فئة الإضافة

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الفئات ، فإن الفئة الجمعية هي فئة ما قبل الجمعية تقبل جميع المنتجات الثنائية المنتهية .

هناك تعريفان متكافئان للفئة الإضافية: أحدهما كفئة مزودة ببنية إضافية، والآخر كفئة غير مزودة ببنية إضافية ولكن كائناتها ومورفيزماتها تحقق معادلات معينة.

المثال الأصلي للفئة الجمعية هو فئة الزمر الأبيلية Ab . العنصر الصفري هو الزمرة التافهة ، ويتم إعطاء جمع التشكلات نقطيًا ، ويتم إعطاء الضرب الثنائي عن طريق المجاميع المباشرة .

وبشكل عام، فإن كل فئة من فئات الوحدات النمطية على حلقة R هي فئة جمعية، وبالتالي على وجه الخصوص، فإن فئة الفضاءات المتجهة على حقل K هي فئة جمعية.

إن جبر المصفوفات على حلقة، والذي يُنظر إليه على أنه فئة كما هو موضح أدناه، هو أيضًا جمعي.

لتكن C فئة شبه جمعية، أي فئة تحتوي على جميع المنتجات الثنائية المنتهية. عندئذٍ، تحتوي كل مجموعة تماثلية على عملية جمع، مما يمنحها بنية شبه زمرة أبيلية ، بحيث يكون تركيب التشكلات ثنائي الخطية.

علاوة على ذلك، إذا كانت الفئة C جمعية، فيجب أن تتطابق عمليتا الجمع على مجموعات التماثل. وعلى وجه الخصوص، تكون الفئة شبه الجمعية جمعية إذا وفقط إذا كان لكل تشاكل معكوس جمعي.

هذا يدل على أن قانون الجمع لفئة جمعية هو قانون داخلي لتلك الفئة. ^{[ 1 ]}

لتعريف قانون الجمع، سنستخدم الاصطلاح الذي ينص على أنه بالنسبة للمنتج الثنائي، فإن p _k سيشير إلى مورفولوجيا الإسقاط، و i _k سيشير إلى مورفولوجيا الحقن.

التشاكل القطري هو التشاكل القانوني ∆: A → A ⊕ A ، المستحث بواسطة الخاصية العامة للمنتجات، بحيث يكون p _k ∘ ∆ = 1 _A لـ k = 1، 2. وبالمثل، فإن التشاكل القطري المشترك هو التشاكل القانوني ∇: A ⊕ A → A ، المستحث بواسطة الخاصية العامة للمنتجات المشتركة، بحيث يكون ∇ ∘ i _k = 1 _A لـ k = 1، 2 .

لكل عنصر A ، نحدد ما يلي:

• إضافة الحقن i ₁ + i ₂ لتكون التشكل القطري، أي ∆ = i ₁ + i ₂ ؛
• إضافة الإسقاطات p ₁ + p ₂ لتكون التشكل القطري المشترك، أي ∇ = p ₁ + p ₂ .

بعد ذلك، بالنظر إلى اثنين من التشكلات α _k : A → B ، يوجد تشكل وحيد α ₁ ⊕ α ₂ : A ⊕ A → B ⊕ B بحيث يكون p _l ∘ (α ₁ ⊕ α ₂ ) ∘ i _k يساوي α _k إذا كان k = l ، و 0 خلاف ذلك.

يمكننا بالتالي تعريف α ₁ + α ₂  := ∇ ∘ (α ₁ ⊕ α ₂ ) ∘ ∆ .

هذه الإضافة تبادلية وتجميعية في آن واحد. ويمكن ملاحظة التجميعية من خلال النظر في التركيب.

${\displaystyle A\ {\xrightarrow {\quad \Delta \quad }}\ A\oplus A\oplus A\ {\xrightarrow {\alpha _{1}\,\oplus \,\alpha _{2}\,\oplus \,\alpha _{3}}}\ B\oplus B\oplus B\ {\xrightarrow {\quad \nabla \quad }}\ B}$

لدينا α + 0 = α ، باستخدام أن α ⊕ 0 = i ₁ ∘ α ∘ p ₁ .

كما أنها ثنائية الخط، على سبيل المثال ∆ ∘ β = (β ⊕ β) ∘ ∆ و (α ₁ ⊕ α ₂ ) ∘ (β ₁ ⊕ β ₂ ) = (α ₁ ∘ β ₁ ) ⊕ (α ₂ ∘ β ₂ ) .

نلاحظ أنه بالنسبة للضرب الثنائي A ⊕ B، لدينا i ₁ ∘ p ₁ + i ₂ ∘ p ₂ = 1. باستخدام هذا، يمكننا تمثيل أي تشاكل A ⊕ B → C ⊕ D كمصفوفة.

بالنظر إلى الكائنات A1 _، ...، _An و B1 ، _... ، _Bm في فئة _جمعية ، يمكننا تمثيل التشكلات f : A1 ⊕ _⋅⋅⋅ ⊕ An → B1 ⊕ _⋅⋅⋅ ⊕ Bm كمصفوفات m × _n

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}&\cdots &f_{1n}\\f_{21}&f_{22}&\cdots &f_{2n}\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\f_{m1}&f_{m2}&\cdots &f_{mn}\end{pmatrix}}}$أين${\displaystyle f_{kl}:=p_{k}\circ f\circ i_{l}\colon A_{l}\to B_{k}.}$

باستخدام ذلك ∑ _k i _k ∘ p _k = 1 ، يترتب على ذلك أن جمع وتركيب المصفوفات يتبع القواعد المعتادة لجمع وضرب المصفوفات .

وبالتالي يمكن اعتبار الفئات الجمعية السياق الأكثر عمومية الذي يكون فيه جبر المصفوفات منطقياً.

تذكر أن التشاكلات من كائن واحد A إلى نفسه تشكل حلقة التشاكلات الداخلية End A. إذا رمزنا للضرب من الرتبة n للكائن A مع نفسه بـ A ⁿ ، فإن التشاكلات من A ⁿ إلى A ^m هي مصفوفات من الرتبة m × n ذات عناصر من الحلقة End A.  

على النقيض من ذلك، لأي حلقة R ، يمكننا تكوين فئة Mat ( R ) بأخذ الكائنات A_{_n} المفهرسة بمجموعة الأعداد الطبيعية (بما في ذلك 0 )، وجعل مجموعة التشكلات من A _{_n} إلى A _{_m} هي مجموعة المصفوفات من الرتبة m × n على R ، حيث يتم التركيب بضرب المصفوفات. ^{[ 2 ]} عندئذٍ، تكون Mat ( R ) فئة جمعية، و A _{_n} تساوي القوة n- المضاعفة ( A _₁ ) ^_n .  

ينبغي مقارنة هذا التركيب بالنتيجة التي مفادها أن الحلقة هي فئة ما قبل الجمع تحتوي على عنصر واحد فقط، كما هو موضح هنا .

إذا فسرنا الكائن A _n على أنه الوحدة النمطية اليسرى R ⁿ ، فإن فئة المصفوفة هذه تصبح فئة فرعية من فئة الوحدات النمطية اليسرى على R.  

قد يكون هذا الأمر مُربكًا في الحالة الخاصة التي يكون فيها m أو n يساوي صفرًا، لأننا عادةً لا نفكر في المصفوفات التي تحتوي على صفر من الصفوف أو الأعمدة . مع ذلك، فإن هذا المفهوم منطقي: فهذه المصفوفات لا تحتوي على أي عناصر، وبالتالي يتحدد حجمها بالكامل. ورغم أن هذه المصفوفات تُعتبر مُنحلة نوعًا ما، إلا أنه لا بد من تضمينها للحصول على فئة جمعية، لأن الفئة الجمعية يجب أن تحتوي على عنصر يساوي صفرًا.

قد يكون التفكير في هذه المصفوفات مفيدًا من ناحية واحدة: فهي تُبرز حقيقة أنه لأي كائنين A و B في فئة جمعية، يوجد تشاكل واحد فقط من A إلى 0 (تمامًا كما توجد مصفوفة واحدة فقط من 0×1 عناصرها في النهاية A ) وتشاكل واحد فقط من 0 إلى B (تمامًا كما توجد مصفوفة واحدة فقط من 1×0 عناصرها في النهاية B )  - وهذا هو بالضبط ما يعنيه القول بأن 0 كائن صفري . علاوة على ذلك، فإن التشاكل الصفري من A إلى B هو تركيب هذين التشاكلين، كما يمكن حسابه بضرب المصفوفات المنحلة.

يكون المؤثر F : C → D بين الفئات ما قبل الجمعية مضافًا إذا كان تشاكلًا بين المجموعات الأبيلية على كل مجموعة تماثل في C. إذا كانت الفئات جمعية، فإن المؤثر يكون مضافًا إذا وفقط إذا حافظ على جميع مخططات الضرب الثنائي .

أي، إذا كان B هو ناتج ثنائي لـ A ₁ ، ... ، A _n في C مع مورفولوجيا الإسقاط p _k ومورفولوجيا الحقن i _j ، فإن F ( B ) يجب أن يكون ناتجًا ثنائيًا لـ F ( A ₁ )، ... ، F ( A _n ) في D مع مورفولوجيا الإسقاط F ( p _j ) ومورفولوجيا الحقن F ( i _j ) .    

جميع الدوال تقريبًا التي دُرست بين الفئات الجمعية هي دوال جمعية. في الواقع، تنص إحدى النظريات على أن جميع الدوال المرافقة بين الفئات الجمعية يجب أن تكون دوالًا جمعية (انظر هنا ). معظم الدوال المهمة التي دُرست في نظرية الفئات هي دوال مرافقة.

• الفئة ما قبل الأبيلية هي فئة جمعية يكون لكل تشاكل فيها نواة ونواة مشتركة .
• الفئة الأبيلية هي فئة ما قبل أبيلية بحيث يكون كل شكل أحادي وشكل فوقي طبيعيًا .

العديد من الفئات الجمعية الشائعة الدراسة هي في الواقع فئات تبديلية؛ على سبيل المثال، Ab هي فئة تبديلية. تُقدّم الزمر التبديلية الحرة مثالاً على فئة جمعية ولكنها ليست تبديلية. ^{[ 3 ]}

• نيكولاي بوبيسكو ؛ 1973؛ الفئات الأبيلية مع تطبيقات على الحلقات والوحدات ؛ دار النشر الأكاديمية (نفدت الطبعة) يتناول كل هذا ببطء شديد