الازدواجية المتماسكة

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 39 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، الازدواجية المتماسكة هي أي من عدد من تعميمات ازدواجية سير ، التي تنطبق على الحزم المتماسكة ، في الهندسة الجبرية ونظرية التشعبات المعقدة ، بالإضافة إلى بعض جوانب الجبر التبادلي التي تشكل جزءًا من النظرية "المحلية".

تكمن الجذور التاريخية لهذه النظرية في فكرة النظام الخطي المرافق لنظام خطي من القواسم في الهندسة الجبرية الكلاسيكية. وقد أُعيد التعبير عن هذه الفكرة، مع ظهور نظرية الحزم ، بطريقة جعلت التشابه مع ثنائية بوانكاريه أكثر وضوحًا. ثم، وفقًا لمبدأ عام، وهو وجهة نظر غروتينديك النسبية ، تم توسيع نظرية جان بيير سير لتشمل تشاكلًا حقيقيًا ؛ حيث تم استعادة ثنائية سير كحالة تشاكل لمتنوعة إسقاطية غير شاذة (أو متنوعة كاملة ) إلى نقطة. تُسمى النظرية الناتجة أحيانًا ثنائية سير-غروتينديك-فيردييه ، وهي أداة أساسية في الهندسة الجبرية. وقد أصبح كتاب "البواقي والثنائية " (1966) لروبن هارتشورن مرجعًا أساسيًا في هذا المجال. ومن بين النتائج الملموسة لهذه النظرية، بقايا غروتينديك .

لتجاوز التشكلات المناسبة، كما هو الحال في صيغ ثنائية بوانكاريه التي لا تنطبق على المشعبات المغلقة ، يتطلب الأمر صيغة ما من مفهوم الدعم المدمج . وقد تم تناول هذا الأمر في SGA2 من حيث علم التماثل المحلي ، وثنائية غروتينديك المحلية ؛ وما تلا ذلك. وتُعد ثنائية غرينليس-ماي ، التي صاغها رالف ستريبل لأول مرة عام 1976 وإيبن ماتليس عام 1978 ، جزءًا من البحث المستمر في هذا المجال.

وجهة نظر الدالة المرافقة

بينما تستخدم ثنائية سير حزمة خطية أو حزمة قابلة للعكس كحزمة ثنائية ، فإن النظرية العامة (كما اتضح) لا يمكن أن تكون بهذه البساطة. (بشكل أدق، يمكن أن تكون كذلك، ولكن على حساب فرض شرط حلقة غورنشتاين ). وفي تحول مميز، أعاد غروتينديك صياغة الثنائية المتماسكة العامة على أنها وجود دالة مرافقة يمنىو!{\displaystyle f^{!}}، والتي تسمى دالة الصورة العكسية الملتوية أو الاستثنائية ، إلى صورة مباشرة أعلى ذات دالة دعم مضغوطةRو!{\displaystyle Rf_{!}}.

الصور المباشرة العليا هي شكل مُحزم من علم التماثل الحزمي في هذه الحالة مع دعم مناسب (مضغوط)؛ يتم تجميعها في دالة واحدة عن طريق صياغة الفئة المشتقة للجبر التماثلي (التي تم تقديمها مع وضع هذه الحالة في الاعتبار). إذاو{\displaystyle f}إذا كان ذلك مناسباً، فإذن Rو!=Rو*{\displaystyle Rf_{!}=Rf_{\ast }}هو المرافق الأيمن لدالة الصورة العكسيةو*{\displaystyle f^{\ast }}تُعرف نظرية الوجود للصورة العكسية الملتوية باسم إثبات وجود ما سيكون الوحدة المرافقة للموناد المشترك للاقتران المطلوب، أي التحويل الطبيعي.

Rو!و!→أناد{\displaystyle Rf_{!}f^{!}\rightarrow id}،

والذي يُرمز إليه بـتيرو{\displaystyle Tr_{f}}(هارتشورن) أو∫و{\displaystyle \int _{f}}(فيردييه). إنه الجانب الأقرب إلى المعنى الكلاسيكي في النظرية، كما تشير الرموز، وهو أن الازدواجية تُعرَّف بالتكامل.

وبعبارة أدق،و!{\displaystyle f^{!}}يوجد كدالة دقيقة من فئة مشتقة من الحزم شبه المتماسكة علىY{\displaystyle Y}، إلى الفئة المماثلة فيX{\displaystyle X}، حينما

و:X→Y{\displaystyle f:X\rightarrow Y}

هو تشاكل صحيح أو شبه إسقاطي للمخططات النويثرية ، ذو بُعد كرول محدود . [ 1 ] ومن هذا يمكن اشتقاق بقية النظرية: المجمعات الثنائية تتراجع عبرو!{\displaystyle f^{!}}، رمز البقايا لغروتينديك ، الحزمة المزدوجة في حالة كوهين-ماكولي .

من أجل الحصول على بيان بلغة أكثر كلاسيكية، ولكن لا يزال أوسع من ثنائية سير، يستخدم هارتشورن ( الهندسة الجبرية ) الدالة الخارجية للحزم ؛ وهذا بمثابة حجر أساس للفئة المشتقة.

البيان الكلاسيكي لثنائية غروتينديك للتشاكل الإسقاطي أو التشاكل الصحيحو:X→Y{\displaystyle f:X\rightarrow Y}من المخططات النويثرية ذات البعد المحدود، الموجودة في هارتشورن ( البواقي والازدواجية ) هو التشاكل شبه التالي

Rو*RحoمX(F∙،و!جي∙)→RحoمY(Rو*F∙،جي∙){\displaystyle Rf_{\ast }RHom_{X}(F^{\bullet },f^{!}G^{\bullet })\to RHom_{Y}(Rf_{\ast }F^{\bullet },G^{\bullet })}

لF∙{\displaystyle F^{\bullet }}مجموعة محدودة من الأعلىياX{\displaystyle O_{X}}وحدات نمطية ذات تماثل شبه متماسك وجي∙{\displaystyle G^{\bullet }}مجموعة محدودة من الأسفلياY{\displaystyle O_{Y}}وحدات نمطية ذات تماثل متماسك. هناحoم{\displaystyle Hom}'s هي حزم من التشاكلات.

بناء الدالة الزائفة f ! باستخدام مركبات الازدواجية الصلبة

على مر السنين، ظهرت عدة مناهج لبناءو!{\displaystyle f^{!}}ظهرت الدالة الزائفة. أحد المناهج الناجحة الحديثة نسبيًا يعتمد على مفهوم المركب الثنائي الصلب. وقد عرّف فان دن بيرغ هذا المفهوم لأول مرة في سياق غير تبادلي. [ 2 ] يعتمد البناء على صيغة معدلة من علم التماثل المشتق لهوشيلد (علم التماثل لشوكلا): ليكنك{\displaystyle k}لتكن حلقة تبديلية، ولتكن أ{\displaystyle A}كن تبادليًاك-{\displaystyle k-}الجبر. يوجد دالةRحoمأ⊗كلأ(أ،م⊗كلم){\displaystyle RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)}والذي يتطلب مركبًا متسلسلًام{\displaystyle M}إلى كائنRحoمأ⊗كلأ(أ،م⊗كلم){\displaystyle RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)}في الفئة المشتقة علىأ{\displaystyle A}[ 3 ] [ 4 ]​

بافتراضأ{\displaystyle A}هو نوثيري، وهو مركب ثنائي جامد فوقأ{\displaystyle A}بالنسبة إلىك{\displaystyle k}هو بحكم التعريف زوج(R،ρ){\displaystyle (R,\rho )}أينR{\displaystyle R}هو مُركّب ثنائي علىأ{\displaystyle A}والتي لها بُعد مسطح محدود علىك{\displaystyle k}وحيث ρ:R→Rحoمأ⊗كلأ(أ،R⊗كلR){\displaystyle \rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)}هو تماثل في الفئة المشتقةد(أ){\displaystyle D(A)}إذا وُجد مثل هذا المركب الثنائي الجامد، فإنه فريد من نوعه بمعنى قوي. [ 5 ]

بافتراضأ{\displaystyle A}هو موضع من نوع محدودك{\displaystyle k}الجبر، وجود مُركب ثنائي صلب علىأ{\displaystyle A}بالنسبة إلىك{\displaystyle k}وقد أثبت ذلك لأول مرة كل من ييكوتيلي وتشانغ [ 5 ] بافتراضك{\displaystyle k}هي حلقة نوثرية منتظمة ذات بُعد كرول محدود، وذلك وفقًا لأفراموف وإينجار وليبمان [ 6 ] بافتراضك{\displaystyle k}هي حلقة غورنشتاين ذات بُعد كرول محدود وأ{\displaystyle A}له بُعد مسطح محدود علىك{\displaystyle k}.

لوX{\displaystyle X}هو مخطط من النوع المحدود علىك{\displaystyle k}يمكن للمرء أن يلصق المركبات الثنائية الصلبة التي تمتلكها أجزاؤها الأفينية، [ 7 ] ويحصل على مركب ثنائي صلبRX{\displaystyle R_{X}}بمجرد إثبات وجود عالمي لمركب ثنائي جامد، بالنظر إلى خريطةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}من المخططات التي تتجاوزك{\displaystyle k}يمكن للمرء أن يُعرّفو!:=دX∘لو*∘دY{\displaystyle f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}}، حيث بالنسبة للمخططX{\displaystyle X}، نحن نحدددX:=RحoمياX(-،RX){\displaystyle D_{X}:=RHom_{{\mathcal {O}}_{X}}(-,R_{X})}.

أمثلة ثنائية معقدة

مُركّب ثنائي لنوع إسقاطي

المركب الثنائي لنوع إسقاطيX⊂Pن{\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}يُعطى بواسطة المركب

ωX∙=RحoمPن(ياX،ωPن[+ن]){\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{n}}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{n}}[+n])}

[ 8 ]

مستوى يتقاطع مع خط

ضع في اعتبارك التنوع الإسقاطي

X=مشروع(ج[x،y،z،w](x)(y،z))=مشروع(ج[x،y،z،w](xy،xz)){\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x)(y,z)}}\right)={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,xz)}}\right)}

يمكننا الحسابRحoمP3(ياX،ωP3[+3]){\displaystyle \mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{3}}[+3])}باستخدام دقةل∙→ياX{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\bullet }\to {\mathcal {O}}_{X}}بواسطة الحزم الحرة محليًا. وهذا ما يُعطى بواسطة المركب

0→يا(-3)→[z-y]يا(-2)⊕يا(-2)→[xyxz]يا→ياX→0{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-3){\xrightarrow {\begin{bmatrix}z\\-y\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy&xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}

منذωP3≅يا(-4){\displaystyle \omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)}لدينا ذلك

ωX∙=RحoمP3(ل∙،يا(-4)[+3])=RحoمP3(ل∙⊗يا(4)[-3]،يا){\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet },{\mathcal {O}}(-4)[+3])=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet }\otimes {\mathcal {O}}(4)[-3],{\mathcal {O}})}

هذا هو المجمع

[يا(-4)→[xyxz]يا(-2)⊕يا(-2)→[z-y]يا(-1)][-3]{\displaystyle [{\mathcal {O}}(-4){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy\\xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmatrix}z&-y\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-1)][-3]}

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ فيردييه 1969 ، تم التوصل إلى نهج أنيق وأكثر عمومية بواسطة أمنون نيمان، باستخدام أساليب من الطوبولوجيا الجبرية، ولا سيما تمثيل براون ، انظر نيمان 1996  
  2. ↑ فان دن بيرغ، ميشيل (سبتمبر 1997). "نظريات الوجود للمجمعات الثنائية على الحلقات المتدرجة والمرشحة غير التبادلية" . مجلة الجبر . 195 (2): 662-679 . doi : 10.1006/jabr.1997.7052 .
  3. ↑ يكوتيلي، أمنون (2016). "عملية التربيع لحلقات DG التبادلية" . مجلة الجبر . 449 : 50-107 . arXiv : 1412.4229 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2015.09.038 .
  4. ↑ أفراموف، لوتشيزار ل.؛ إيينجار، سريكانث ب.؛ ليبمان، جوزيف؛ ناياك، سوريش (يناير 2010). "اختزال دوال هوتشيلد المشتقة على الجبر التبادلي والمخططات" . التقدم في الرياضيات . 223 (2): 735-772 . arXiv : 0904.4004 . doi : 10.1016/j.aim.2009.09.002 . S2CID 15218584 . 
  5. 1 2 يكوتيلي، أمنون؛ تشانغ، جيمس ج. (31 مايو 2008). "المجمعات الثنائية الصلبة فوق الحلقات التبادلية". الجبر ونظرية التمثيل . 12 (1): 19-52 . arXiv : math/0601654 . doi : 10.1007/s10468-008-9102-9 . S2CID 13597155 . 
  6. ↑ أفراموف، لوتشيزار؛ إيينجار، سريكانث؛ ليبمان، جوزيف (14 يناير 2010). "الانعكاسية والصلابة في المركبات، الجزء الأول: الحلقات التبادلية". الجبر ونظرية الأعداد . 4 (1): 47-86 . arXiv : 0904.4695 . doi : 10.2140/ant.2010.4.47 . S2CID 18255441 . 
  7. ↑ أفراموف، لوتشيزار؛ إيينجار، سريكانث؛ ليبمان، جوزيف (10 سبتمبر 2011). "الانعكاسية والصلابة في المركبات، الجزء الثاني: المخططات". الجبر ونظرية الأعداد . 5 (3): 379-429 . arXiv : 1001.3450 . doi : 10.2140/ant.2011.5.379 . S2CID 21639634 . 
  8. ↑ كوفاكس، ساندور. "خصائص الأصناف المستقرة" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 22-08-2017.

مراجع