الفئة المحددة

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الفئات ، تُعرَّف الفئة التامة بأنها فئة مزودة بمتتاليات تامة قصيرة . يعود هذا المفهوم إلى دانيال كويلين ، وهو مصمم لتجسيد خصائص المتتاليات التامة القصيرة في الفئات الأبيلية دون اشتراط امتلاك التشكلات لنوى ونوى مشتركة ، وهو شرط أساسي للتعريف المعتاد لمثل هذه المتتالية.

الفئة التامة E هي فئة جمعية تحتوي على فئة E من "المتتاليات التامة القصيرة": ثلاثيات من الكائنات المتصلة بأسهم.

${\displaystyle M'\to M\to M''\ }$

تحقيق البديهيات التالية المستوحاة من خصائص المتتاليات التامة القصيرة في فئة أبيلية :

• E مغلقة تحت التشاكلات وتحتوي على المتتاليات الكنسية ("المتقطعة التامة"):

${\displaystyle M'\to M'\oplus M''\to M'';}$

• يفترض${\displaystyle M\to M''}$يظهر كسهم ثانٍ في تسلسل في E (وهو تحويل فوقي مقبول ) و${\displaystyle N\to M''}$إذا كان أي سهم في E ، فإن سحبه العكسي موجود وإسقاطه إلى${\displaystyle N}$وهو أيضًا تحويل شامل مقبول . وبالمثل ، إذا${\displaystyle M'\to M}$يظهر كأول سهم في متتالية في E (وهو شكل أحادي مقبول ) و${\displaystyle M'\to N}$إذا كان أي سهم، فإن دفعه موجود وإسقاطه المشترك من${\displaystyle N}$وهو أيضًا شكل أحادي مقبول . (نقول أن الأشكال الفوقية المقبولة "مستقرة تحت السحب للخلف"، على التوالي أن الأشكال الأحادية المقبولة "مستقرة تحت الدفع للخارج").
• التشاكلات الأحادية المقبولة هي نوى التشاكلات الفوقية المقبولة المقابلة لها، والعكس صحيح. تركيب تشاكلين أحاديين مقبولين يكون مقبولاً (وكذلك التشاكلات الفوقية المقبولة)؛
• يفترض${\displaystyle M\to M''}$هي دالة في E تقبل نواة في E ، ولنفترض${\displaystyle N\to M}$أي خريطة بحيث يكون تركيبها${\displaystyle N\to M\to M''}$هو تحويل فوقي مقبول. إذن، كذلك هو${\displaystyle M\to M''.}$ بالمثل، إذا${\displaystyle M'\to M}$يقبل نواة مشتركة و${\displaystyle M\to N}$بحيث${\displaystyle M'\to M\to N}$إذا كان أحادي الشكل مقبولاً، فإن كذلك${\displaystyle M'\to M.}$

يُشار عمومًا إلى التشكلات الأحادية المقبولة بـ${\displaystyle \rightarrowtail }$ويُشار إلى التحويلات الفوقية المقبولة بـ${\displaystyle \twoheadrightarrow .}$هذه البديهيات ليست بسيطة؛ في الواقع، لقد أظهر برنارد كيلر ( 1990 ) أن الأخيرة زائدة عن الحاجة. 

يمكن الحديث عن دالة تامة بين الفئات التامة تمامًا كما هو الحال في الدوال التامة للفئات الأبيلية: دالة تامة${\displaystyle F}$من فئة محددة D إلى فئة أخرى E ، يكون المؤثر الجمعي بحيث إذا

${\displaystyle M'\rightarrowtail M\twoheadrightarrow M''}$

إذا كانت دقيقة في D ، فإن

${\displaystyle F(M')\rightarrowtail F(M)\twoheadrightarrow F(M'')}$

يكون دقيقًا في E. إذا كانت D فئة فرعية من E ، فإنها تكون فئة فرعية دقيقة إذا كان عامل التضمين أمينًا ودقيقًا تمامًا .

تنشأ الفئات التامة من الفئات الأبيلية بالطريقة التالية. لنفترض أن A فئة أبيلية، ولتكن E أي فئة فرعية جمعية كاملة تمامًا مغلقة تحت التمديدات ، بمعنى أنه إذا أُعطيت متتالية تامة

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0\ }$

في A ، إذا${\displaystyle M',M''}$تقع في المنطقة E ، وكذلك${\displaystyle M}$يمكننا اعتبار الفئة E ببساطة هي المتتاليات الموجودة في E والتي تكون تامة في A ؛ أي

${\displaystyle M'\to M\to M''\ }$

يكون في E إذا وفقط إذا

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0\ }$

إذا كانت المجموعة تامة في A ، فإن E هي فئة تامة بالمعنى المذكور أعلاه. نتحقق من البديهيات:

• E مغلقة تحت التشاكلات وتحتوي على المتتاليات التامة المنقسمة: هذه صحيحة بحكم التعريف، لأنه في فئة أبيلية، أي متتالية متماثلة مع متتالية تامة تكون تامة أيضًا، ولأن المتتاليات المنقسمة تكون دائمًا تامة في A.
• تكون التحويلات الفوقية المقبولة (على التوالي، التحويلات الأحادية المقبولة) مستقرة تحت عمليات السحب العكسي (على التوالي عمليات الدفع الخارجي): بالنظر إلى تسلسل دقيق من الكائنات في E ،

${\displaystyle 0\to M'{\xrightarrow {f}}M\to M''\to 0,\ }$

وخريطة${\displaystyle N\to M''}$مع${\displaystyle N}$في E ، يتم التحقق من أن المتتالية التالية تامة أيضًا؛ وبما أن E مستقرة تحت التمديدات، فهذا يعني أن${\displaystyle M\times _{M''}N}$يقع في E :

${\displaystyle 0\to M'{\xrightarrow {(f,0)}}M\times _{M''}N\to N\to 0.\ }$

• كل شكل أحادي مقبول هو نواة الشكل الفوقي المقبول المقابل له، والعكس صحيح: هذا صحيح بالنسبة للتشكلات في A ، و E هي فئة فرعية كاملة.
• لو${\displaystyle M\to M''}$يقبل نواة في E وإذا${\displaystyle N\to M}$بحيث${\displaystyle N\to M\to M''}$إذا كان تحويلًا فوقيًا مقبولًا، فإن كذلك${\displaystyle M\to M''}$انظر كويلين ( 1972 ) . 

وعلى العكس من ذلك، إذا كانت E أي فئة تامة، فيمكننا اعتبار A فئة الدوال التامة اليسرى من E إلى فئة المجموعات الأبيلية ، وهي نفسها أبيلية والتي تكون فيها E فئة فرعية طبيعية (عبر تضمين يونيدا ، لأن Hom تامة يسارية)، ومستقرة تحت الامتدادات، والتي يكون فيها التسلسل في E إذا وفقط إذا كان تامًا في A.

• أي فئة أبيلية تكون دقيقة بالطريقة الواضحة، وفقًا لبنية #الدافع .
• ومن الأمثلة الأقل وضوحًا فئة Ab _tf للمجموعات الأبيلية الخالية من الالتواء ، وهي فئة فرعية كاملة تمامًا من الفئة (الأبيلية) Ab لجميع المجموعات الأبيلية. وهي مغلقة تحت الامتدادات: إذا

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\ }$

هي متتالية تامة قصيرة من الزمر الأبيلية التي${\displaystyle A,C}$إذا كانت خالية من الالتواء،${\displaystyle B}$يتضح من الحجة التالية أن هذا النظام خالٍ من الالتواء: إذا${\displaystyle b}$إذا كان عنصر التواء، فإن صورته في${\displaystyle C}$يساوي صفرًا، لأن${\displaystyle C}$خالٍ من الالتواء. وبالتالي،${\displaystyle b}$يقع في جوهر الخريطة إلى${\displaystyle C}$وهو${\displaystyle A}$لكن هذا أيضاً خالٍ من الالتواء، لذا${\displaystyle b=0}$بحسب بنية #Motivation ، فإن Ab _tf هي فئة تامة؛ ومن أمثلة المتتاليات التامة فيها ما يلي:

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} {\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}1\\2\end{smallmatrix}}\right)}}\mathbb {Z} ^{2}{\xrightarrow {(-2,1)}}\mathbb {Z} \to 0,}$

${\displaystyle 0\to d\Omega ^{0}(S^{1})\to \Omega _{c}^{1}(S^{1})\to H_{\text{dR}}^{1}(S^{1})\to 0,}$

حيث أن المثال الأخير مستوحى من علم التماثل دي رام (${\displaystyle \Omega _{c}^{1}(S^{1})}$و${\displaystyle d\Omega ^{0}(S^{1})}$هي الأشكال التفاضلية المغلقة والدقيقة على زمرة الدائرة ؛ وعلى وجه الخصوص، من المعروف أن زمرة التماثل متماثلة مع زمرة الأعداد الحقيقية. هذه الفئة ليست تبديلية.

• المثال التالي يُكمّل المثال السابق إلى حدٍ ما. لنفترض أن Ab _t هي فئة الزمر الأبيلية ذات الالتواء (وكذلك الزمرة الصفرية). هذه الفئة جمعية، وهي فئة فرعية كاملة تمامًا من Ab . ومن الأسهل إثبات استقرارها تحت الامتدادات: إذا

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\ }$

هي متتالية دقيقة${\displaystyle A,C}$إذا كان هناك التواء، فعندئذ${\displaystyle B}$يحتوي بشكل طبيعي على جميع عناصر الالتواء الخاصة بـ${\displaystyle A}$وبالتالي فهي فئة محددة.

• كيلر، برنارد (1990). "المجمعات السلسلية والفئات المستقرة". مخطوطات رياضية . 67 : 379-417 . CiteSeerX 10.1.1.146.3555 . doi : 10.1007/BF02568439 . S2CID 6945014. الملحق أ . الفئات الدقيقة  

• كويلين، دانيال (1972). نظرية K الجبرية العليا 1. سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  341. سبرينغر. الصفحات 85-147 . doi : 10.1007/BFb0067053 . ISBN  978-3-540-06434-3.