فئة الطراز

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية التماثل ، تُعرَّف فئة النموذج بأنها فئة ذات فئات مميزة من التشكلات ("الأسهم") تُسمى " التكافؤات الضعيفة " و" التليفات " و" التليفات المشتركة "، والتي تُحقق بديهيات معينة تربط بينها. وتُجرَّد هذه الفئات من فئة الفضاءات الطوبولوجية أو فئة المركبات السلسلية ( نظرية الفئات المشتقة ). وقد طُرِح هذا المفهوم من قِبَل دانيال ج. كويلين ( 1967 ) . 

في العقود الأخيرة، تم استخدام لغة فئات النموذج في بعض أجزاء نظرية K الجبرية والهندسة الجبرية ، حيث أدت مناهج نظرية التماثل إلى نتائج عميقة.

يمكن أن توفر فئات النماذج بيئة طبيعية لنظرية التماثل : ففئة الفضاءات الطوبولوجية هي فئة نموذجية، حيث يتوافق التماثل مع النظرية المعتادة. وبالمثل، فإن الكائنات التي تُعتبر فضاءات غالبًا ما تقبل بنية فئة نموذجية، مثل فئة المجموعات التبسيطية .

فئة نموذجية أخرى هي فئة سلاسل المركبات من وحدات R لحلقة تبديلية R. في هذا السياق، تُعرف نظرية التماثل باسم الجبر التماثلي . ويمكن اعتبار التماثل نوعًا من التماثل، مما يسمح بتعميم التماثل على كائنات أخرى، مثل الزمر وجبر R ، وهو أحد التطبيقات الرئيسية الأولى لهذه النظرية. وبسبب المثال السابق المتعلق بالتماثل، يُنظر أحيانًا إلى دراسة الفئات النموذجية المغلقة على أنها جبر تماثلي .

كان التعريف الذي قدمه كويلين في البداية تعريفًا لفئة نموذجية مغلقة، بدت افتراضاتها قوية في ذلك الوقت، مما دفع آخرين إلى تخفيف بعض هذه الافتراضات لتحديد فئة نموذجية. عمليًا، لم يثبت هذا التمييز أهميته، ويعمل معظم المؤلفين المعاصرين (مثل مارك هوفي وفيليب هيرشهورن) مع فئات نموذجية مغلقة، ويكتفون بإسقاط صفة "مغلقة".

تم فصل التعريف إلى تعريف لبنية نموذجية على فئة معينة، ثم إلى شروط تصنيفية إضافية على تلك الفئة، والتي قد تبدو ضرورتها غير مبررة في البداية، لكنها تصبح مهمة لاحقًا. ويتبع التعريف التالي التعريف الذي قدمه هوفي.

يتكون نموذج البنية على فئة C من ثلاث فئات متميزة من التشكلات (أو الفئات الفرعية المكافئة): التكافؤات الضعيفة ، والتليف ، والتليف المشترك ، واثنين من التحليلات الوظيفية.${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$و${\displaystyle (\gamma ,\delta )}$ مع مراعاة البديهيات التالية. يُطلق على التليف الذي هو أيضًا تكافؤ ضعيف اسم التليف غير الدوري (أو التافه ) ^{[ 1 ]} ويُطلق على التليف المشترك الذي هو أيضًا تكافؤ ضعيف اسم التليف المشترك غير الدوري (أو التافه ) (أو يُطلق عليه أحيانًا اسم التشكل المسكن ).

البديهيات

1. التراجعات : إذا كان g تشاكلًا ينتمي إلى إحدى الفئات المميزة، وكان f تراجعًا لـ g (ككائنات في فئة السهم) .${\displaystyle C^{2}}$حيث 2 هي المجموعة المرتبة المكونة من عنصرين)، فإن f تنتمي إلى نفس الفئة المميزة. وبعبارة أخرى، فإن شرط كون f دالة منكمشة لـ g يعني وجود i و j و r و s بحيث يكون المخطط التالي تبادليًا:

   

2. 2 من 3 : إذا كانت f و g عبارة عن تطبيقات في C بحيث تكون gf معرفة وأي اثنين من هذه التطبيقات عبارة عن تكافؤات ضعيفة، فإن الثالث كذلك.
3. الرفع : تتمتع التليفات المشتركة غير الدورية بخاصية الرفع الأيسر بالنسبة للتليفات، وتتمتع التليفات المشتركة بخاصية الرفع الأيسر بالنسبة للتليفات غير الدورية. وبالتحديد، إذا كان المربع الخارجي للمخطط التالي تبادليًا، حيث i تليف مشترك و p تليف، و i أو p غير دوري، فإنه يوجد h يُكمل المخطط.

   

4. التحليل إلى عوامل :
   • يمكن كتابة كل تشاكل f في C على النحو التالي${\displaystyle p\circ i}$بالنسبة للتليف p والتليف المشترك غير الدوري i ؛
   • يمكن كتابة كل تشاكل f في C على النحو التالي${\displaystyle p\circ i}$بالنسبة للتليف غير الدوري p والتليف المشترك i .

الفئة النموذجية هي فئة لها بنية نموذجية وجميع الحدود (الصغيرة) والحدود المشتركة ، أي فئة كاملة ومشتركة ذات بنية نموذجية.

لكل فئة نموذجية مغلقة كائن نهائي بحسب الاكتمال وكائن ابتدائي بحسب الاكتمال المشترك، لأن هذين الكائنين يمثلان نهاية ونهاية مشتركة، على التوالي، للمخطط الفارغ. إذا كان لدينا كائن X في الفئة النموذجية، وكان التطبيق الوحيد من الكائن الابتدائي إلى X عبارة عن تليف مشترك، يُقال إن X متليف مشترك . وبالمثل، إذا كان التطبيق الوحيد من X إلى الكائن النهائي عبارة عن تليف، يُقال إن X متليف .

إذا كان Z و X عنصرين من فئة نموذجية بحيث يكون Z متماثلًا جزئيًا (cofibrant) ويوجد تكافؤ ضعيف من Z إلى X ، يُقال إن Z بديل متماثل جزئيًا لـ X. وبالمثل، إذا كان Z متماثلًا جزئيًا (fibrant) ويوجد تكافؤ ضعيف من X إلى Z، يُقال إن Z بديل متماثل جزئيًا لـ X. عمومًا، ليست كل العناصر متماثلة جزئيًا أو متماثلة جزئيًا، مع أن هذا قد يحدث أحيانًا. على سبيل المثال، جميع العناصر متماثلة جزئيًا في الفئة النموذجية القياسية للمجموعات التبسيطية، وجميع العناصر متماثلة جزئيًا في بنية الفئة النموذجية القياسية المذكورة أعلاه للفضاءات الطوبولوجية.

يُعرَّف التماثل الأيسر بالنسبة للكائنات الأسطوانية ، بينما يُعرَّف التماثل الأيمن بالنسبة لكائنات فضاء المسار . تتطابق هذه المفاهيم عندما يكون المجال متماسكًا والمجال المقابل متماسكًا. في هذه الحالة، يُعرِّف التماثل علاقة تكافؤ على مجموعات التماثل في فئة النموذج، مما يُؤدي إلى ظهور فئات التماثل.

يمكن وصف التليفات المشتركة بأنها الخرائط التي تتمتع بخاصية الرفع الأيسر بالنسبة للتليفات غير الدورية، كما يمكن وصف التليفات المشتركة غير الدورية بأنها الخرائط التي تتمتع بخاصية الرفع الأيسر بالنسبة للتليفات. وبالمثل، يمكن وصف التليفات بأنها الخرائط التي تتمتع بخاصية الرفع الأيمن بالنسبة للتليفات المشتركة غير الدورية، كما يمكن وصف التليفات غير الدورية بأنها الخرائط التي تتمتع بخاصية الرفع الأيمن بالنسبة للتليفات المشتركة.

فئة التماثل لفئة نموذجية C هي توطين C بالنسبة لفئة التكافؤات الضعيفة. لا يعتمد هذا التعريف لفئة التماثل على اختيار التليفات والتليفات المشتركة. مع ذلك، تُعدّ فئات التليفات والتليفات المشتركة مفيدة في وصف فئة التماثل بطريقة مختلفة، ولا سيما في تجنّب المشكلات المتعلقة بنظرية المجموعات التي تنشأ في التوطينات العامة للفئات. بتعبير أدق، تنص "النظرية الأساسية للفئات النموذجية" على أن فئة التماثل لـ C مكافئة للفئة التي تكون عناصرها هي عناصر C التي تكون ليفية ومتليفة مشتركة، وتكون تشاكلاتها فئات تماثل يسارية للخرائط (أو فئات تماثل يمينية للخرائط) كما هو مُعرّف أعلاه. (انظر على سبيل المثال كتاب "الفئات النموذجية" لهوفي، النظرية 1.2.10).

بتطبيق هذا على فئة الفضاءات الطوبولوجية ذات بنية النموذج المذكورة أعلاه، فإن فئة التماثل الناتجة تعادل فئة مجمعات CW وفئات التماثل للخرائط المستمرة، ومن هنا جاء الاسم.

• (∞,1)-الفئة
• فئة إعادة التدوير
• فئة النموذج الثابت

• دينيس تشارلز سيسينسكي : النماذج الأولية لأنواع المثليات ، Astérisque، (308) 2006، xxiv+392 pp.
• دوير، ويليام ج .؛ سبالينسكي، يان (1995)، "نظريات التماثل وفئات النماذج" (ملف PDF) ، دليل الطوبولوجيا الجبرية ، أمستردام: نورث هولاند، ص 73-126 ، doi : 10.1016/B978-044481779-2/50003-1 ، ISBN  9780444817792MR 1361887​ 
• فيليب إس. هيرشهورن: فئات النماذج ومواقعها ، 2003، رقم ISBN 0-8218-3279-4.
• مارك هوفي: فئات النماذج ، 1999، رقم ISBN 0-8218-1359-5.
• كلاوس هاينر كامبس وتيموثي بورتر: نظرية التماثل المجرد ونظرية التماثل البسيط ، 1997، دار النشر العالمية، رقم ISBN 981-02-1602-5.
• جورج مالتسينيوتيس: نظرية المثلية لجروتينديك . النجمي، (301) 2005، السادس+140 ص.

• ريهل، إميلي (2014)، نظرية التماثل الفئوي ، مطبعة جامعة كامبريدج، doi : 10.1017/CBO9781107261457 ، ISBN 978-1-107-04845-4MR 3221774​ 

• كويلين، دانيال ج. (1967)، الجبر المتماثل ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، العدد 43، المجلد  43، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/BFb0097438 ، ISBN 978-3-540-03914-3، MR 0223432 

• بالتشين، سكوت (2021)، دليل فئات النماذج ، الجبر والتطبيقات، المجلد  27، سبرينغر، doi : 10.1007/978-3-030-75035-0 ، ISBN 978-3-030-75034-3، MR 4385504 ، S2CID 240268465  

• "هل ما زلنا بحاجة إلى فئات نموذجية؟"
• "(اللانهاية، 1) - الفئات مباشرة من فئات النموذج"
• بول جويرس وكريستين شيمرهورن، فئات النماذج والأساليب المبسطة

• فئة النموذج في مختبر n
• فئة النموذج في مختبر كتالوج جويال