مكدس جبري

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 99 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، تُعدّ الرزمة الجبرية تعميمًا واسعًا للفضاءات الجبرية ، أو المخططات ، التي تُشكّل أساسًا لدراسة نظرية المعاملات . ويتم بناء العديد من فضاءات المعاملات باستخدام تقنيات خاصة بالرزم الجبرية، مثل نظرية تمثيلية آرتين ، التي تُستخدم لبناء فضاء المعاملات للمنحنيات الجبرية المدببة.مز،ن{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}وحزمة المعاملات للمنحنيات الإهليلجية . في الأصل، قدمها ألكسندر غروتينديك [ 1 ] لتتبع التشاكلات الذاتية على فضاءات المعاملات، وهي تقنية تسمح بمعاملة هذه الفضاءات كما لو كانت مخططاتها الأساسية أو فضاءاتها الجبرية ملساء . بعد أن طور غروتينديك النظرية العامة للنزول [ 2 ] ، وجيرو النظرية العامة للحزم [ 3 ] ، عرّف مايكل أرتين مفهوم الحزم الجبرية [ 4 ] .

تعريف

تحفيز

أحد الأمثلة المحفزة للحزمة الجبرية هو النظر في مخطط الزمرة الجزئية(R،يو،s،ت،م){\displaystyle (R,U,s,t,m)}ضمن خطة ثابتةS{\displaystyle S}على سبيل المثال، إذاR=μن×SأSن{\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(أينμن{\displaystyle \mu _{n}}(هو مخطط مجموعة جذور الوحدة )يو=أSن{\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}}،s=العلاقات العامةيو{\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}هي خريطة الإسقاط،ت{\displaystyle t}هو العمل الجماعي

ζن⋅(x1،...،xن)=(ζنx1،...،ζنxن){\displaystyle \zeta _{n}\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\zeta _{n}x_{1},\ldots ,\zeta _{n}x_{n})}

وم{\displaystyle m}هي خريطة الضرب

م:(μن×SأSن)×μن×SأSن(μن×SأSن)→μن×SأSن{\displaystyle m:(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}

علىμن{\displaystyle \mu _{n}}ثم، بالنظر إلىS{\displaystyle S}-مخططπ:X→S{\displaystyle \pi :X\to S}مخطط الزمرة الجزئية(R(X)،يو(X)،s،ت،م){\displaystyle (R(X),U(X),s,t,m)}يشكل زمرة جزئية (حيثR،يو{\displaystyle R,U}(وهي الدوال المرتبطة بها). علاوة على ذلك، فإن هذا البناء دالي على(Sجح/S){\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}تشكيل دالة ثنائية متغايرة

(R(-)،يو(-)،s،ت،م):(Sجح/S)oص→قطة{\displaystyle (R(-),U(-),s,t,m):(\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op} }\to {\text{Cat}}}

أينقطة{\displaystyle {\text{قطة}}}هي الفئة الثانية من الفئات الصغيرة . ويمكن النظر إليها أيضاً على أنها فئة متفرعة.[يو/R]→(Sجح/S){\displaystyle [U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)}من خلال بناء غروتينديك . الحصول على الشروط التقنية الصحيحة، مثل طوبولوجيا غروتينديك على(Sجح/S){\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}، يُعطي تعريفًا للحزمة الجبرية. على سبيل المثال، في المجموعة الجزئية المرتبطة بـك{\displaystyle k}- نقاط لحقلك{\displaystyle k}، فوق الكائن الأصلي0∈أSن(ك){\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{S}^{n}(k)}هناك زمرة من التشاكلات الذاتيةμن(ك){\displaystyle \mu _{n}(k)}ومع ذلك، من أجل الحصول على مكدس جبري من[يو/R]{\displaystyle [U/R]}وليس مجرد مجموعة من الحزم، بل هناك فرضيات تقنية إضافية مطلوبة لـ[يو/R]{\displaystyle [U/R]}[ 5 ]​

الحزم الجبرية

اتضح أن استخدام طوبولوجيا fppf [ 6 ] (مسطحة بدقة وذات عرض محدود محليًا ) على(Sجح/S){\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}، المشار إليه(Sجح/S)وصصو{\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}يشكل هذا الأساس لتعريف الرزم الجبرية. ومن ثم، فإن الرزمة الجبرية [ 7 ] هي فئة ليفية

ص:X→(Sجح/S)وصصو{\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}

بحيث

  1. X{\displaystyle {\mathcal {X}}}هي فئة مترابطة في مجموعات جزئية ، مما يعني الفئة العليا لبعضπ:X→S{\displaystyle \pi :X\to S}هو مجموعة جزئية
  2. الخريطة القطريةΔ:X→X×SX{\displaystyle \Delta يمكن تمثيل :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}\times _{S}{\mathcal {X}}} للفئات الليفية كفضاءات جبرية
  3. يوجدوصصو{\displaystyle fppf}مخططيو→S{\displaystyle U\to S}وتشكل أحادي مرتبط بالفئات الليفيةيو→X{\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}وهو شامل وسلس ويسمى أطلسًا .

شرح الشروط الفنية

باستخدام بنية fppf

أولاً وقبل كل شيء، تُستخدم طوبولوجيا fppf لأنها تتصرف بشكل جيد فيما يتعلق بالانحدار . على سبيل المثال، إذا كانت هناك مخططاتX،Y∈ب⁡(Sجح/S){\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} (\mathrm {Sch} /S)}وX→Y{\displaystyle X\to Y}يمكن تحسينها لتصبح غطاءً من نوع fppfY{\displaystyle Y}، لوX{\displaystyle X}إذا كان مسطحًا، أو من النوع المحدود محليًا، أو من العرض المحدود محليًا،Y{\displaystyle Y}يمتلك هذه الخاصية. [ 8 ] يمكن توسيع هذا النوع من الأفكار بشكل أكبر من خلال النظر في الخصائص المحلية إما على الهدف أو المصدر للتشاكلو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}للحصول على غلاف{Xأنا→X}أنا∈أنا{\displaystyle \{X_{i}\to X\}_{i\in I}}نقول عقارP{\displaystyle {\mathcal {P}}}يكون محليًا على المصدر إذا

و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}لديهP{\displaystyle {\mathcal {P}}}إذا وفقط إذا كان كلXأنا→Y{\displaystyle X_{i}\to Y}لديهP{\displaystyle {\mathcal {P}}}.

يوجد مفهوم مماثل على الهدف يُسمى "محلي على الهدف" . وهذا يعني في ظل غطاء{Yأنا→Y}أنا∈أنا{\displaystyle \{Y_{i}\to Y\}_{i\in I}}

و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}لديهP{\displaystyle {\mathcal {P}}}إذا وفقط إذا كان كلX×YYأنا→Yأنا{\displaystyle X\times _{Y}Y_{i}\to Y_{i}}لديهP{\displaystyle {\mathcal {P}}}.

بالنسبة لبنية fppf، يكون الانغماس محليًا على الهدف. [ 9 ] بالإضافة إلى الخصائص السابقة المحلية على المصدر لبنية fppf،و{\displaystyle f}إن كون النظام مفتوحًا عالميًا هو أيضًا خاصية محلية على المصدر. [ 10 ] كذلك، فإن كون النظام نوثيريًا محليًا وجاكوبسونيًا هو خاصية محلية على المصدر والهدف في طوبولوجيا fppf. [ 11 ] لا ينطبق هذا على طوبولوجيا fpqc، مما يجعلها أقل "مثالية" من حيث الخصائص التقنية. مع ذلك، فإن استخدام الحزم الجبرية على طوبولوجيا fpqc لا يزال له فائدة، كما هو الحال في نظرية التماثل اللوني . ويعود ذلك إلى حزمة Moduli لقوانين الزمر الرسمية.موز{\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}هو مكدس جبري fpqc [ 12 ] صفحة 40 .

قطر قابل للتمثيل

بحسب التعريف، فإن التشكل الأحاديو:X→Y{\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}يمكن تمثيل الفئات المُليفة في الزمر الجزئية بواسطة الفضاءات الجبرية [ 13 ] إذا كان لأي تشاكل fppfيو→S{\displaystyle U\to S}من المخططات وأي شكل أحاديy:(Sجح/يو)وصصو→Y{\displaystyle y:(Sch/U)_{fppf}\to {\mathcal {Y}}}، الفئة المرتبطة بها مغلفة في مجموعات جزئية

(Sجح/يو)وصصو×YX{\displaystyle (Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}}

يمكن تمثيلها كفضاء جبري ، [ 14 ] [ 15 ] مما يعني وجود فضاء جبري

F:(Sجح/S)وصصوoص→Sهـتs{\displaystyle F:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets}

بحيث تكون الفئة المرتبطة بالأليافSF→(Sجح/S)وصصو{\displaystyle {\mathcal {S}}_{F}\to (Sch/S)_{fppf}}[ 16 ] يعادل(Sجح/يو)وصصو×YX{\displaystyle (Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}}توجد عدة شروط مكافئة لتمثيل القطر [ 17 ] تساعد على فهم هذا الشرط التقني، ولكن أحد الدوافع الرئيسية هو التالي: بالنسبة لمخططيو{\displaystyle U}والأشياءx،y∈ب⁡(Xيو){\displaystyle x,y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {X}}_{U})}الحزمةإيسوم⁡(x،y){\displaystyle \operatorname {Isom} (x,y)}يمكن تمثيلها كفضاء جبري. على وجه الخصوص، مجموعة المثبتات لأي نقطة على المكدسx:المواصفات⁡(ك)→Xالمواصفات⁡(ك){\displaystyle x:\operatorname {Spec} (k)\to {\mathcal {X}}_{\operatorname {Spec} (k)}}يمكن تمثيلها كفضاء جبري. ومن أوجه التكافؤ المهمة الأخرى لوجود قطر قابل للتمثيل الشرط التقني المتمثل في أن تقاطع أي فضاءين جبريين في مكدس جبري هو فضاء جبري. تمت إعادة صياغتها باستخدام منتجات الألياف

Y×XZ→Y↓↓Z→X{\displaystyle {\begin{matrix}Y\times _{\mathcal {X}}Z&\to &Y\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\to &{\mathcal {X}}\end{matrix}}}

إن قابلية تمثيل القطر تعادلY→X{\displaystyle Y\to {\mathcal {X}}}كونها قابلة للتمثيل في فضاء جبريY{\displaystyle Y}وذلك لأن التشكلات المعطاةY→X،Z→X{\displaystyle Y\to {\mathcal {X}},Z\to {\mathcal {X}}}من الفضاءات الجبرية، تمتد إلى الخرائطX×X{\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}}من الخريطة القطرية. توجد عبارة مماثلة للفضاءات الجبرية تُعطي إمكانية تمثيل حزمة على(F/S)وصصو{\displaystyle (F/S)_{fppf}}كمساحة جبرية. [ 18 ]

تجدر الإشارة إلى أن شرطًا مماثلًا لتمثيل القطر ينطبق على بعض صيغ الحزم العليا [ 19 ] حيث يكون ناتج الألياف(ن-1){\displaystyle (n-1)}-stack لـن{\displaystyle n}-كومةX{\displaystyle {\mathcal {X}}}.

أطلس جراحي وسلس

2- يونيدا ليما

وجودوصصو{\displaystyle fppf}مخططيو→S{\displaystyle U\to S}و 1-مورفيزم من الفئات الليفيةيو→X{\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}يعتمد تعريف التشكلات الشاملة والملساء على تعريف التشكلات الملساء والشاملة للفئات الليفية. هنايو{\displaystyle {\mathcal {U}}}هي المكدس الجبري من الدالة القابلة للتمثيلحيو{\displaystyle h_{U}}علىحيو:(Sجح/S)وصصوoص→Sهـتs{\displaystyle h_{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets}تمت ترقيتها إلى فئة مُغلفة في زمر جزئية حيث لا تحتوي الفئات إلا على تشاكلات تافهة. هذا يعني المجموعة

حيو(تي)=هوم(Sجح/S)وصصو(تي،يو){\displaystyle h_{U}(T)={\text{Hom}}_{(Sch/S)_{fppf}}(T,U)}

يُعتبر فئة، ويُشار إليه بـحيو(تي){\displaystyle h_{\mathcal {U}}(T)}، مع وجود كائنات فيحيو(تي){\displaystyle h_{U}(T)}مثلوصصو{\displaystyle fppf}التشكلات

و:تي→يو{\displaystyle f:T\to U}

والتشاكلات هي تشاكل الهوية. ومن ثم

حيو:(Sجح/S)وصصوoص→جيرouصoأنادs{\displaystyle h_{\mathcal {U}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Groupoids}

هو دالة ثنائية للمجموعات الجزئية. إثبات أن هذه الدالة الثنائية عبارة عن حزمة هو محتوى مبرهنة يونيدا الثنائية . باستخدام بناء غروتينديك، توجد فئة مرتبطة مُليفة في المجموعات الجزئية يُرمز لها بـيو→X{\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}.

التشكلات التمثيلية للفئات المتشابكة في مجموعات جزئية

لقول هذا التشاكليو→X{\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}إذا كانت الدالة سلسة أو شاملة، فيجب علينا تعريف التشكلات القابلة للتمثيل. [ 20 ] التشكلص:X→Y{\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}من الفئات المتشابكة في مجموعات فرعية على(Sجح/S)وصصو{\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}يقال إنه قابل للتمثيل إذا تم إعطاؤه كائنًاتي→S{\displaystyle T\to S}في(Sجح/S)وصصو{\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}وشيءت∈ب(Yتي){\displaystyle t\in {\text{Ob}}({\mathcal {Y}}_{T})}المنتج ذو الألياف المزدوجة

(Sجح/تي)وصصو×ت،YXتي{\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}}

يمكن تمثيلها بواسطة مخطط. عندئذٍ، يمكننا القول إن تشاكل الفئات المتشابكة في الزمر الجزئيةص{\displaystyle p}يكون أملسًا وشاملًا إذا كان التشاكل المرتبط به

(Sجح/تي)وصصو×ت،YXتي→(Sجح/تي)وصصو{\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}\to (Sch/T)_{fppf}}

إن المخططات سلسة وشاملة.

مجموعات ديليجن-مومفورد

تُجهز الحزم الجبرية، والمعروفة أيضًا باسم حزم آرتين ، بحكم تعريفها، بأطلس شامل أملس.يو→X{\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}، أينيو{\displaystyle {\mathcal {U}}}هل المكدس مرتبط بمخطط ما؟يو→S{\displaystyle U\to S}إذا كان الأطلسيو→X{\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}علاوة على ذلك، فإن إيتالX{\displaystyle {\mathcal {X}}}يُقال إنها حزمة ديلين-مامفورد . تُعدّ فئة حزم ديلين-مامفورد الفرعية مفيدة لأنها توفر الإطار الصحيح للعديد من الحزم الطبيعية المدروسة، مثل حزمة معاملات المنحنيات الجبرية . إضافةً إلى ذلك، فهي صارمة بما يكفي بحيث لا تمتلك الكائنات المُمثلة بنقاط في حزم ديلين-مامفورد تماثلات ذاتية متناهية الصغر . وهذا أمر بالغ الأهمية لأن التماثلات الذاتية المتناهية الصغر تجعل دراسة نظرية التشوه لحزم آرتين صعبة للغاية. على سبيل المثال، نظرية التشوه لحزمة آرتينبجيلن=[*/جيلن]{\displaystyle BGL_{n}=[*/GL_{n}]}، مجموعة المعاملات ذات الرتبةن{\displaystyle n}تتميز حزم المتجهات بتشاكلات ذاتية متناهية الصغر يتم التحكم فيها جزئيًا بواسطة جبر ليزلن{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}يؤدي هذا إلى سلسلة لا نهائية من التشوهات والعوائق بشكل عام، وهو أحد دوافع دراسة معاملات الحزم المستقرة . فقط في الحالة الخاصة لنظرية تشوه الحزم الخطية.[*/جيل1]=[*/جيم]{\displaystyle [*/GL_{1}]=[*/\mathbb {G} _{m}]}هل نظرية التشوه قابلة للمعالجة، لأن جبر لي المرتبط بها هو جبر تبديلي ؟

لاحظ أن العديد من الحزم لا يمكن تمثيلها بشكل طبيعي كحزم ديلين-مامفورد لأنها لا تسمح إلا بالأغطية المحدودة، أو الحزم الجبرية ذات الأغطية المحدودة. لاحظ أيضًا أنه نظرًا لأن كل غطاء إيتالي مسطح وله عرض محدود محليًا، فإن الحزم الجبرية المعرفة باستخدام طوبولوجيا fppf تشمل هذه النظرية؛ ومع ذلك، فهي لا تزال مفيدة لأن العديد من الحزم الموجودة في الطبيعة تكون من هذا الشكل، مثل معاملات المنحنيات.مز{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}كما يُطلق على النظير الهندسي التفاضلي لهذه الحزم اسم الفضاءات المدارية . ويستلزم شرط إيتال وجود دالة ثنائية الأبعاد.

بμن:(Sجح/S)op→قطة{\displaystyle B\mu _{n}:(\mathrm {Sch} /S)^{\text{op}}\to {\text{Cat}}}

إرسال مخطط إلى مجموعته الفرعية منμن{\displaystyle \mu _{n}}- يمكن تمثيل الـ torsors كحزمة فوق طوبولوجيا إيتال، ولكن حزمة بيكاردبجيم{\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}لجيم{\displaystyle \mathbb {G} _{m}}لا يمكن تمثيل الحزم الخطية (أو ما يُعادلها). يمكن تمثيل الحزم من هذا النوع كحزم فوق طوبولوجيا fppf. سبب آخر للنظر في طوبولوجيا fppf بدلاً من طوبولوجيا etale هو خاصية التجاوز.ص{\displaystyle p}سلسلة كومر

0→μص→جيم→جيم→0{\displaystyle 0\to \mu _{p}\to \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}\to 0}

تكون دقيقة فقط كسلسلة من حزم fppf، ولكن ليس كسلسلة من حزم etale.

تعريف الحزم الجبرية فوق طوبولوجيات أخرى

استخدام طوبولوجيات غروتينديك الأخرى على(F/S){\displaystyle (F/S)}يقدم نظريات بديلة للأكوام الجبرية، إما أنها غير عامة بما فيه الكفاية، أو أنها لا تتصرف بشكل جيد فيما يتعلق بتبادل الخصائص من قاعدة الغطاء إلى الفضاء الكلي للغطاء. ومن المفيد التذكير بوجود التسلسل الهرمي التالي للتعميم.

fpqc⊃fppf⊃سلس⊃إيتال⊃زاريسكي{\displaystyle {\text{fpqc}}\supset {\text{fppf}}\supset {\text{smooth}}\supset {\text{etale}}\supset {\text{Zariski}}}

من التكوينات الكبيرة على(F/S){\displaystyle (F/S)}.

حزمة هيكلية

حزمة البنية الخاصة بالمكدس الجبري هي كائن يتم سحبه للخلف من حزمة بنية شاملةيا{\displaystyle {\mathcal {O}}}على الموقع(Sجح/S)وصصو{\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}[ 21 ] تُعرَّف حزمة البنية الشاملة هذه [ 22 ] على النحو التالي :

يا:(Sجح/S)وصصوoص→Rأنانزs، أين يو/X↦Γ(يو،يايو){\displaystyle {\mathcal {O}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Rings,{\text{ where }}U/X\mapsto \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})}

والحزمة البنيوية المرتبطة بها على فئة مُليفة في مجموعات جزئية

ص:X→(Sجح/S)وصصو{\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (Sch/S)_{fppf}}

يُعرَّف بأنه

ياX:=ص-1يا{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}:=p^{-1}{\mathcal {O}}}

أينص-1{\displaystyle p^{-1}}يستمد هذا من خريطة طوبولوجيات غروتينديك. على وجه الخصوص، هذا يعني إذاx∈ب(X){\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})}تقع فوقيو{\displaystyle U}، لذاص(x)=يو{\displaystyle p(x)=U}، ثمياX(x)=Γ(يو،يايو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(x)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})}للتأكد من صحة هذا، يجدر مقارنة هذا بفئة مُتَمَوْضَة في مجموعات فرعية قادمة منS{\displaystyle S}-مخططX{\displaystyle X}بالنسبة لمختلف أنواع الطوبولوجيا. [ 23 ] على سبيل المثال، إذا

(XZأر،ياX)=((Sجح/X)Zأر،ياX){\displaystyle ({\mathcal {X}}_{Zar},{\mathcal {O}}_{\mathcal {X}})=((Sch/X)_{Zar},{\mathcal {O}}_{X})}

هي فئة مُتليفة في مجموعات جزئية فوق(Sجح/S)وصصو{\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}، حزمة البنية لمخطط فرعي مفتوحيو→X{\displaystyle U\to X}أعطِ

ياX(يو)=ياX(يو)=Γ(يو،ياX){\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)={\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}

لذا، يستعيد هذا التعريف بنية الحزمة الكلاسيكية على مخطط. علاوة على ذلك، بالنسبة لمكدس القسمةX=[X/جي]{\displaystyle {\mathcal {X}}=[X/G]}، هذا الهيكل الحزمي يعطي فقطجي{\displaystyle G}المقاطع الثابتة

ياX(يو)=Γ(يو،u*ياX)جي{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)=\Gamma (U,u^{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}}

لu:يو→X{\displaystyle u:U\to X}في(Sجح/S)وصصو{\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}[ 24 ] [ 25 ]​

أمثلة

مجموعات التصنيف

العديد من مجموعات التصنيف للمجموعات الجبرية هي مجموعات جبرية. في الواقع، بالنسبة لفضاء المجموعة الجبريةجي{\displaystyle G}بشأن مخططS{\displaystyle S}وهو مسطح ذو عرض محدود، المكدسبجي{\displaystyle BG}هي جبرية [ 4 ] نظرية 6.1 .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أكامبو، نوربرت ؛ جي، ليزين ؛ بابادوبولوس، أثاناس (2016-03-07). "حول بناء غروتينديك لفضاء تايخمولر". arXiv : 1603.02229 [ math.GT ].
  2. ^ جروتينديك ، الكسندر. رينود ميشيل (2004/01/04). "Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1). كشف السادس: فئات الألياف والنسب". أرخايف : math.AG/0206203 .
  3. ^ جيرود ، جان (1971). "II. ليه الأبطال". Cohomologie غير أبيلين . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 179. ص 64 – 105. دوى : 10.1007 / 978-3-662-62103-5 . رقم ISBN   978-3-540-05307-1.
  4. 1 2 آرتين، م. (1974). "التشوهات المستعرضة والأكوام الجبرية" . Inventiones Mathematicae . 27 (3): 165–189 . Bibcode : 1974InMat..27..165A . doi : 10.1007/bf01390174 . ISSN 0020-9910 . S2CID 122887093 .  
  5. ↑ "القسم 92.16 (04T3): من مكدس جبري إلى عرض تقديمي - مشروع المكدسات" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أغسطس 2020 .
  6. ↑ "القسم 34.7 (021L): طوبولوجيا fppf - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2020 .
  7. ↑ "القسم 92.12 (026N): المكدسات الجبرية - مشروع المكدسات" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2020 .
  8. ↑ "الفرضية 35.11.8 (06NB) - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2020 .
  9. ↑ "القسم 35.21 (02YL): خصائص التشكلات المحلية في طوبولوجيا fppf على الهدف - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أغسطس 2020 .
  10. ↑ "القسم 35.25 (036M): خصائص التشكلات المحلية في طوبولوجيا fppf على المصدر - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أغسطس 2020 .
  11. ↑ "القسم 35.13 (034ب): خصائص المخططات المحلية في طوبولوجيا fppf - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أغسطس 2020 .
  12. ↑ جورس، بول. "الحزم شبه المتماسكة على مكدس المعاملات للمجموعات الرسمية" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 29 أغسطس 2020.
  13. ↑ "القسم 92.9 (04SX): التشكلات القابلة للتمثيل بواسطة الفضاءات الجبرية - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أغسطس 2020 .
  14. ↑ "القسم 92.7 (04SU): الفئات المنقسمة المُغلفة في الزمر الجزئية - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2020 .
  15. ↑ "القسم 92.8 (02ZV): الفئات المُلبّدة في زمر جزئية قابلة للتمثيل بواسطة فضاءات جبرية - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أغسطس 2020 .
  16. ↑Sهـتs→جأت{\displaystyle Sets\to Cat}هل يقوم التضمين بإرسال مجموعة؟S{\displaystyle S}إلى فئة الأشياءS{\displaystyle S}والتشاكلات المطابقة فقط. بعد ذلك، يمكن تطبيق بناء غروتينديك لإعطاء فئة مُليفة في زمر جزئية.
  17. ↑ "الفرضية 92.10.11 (045G) - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2020 .
  18. ↑ "القسم 78.5 (046I): بناء القطر - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2020 .
  19. ↑ سيمبسون، كارلوس (1996-09-17). "المجموعات الجبرية (الهندسية) من الرتبة n ". arXiv : alg-geom/9609014 .
  20. ↑ "القسم 92.6 (04ST): التشكلات التمثيلية للفئات الليفية في الزمر الجزئية - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 أكتوبر 2020 .
  21. ↑ "القسم 94.3 (06TI): الحزم المسبقة - مشروع الأكوام" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 أكتوبر 2020 .
  22. ↑ "القسم 94.6 (06TU): حزمة البنية - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 أكتوبر 2020 .
  23. ↑ "القسم 94.8 (076N): الفئات القابلة للتمثيل - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 أكتوبر 2020 .
  24. ↑ "الفرضية 94.13.2 (076S) - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 أكتوبر 2020 .
  25. ↑ "القسم 76.12 (0440): الحزم شبه المتماسكة على الزمر الجزئية - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 أكتوبر 2020 .

بديهيات أرتين

أوراق

التطبيقات

آخر