزئية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X}$باعتبارها أدق بنية طوبولوجية يمكن من خلالها إنشاء خريطة تضمين

${\displaystyle \iota :S\hookrightarrow X}$

متصل .​

وبشكل أعم، لنفترض ${\displaystyle \iota }$هو حقن من مجموعة${\displaystyle S}$إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$ثم طوبولوجيا الفضاء الجزئي على${\displaystyle S}$يُعرَّف بأنه أدق طوبولوجيا يكون فيها${\displaystyle \iota }$متصلة. المجموعات المفتوحة في هذه الطوبولوجيا هي تحديدًا تلك التي على الشكل${\displaystyle \iota ^{-1}(U)}$ل${\displaystyle U}$افتح في${\displaystyle X}$.${\displaystyle S}$ثم يكون متماثلاً شكلياً مع صورته في${\displaystyle X}$(وأيضًا مع طوبولوجيا الفضاء الفرعي) و${\displaystyle \iota }$يُطلق عليه اسم التضمين الطوبولوجي .

فضاء جزئي${\displaystyle S}$يُطلق عليه اسم فضاء فرعي مفتوح إذا كان الحقن${\displaystyle \iota }$هي خريطة مفتوحة ، أي إذا كانت الصورة الأمامية لمجموعة مفتوحة من${\displaystyle S}$مفتوح في${\displaystyle X}$وبالمثل، يُطلق عليه اسم فضاء فرعي مغلق إذا كان الحقن${\displaystyle \iota }$هي خريطة مغلقة .

غالباً ما يتم طمس التمييز بين المجموعة والفضاء الطوبولوجي في الرموز المستخدمة، وذلك تسهيلاً للفهم، مما قد يُسبب ارتباكاً عند مواجهة هذه التعريفات لأول مرة. لذا، كلما${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$، و${\displaystyle (X,\tau )}$إذا كان فضاءً طوبولوجيًا، فإن الرموز المجردة "${\displaystyle S}$" و "${\displaystyle X}$يمكن استخدام "غالباً" للإشارة إلى كليهما${\displaystyle S}$و${\displaystyle X}$يُعتبران مجموعتين فرعيتين من${\displaystyle X}$وكذلك لـ${\displaystyle (S,\tau _{S})}$و${\displaystyle (X,\tau )}$كما هو الحال في الفضاءات الطوبولوجية، المرتبطة كما نوقش أعلاه. لذا فإن عبارات مثل "${\displaystyle S}$فضاء فرعي مفتوح من${\displaystyle X}$تُستخدم " تعني أن${\displaystyle (S,\tau _{S})}$هو فضاء فرعي مفتوح من${\displaystyle (X,\tau )}$، بالمعنى المستخدم أعلاه؛ أي: (أ)${\displaystyle S\in \tau }$و (2)${\displaystyle S}$يُعتبر مزودًا بطوبولوجيا الفضاء الفرعي.

فيما يلي،${\displaystyle \mathbb {R} }$يمثل الأعداد الحقيقية بطوبولوجياها المعتادة.

• طوبولوجيا الفضاء الجزئي للأعداد الطبيعية ، باعتبارها فضاءً جزئياً من${\displaystyle \mathbb {R} }$، هي الطوبولوجيا المنفصلة .
• الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$باعتبارها فضاءً جزئياً من${\displaystyle \mathbb {R} }$لا تمتلك الطوبولوجيا المنفصلة (على سبيل المثال، {0} ليست مجموعة مفتوحة في${\displaystyle \mathbb {Q} }$لأنه لا توجد مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} }$الذي يتقاطع مع${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمكن أن ينتج عنه فقط المجموعة الوحيدة {0}). إذا كان a و b عددين نسبيين، فإن الفترتين ( a , b ) و [ a , b ] تكونان مفتوحتين ومغلقتين على التوالي، ولكن إذا كان a و b عددين غير نسبيين، فإن مجموعة جميع الأعداد النسبية x التي تحقق a < x < b تكون مفتوحة ومغلقة في نفس الوقت.
• المجموعة [0,1] كفضاء جزئي من${\displaystyle \mathbb {R} }$هي مفتوحة ومغلقة في آن واحد، بينما هي مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {R} }$إنه مغلق فقط.
• كمساحة فرعية من${\displaystyle \mathbb {R} }$، [0، 1] ∪ [2، 3] تتكون من مجموعتين فرعيتين مفتوحتين منفصلتين (والتي تصادف أنها مغلقة أيضًا)، وبالتالي فهي فضاء غير متصل .
• ليكن S = [0, 1) فضاءً جزئياً من خط الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$إذن، [0, 1 ⁄ 2 ) مفتوح في S ولكنه ليس كذلك في${\displaystyle \mathbb {R} }$(على سبيل المثال ، ينتج عن تقاطع (- 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) و S الفترة [0, 1 ⁄ 2 )). وبالمثل، فإن الفترة [ 1 ⁄ 2 , 1 ) مغلقة في S ولكنها ليست كذلك في${\displaystyle \mathbb {R} }$(لأنه لا توجد مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} }$يمكن أن يتقاطع مع [0, 1) لينتج عنه [ 1/2 , 1). المجموعة S مفتوحة ومغلقة كمجموعة جزئية من نفسها، ولكنها ليست كذلك كمجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} }$.

تتمتع طوبولوجيا الفضاء الجزئي بالخاصية المميزة التالية. ليكن${\displaystyle Y}$ليكن فضاءً جزئياً من${\displaystyle X}$ودع${\displaystyle i:Y\to X}$لتكن خريطة التضمين. إذن لأي فضاء طوبولوجي${\displaystyle Z}$خريطة${\displaystyle f:Z\to Y}$تكون الخريطة المركبة متصلة إذا وفقط إذا${\displaystyle i\circ f}$متصل.

تُعد هذه الخاصية مميزة بمعنى أنه يمكن استخدامها لتحديد طوبولوجيا الفضاء الجزئي على${\displaystyle Y}$.

نورد فيما يلي بعض الخصائص الإضافية لطوبولوجيا الفضاء الجزئي. لنفترض فيما يلي${\displaystyle S}$ليكن فضاءً جزئياً من${\displaystyle X}$.

• لو${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت متصلة، فإن التقييد على${\displaystyle S}$متصل.
• لو${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت متصلة${\displaystyle f:X\to f(X)}$متصل.
• المجموعات المغلقة في${\displaystyle S}$هي تحديداً نقاط التقاطع لـ${\displaystyle S}$مع مجموعات مغلقة في${\displaystyle X}$.
• لو${\displaystyle A}$هو فضاء جزئي من${\displaystyle S}$ثم${\displaystyle A}$وهو أيضًا فضاء جزئي من${\displaystyle X}$بنفس البنية الطوبولوجية. بعبارة أخرى، بنية الفضاء الجزئي التي${\displaystyle A}$يرث من${\displaystyle S}$هو نفسه الذي يرثه من${\displaystyle X}$.
• يفترض${\displaystyle S}$هو فضاء فرعي مفتوح من${\displaystyle X}$(لذا${\displaystyle S\in \tau }$ثم مجموعة فرعية من${\displaystyle S}$مفتوح في${\displaystyle S}$إذا وفقط إذا كان مفتوحًا في${\displaystyle X}$.
• يفترض${\displaystyle S}$هو فضاء جزئي مغلق من${\displaystyle X}$(لذا${\displaystyle X\setminus S\in \tau }$ثم مجموعة فرعية من${\displaystyle S}$مغلق في${\displaystyle S}$إذا وفقط إذا تم إغلاقه في${\displaystyle X}$.
• لو${\displaystyle B}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle S}$.
• تتطابق الطوبولوجيا المستحثة على مجموعة فرعية من فضاء متري عن طريق تقييد المقياس على هذه المجموعة الفرعية مع طوبولوجيا الفضاء الفرعي لهذه المجموعة الفرعية.

إذا كان للفضاء الطوبولوجي خاصية طوبولوجية معينة تستلزم أن تمتلك فضاءاته الجزئية تلك الخاصية، فإننا نقول إن الخاصية وراثية . أما إذا كانت الفضاءات الجزئية المغلقة فقط هي التي يجب أن تشترك في الخاصية، فإننا نسميها وراثية ضعيفة .

• كل فضاء فرعي مفتوح وكل فضاء فرعي مغلق من فضاء قابل للقياس بشكل كامل يكون قابلاً للقياس بشكل كامل.
• كل فضاء فرعي مفتوح من فضاء باير هو فضاء باير.
• كل فضاء جزئي مغلق من فضاء متراص هو فضاء متراص.
• إن كون المكان تابعًا لعائلة هاوسدورف هو أمر وراثي.
• إن كون المكان طبيعياً هو أمر وراثي ضعيف.
• التقييد التام وراثي.
• الانقطاع التام عن العالم الخارجي أمر وراثي.
• إن قابلية العد من الدرجة الأولى وقابلية العد من الدرجة الثانية وراثيتان.

• فضاء القسمة ذو المفهوم المزدوج
• بنية المنتج
• طوبولوجيا المجموع المباشر

• بورباكي، نيكولاس ، عناصر الرياضيات: الطوبولوجيا العامة ، أديسون-ويسلي (1966)
• ستين، لين آرثر ؛ سيباخ، ج. آرثر الابن (1995) [1978]، أمثلة مضادة في الطوبولوجيا ( طبعة دوفر المعاد طباعتها من  طبعة 1978)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-486-68735-3، MR 0507446 
• ويلارد، ستيفن. الطوبولوجيا العامة ، منشورات دوفر (2004) ISBN 0-486-43479-6