معاملات المنحنيات الجبرية

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 83 صور
الموسوعة الحرة
الفضاء المعياري الكلاسيكي للمنحنيات الإهليلجية هو خارج قسمة النصف العلوي من المستوى على المجموعة المعيارية . يتم تظليل نطاق أساسي لهذا التأثير؛ والفضاء المعياري هو ذلك النطاق، بعد تحديد الحواف وتكثيفها بشكل مناسب.

في الهندسة الجبرية ، يُعرف فضاء المعاملات للمنحنيات بأنه فضاء تتوافق نقاطه مع فئات التشاكل للمنحنيات الجبرية . وقد صاغ برنارد ريمان مصطلح "المعامل" لهذا الغرض ، ويعني "المعلمة". وبالتالي، فإن "فضاء المعاملات" هو فضاء يُعطي معلمات تُحدد جميع المنحنيات من نوع معين. باستخدام فضاء المعاملات، بدلاً من دراسة منحنى واحد في كل مرة، تُدرس جميع المنحنيات من نوع معين كعناصر تنتمي إلى عائلة هندسية واحدة. يُعد فضاء المعاملات للمنحنيات (من نوع معين) حالة خاصة من المفهوم الأكثر عمومية لفضاء المعاملات ، والذي يُعطي فضاء معلمات لأنواع أخرى من الكائنات (المنحنيات، والأسطح، وما إلى ذلك).

تؤدي الخيارات المختلفة للشروط إلى فضاءات معاملات مختلفة. على سبيل المثال، يمكن تحديد الجنس ، أو السماح فقط بالمنحنيات الملساء أو بعض المنحنيات الشاذة، أو تضمين النقاط المميزة. اعتمادًا على المسألة، يمكن بناء كائن المعاملات كمخطط ، أو فضاء جبري ، أو بشكل طبيعي أكثر كمكدس جبري . في كثير من الحالات، يوجد كل من فضاء المعاملات العام ، الذي يسجل فئات التشاكل للمنحنيات، ومكدس أدق يتتبع أيضًا تشاكلاتها الذاتية.

ومن الأمثلة التي دُرست جيدًا معاملات المنحنيات الإسقاطية الملساء من النوعز{\displaystyle g}في حقل الأعداد المركبة ، تتوافق هذه مع أسطح ريمان المدمجة . كلاسيكيًا، فضاء المعاملات (الخشن) من النوعز=1{\displaystyle g=1}المنحنيات التي تحتوي على نقطة مميزة ( مجموعات المنحنيات الإهليلجية ) هي المنحنى النمطي (الكلاسيكي) .ز>1{\displaystyle g>1}، ويُرمز إلى مجموعة معاملات المنحنيات الملساء بـمز{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}ويُشار إلى تكثيفها بواسطة منحنيات عقدية مستقرة بـم¯ز{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}تلعب هذه المساحات والمجموعات دورًا محوريًا في الهندسة الجبرية، ونظرية تايخمولر ، ونظرية الأشكال النمطية .

مجموعات من المنحنيات المستقرة

مجموعة المعاملاتمز{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}يصنف هذا البحث عائلات المنحنيات الإسقاطية الملساء، بالإضافة إلى تماثلاتها. عندماز>1{\displaystyle g>1}يمكن ضغط هذه المجموعة بإضافة نقاط "حدودية" جديدة تُقابل منحنيات عقدية مستقرة (مع تماثلاتها). يكون المنحنى مستقرًا إذا كان كاملًا، ومتصلًا، ولا يحتوي على نقاط شاذة سوى النقاط المزدوجة، وله مجموعة محدودة فقط من التماثلات الذاتية. يُرمز للمجموعة الناتجة بـم¯ز{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}. كلا مجموعتي المعاملات تحملان عائلات عالمية من المنحنيات.

كلا المجموعتين أعلاه لهما أبعاد3ز-3{\displaystyle 3g-3}وبالتالي، يمكن تحديد منحنى عقدي مستقر بشكل كامل عن طريق اختيار قيم3ز-3{\displaystyle 3g-3}المعلمات، عندماز>1{\displaystyle g>1}في الأجناس الأدنى، يجب مراعاة وجود عائلات سلسة من التشاكلات الذاتية، وذلك بطرح عددها. توجد فئة تكافؤ واحدة فقط للمنحنيات المركبة من الجنس صفر، وهي كرة ريمان، ومجموعة تشاكلاتها الذاتية هي PGL(2). ومن ثم فإن بُعدم0{\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}يساوي

خافت⁡(فضاء منحنيات الجنس 0)-خافت⁡(مجموعة من التشاكلات الذاتية)=0-خافت⁡(Pجيل(2))=-3.{\displaystyle {\begin{aligned}\dim({\text{فضاء منحنيات الجنس 0}})-\dim({\text{مجموعة التشاكلات الذاتية}})&=0-\dim(\mathrm {PGL} (2))\\&=-3.\end{aligned}}}

وبالمثل، في الجنس 1، يوجد فضاء أحادي البعد من المنحنيات، ولكن لكل منحنى من هذا النوع مجموعة أحادية البعد من التشاكلات الذاتية. ومن ثم، فإن المكدسم1{\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}له بُعد 0.

البناء وعدم الاختزال

إنها نظرية غير بديهية، أثبتها بيير ديلين وديفيد مومفورد ، [ 1 ] أن حزمة المعاملاتمز{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}غير قابل للاختزال، أي لا يمكن التعبير عنه كاتحاد مجموعتين فرعيتين مناسبتين. وقد أثبتوا ذلك من خلال تحليل الموضعحز{\displaystyle H_{g}}منحنيات مستقرة في مخطط هيلبرتحأنالبP5ز-5-1Pز(ن){\displaystyle \mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{5g-5-1}}^{P_{g}(n)}}من المنحنيات المضمنة ثلاثية القواعد (من تضمين واسع جدًاωج⊗3{\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}لكل منحنى) التي لها متعددة حدود هيلبرتPز(ن)=(6ن-1)(ز-1){\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}ثم، المكدس[حز/Pجيل(5ز-6)]{\displaystyle [H_{g}/\mathrm {PGL} (5g-6)]}هو بناء فضاء المعاملاتمز{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}باستخدام نظرية التشوه ، أظهر ديلين ومومفورد أن هذه المجموعة ناعمة واستخدما مجموعة التشاكلات بين المنحنيات المستقرة.أناsoمS(ج،ج′){\displaystyle \mathrm {Isom} _{S}(C,C')}، لإظهار ذلكمز{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}يحتوي على مثبتات محدودة، وبالتالي فهو عبارة عن مكدس ديلين-مامفورد . علاوة على ذلك، وجدوا تدرجًا منحز{\displaystyle H_{g}}مثل

حزo∐حز،1∐⋯∐حز،ن{\displaystyle H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}}،

أينحزo{\displaystyle H_{g}^{o}}هو مخطط فرعي للمنحنيات المستقرة الملساء وحز،أنا{\displaystyle H_{g,i}}هو عنصر لا يمكن اختزاله منS*=حز∖حزo{\displaystyle S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}}يقومون بتحليل مكوناتمز0=حز0/Pجيل(5ز-6){\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)}(كمُعامل GIT ). إذا كانت هناك مكونات متعددة منحزo{\displaystyle H_{g}^{o}}لن يكون أي منها كاملاً. كذلك، أي مكون منحز{\displaystyle H_{g}}يجب أن تحتوي على منحنيات غير شاذة. وبالتالي، فإن الموضع الشاذS*{\displaystyle S^{*}}متصل، وبالتالي فهو موجود في مكون واحد منحز{\displaystyle H_{g}}علاوة على ذلك، لأن كل مكون يتقاطعS*{\displaystyle S^{*}}يجب أن تحتوي جميع المكونات على مكون واحد، ومن هنا تأتي المساحة الخشنةحز{\displaystyle H_{g}}غير قابل للاختزال. من النظرية العامة للأكوام الجبرية، هذا يستلزم حاصل قسمة الكومةمز{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}لا يمكن اختزاله.

الصواب

تُستنتج خاصية التماسك ، أو التراص ، للمساحات المدارية من نظرية حول الاختزال المستقر على المنحنيات. [ 1 ] ويمكن إثبات ذلك باستخدام نظرية غروتينديك المتعلقة بالاختزال المستقر للأصناف الأبيلية ، وإظهار تكافؤها مع الاختزال المستقر للمنحنيات. [ 1 ] القسم 5.2

فضاءات المعاملات الخشنة

يمكن أيضًا النظر في فضاءات المعاملات الخشنة التي تمثل فئات التشاكل للمنحنيات الملساء أو المستقرة. وقد دُرست هذه الفضاءات قبل ظهور مفهوم رزمة المعاملات. في الواقع، طُرحت فكرة رزمة المعاملات من قِبل ديلين ومومفورد في محاولة لإثبات إسقاطية فضاءات المعاملات الخشنة. وفي السنوات الأخيرة، بات من الواضح أن رزمة المنحنيات هي في الواقع المفهوم الأكثر جوهرية.

تتمتع فضاءات المعاملات الخشنة بنفس أبعاد الحزم عندماز>1{\displaystyle g>1}ومع ذلك، في الجنس صفر يكون لفضاء المعاملات الخشنة بُعد صفر، وفي الجنس واحد يكون له بُعد واحد.

أمثلة على فضاءات ذات معاملات جنس منخفضة

الجنس 0

تحديد هندسة فضاء المعاملات للجنس0{\displaystyle 0}يمكن تحديد المنحنيات باستخدام نظرية التشوه . عدد المعاملات لجنس معين0{\displaystyle 0}منحنى، على سبيل المثالP1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}، يتم تحديده بواسطة مجموعة التماثل

ح1(ج،تيج){\displaystyle H^{1}(C,T_{C})}

مع ازدواجية سير، تكون مجموعة التماثل هذه متماثلة مع

ح1(ج،تيج)≅ح0(ج،ωج⊗تيج∨)≅ح0(ج،ωج⊗2){\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}}

لحزمة الازدواجωج{\displaystyle \omega _{C}}لكن، باستخدام نظرية ريمان-روخ، يتضح أن درجة الحزمة القانونية هي-2{\displaystyle -2}لذا فإن درجةωج⊗2{\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 2}}يكون-4{\displaystyle -4}وبالتالي، لا توجد أقسام عالمية، مما يعني

ح0(ج،ωج⊗2)=0{\displaystyle H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}

مما يدل على عدم وجود تشوهات في الجنس0{\displaystyle 0}المنحنيات. وهذا يثبتم0{\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}إنها مجرد نقطة واحدة، والجنس الوحيد0{\displaystyle 0}تُعطى المنحنيات بواسطةP1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}الصعوبة التقنية الوحيدة هي مجموعة التشاكل الذاتي لـP1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}هي المجموعة الجبريةPGL(2،ج){\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}، والتي تتصلب بمجرد ثلاث نقاط [ 2 ] علىP1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}ثابتة، لذلك يأخذ معظم المؤلفينم0{\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}بمعنىم0،3{\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,3}}.

الجنس 1

تُعد حالة الجنس 1 واحدة من أولى الحالات المفهومة جيدًا لفضاءات المعاملات، على الأقل على الأعداد المركبة، لأن فئات التشاكل للمنحنيات الإهليلجية تُصنف بواسطة الثابت J

ج:م1،1|ج→أج1{\displaystyle j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}

أينم1،1|ج=م1،1×المواصفات(Z)المواصفات(ج){\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}من الناحية الطوبولوجية،م1،1|ج{\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }}هو مجرد خط أفيني، ولكن يمكن ضغطه إلى مكدس ذي فضاء طوبولوجي أساسيPج1{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}بإضافة منحنى مستقر عند اللانهاية. هذا منحنى إهليلجي ذو قمة واحدة. بناء الحالة العامة علىالمواصفات(Z){\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}تم إنجازه في الأصل بواسطة ديلين ورابوبورت . [ 3 ]

تجدر الإشارة إلى أن معظم المؤلفين يعتبرون حالة المنحنيات من النوع الأول ذات النقطة المميزة الواحدة هي أصل المجموعة، لأنه بخلاف ذلك، فإن مجموعة المثبتات في فضاء المعاملات الافتراضيم1{\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}سيكون هناك مجموعة مثبتة عند النقطة[ج]∈م1{\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{1}}يُعطى بواسطة المنحنى، لأن المنحنيات الإهليلجية لها بنية زمرة أبيلية. وهذا يُضيف تعقيدًا تقنيًا غير ضروري إلى فضاء المعاملات الافتراضي هذا. من ناحية أخرى،م1،1{\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}هو عبارة عن مجموعة سلسة من نوع ديليجن-مامفورد .

الجنس 2

فضاء المعاملات الأفيني

في الجنس 2، من النتائج الكلاسيكية أن جميع هذه المنحنيات هي منحنيات زائدية إهليلجية ، [ 4 ] صفحة 298 ، لذا يمكن تحديد فضاء المعاملات بالكامل من موضع تفرع المنحنى باستخدام صيغة ريمان-هرويتز . وبما أن أي منحنى من الجنس 2 يُعطى بواسطة متعددة حدود من الشكل

y2-x(x-1)(x-أ)(x-ب)(x-ج){\displaystyle y^{2}-x(x-1)(xa)(xb)(xc)}

لبعض المحدد بشكل فريدأ،ب،ج∈أ1{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {A} ^{1}}، يتم تحديد فضاء المعلمات لمثل هذه المنحنيات بواسطة

أ3∖(Δأ،ب∪Δأ،ج∪Δب،ج)،{\displaystyle \mathbb {A} ^{3}\setminus (\Delta _{a,b}\cup \Delta _{a,c}\cup \Delta _{b,c}),}

أينΔأنا،ج{\displaystyle \Delta _{i,j}}يتوافق مع الموضعأنا≠ج{\displaystyle i\neq j}[ 5 ]​

الفضاء الإسقاطي الموزون

باستخدام فضاء إسقاطي مرجح وصيغة ريمان-هورويتز ، يمكن وصف منحنى القطع الناقص بأنه متعدد الحدود من الشكل [ 6 ].

z2=أx6+بx5y+جx4y2+دx3y3+هـx2y4+وxy5+زy6،{\displaystyle z^{2}=ax^{6}+bx^{5}y+cx^{4}y^{2}+dx^{3}y^{3}+ex^{2}y^{4}+fxy^{5}+gy^{6},}

أينأ،...،و{\displaystyle a,\ldots ,f}هي معايير لأقسام منΓ(P(3،1)،يا(ز)){\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} (3,1),{\mathcal {O}}(g))}ثم، فإن موضع المقاطع التي لا تحتوي على جذر ثلاثي يحتوي على كل منحنىج{\displaystyle C}ممثلة بنقطة[ج]∈م2{\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{2}}.

الجنس 3

هذا هو أول فضاء معياري للمنحنيات يحتوي على كل من الموضع الزائدي الإهليلجي والموضع غير الزائدي الإهليلجي. [ 7 ] [ 8 ] تُعطى جميع المنحنيات غير الزائدة الإهليلجية بواسطة منحنيات مستوية من الدرجة 4 (باستخدام صيغة درجة الجنس )، والتي يتم تحديدها بواسطة الموضع الأملس في مخطط هيلبرت للأسطح الفائقة.

هيلبP28ت-4≅P(64)-1{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}}.

ثم يتم تقسيم فضاء المعاملات بواسطة الحزم الفرعية

م3=[ح2/Pجيل(3))]∐م3حyص{\displaystyle {\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }}.

الهندسة الثنائية

فرضية العقلانية الأحادية

في جميع الحالات السابقة، يمكن إيجاد أن فضاءات المعاملات أحادية العقلانية ، مما يعني وجود تشاكل عقلاني مهيمن.

Pن→مز{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to {\mathcal {M}}_{g}}

وكان من المتوقع منذ فترة طويلة أن ينطبق هذا على جميع الأجناس. في الواقع، أثبت سيفيري صحة ذلك بالنسبة للأجناس حتى10{\displaystyle 10}[ 9 ] مع ذلك، اتضح أن ذلك بالنسبة للجنسز≥23{\displaystyle g\geq 23}[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] جميع فضاءات المعاملات هذه من النوع العام، أي أنها ليست أحادية النسبة. وقد حققوا ذلك من خلال دراسةبُعد كودايرالفضاءات المعاملات الخشنة.

κز=كoد(م¯ز)،{\displaystyle \kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),}

ووجدκز>0{\displaystyle \kappa _{g}>0}لز≥23{\displaystyle g\geq 23}في الواقع، من أجلز>23{\displaystyle g>23}،

κز=3ز-3=خافت⁡(مز)،{\displaystyle \kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),}

وبالتاليمز{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}هو من النوع العام.

دلالة هندسية

هذا الأمر ذو أهمية هندسية لأنه يعني أن أي نظام خطي على صنف مسطر لا يمكن أن يحتوي على المنحنى العالميجز{\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}}[ 13 ]​

تقسيم الحدود

فضاء المعاملاتم¯ز{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}يوجد تدرج طبيعي على الحدود∂م¯ز{\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}والتي تمثل نقاطها جنسًا واحدًاز{\displaystyle g} curves.[14] It decomposes into strata

∂M¯g=∐0≤h≤(g/2)Δh∗{\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=\coprod _{0\leq h\leq (g/2)}\Delta _{h}^{*}},

where

  • Δh∗≅M¯h×M¯g−h{\displaystyle \Delta _{h}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{h}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g-h}} for 1≤h<g/2{\displaystyle 1\leq h<g/2}.
  • Δ0∗≅M¯g−1,2/(Z/2){\displaystyle \Delta _{0}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{g-1,2}/(\mathbb {Z} /2)} where the action permutes the two marked points.
  • Δg/2≅(M¯g/2×M¯g/2)/(Z/2){\displaystyle \Delta _{g/2}\cong ({\overline {\mathcal {M}}}_{g/2}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g/2})/(\mathbb {Z} /2)} whenever g{\displaystyle g} is even.

The curves lying above these loci correspond to

  • A pair of curves C,C′{\displaystyle C,C'} connected at a double point.
  • The normalization of a genus g{\displaystyle g} curve at a single double point singularity.
  • A pair of curves of the same genus connected at a double point up to permutation.

Stratification for genus 2

For the genus 2{\displaystyle 2} case, there is a stratification given by

∂M¯2=Δ0∗∐Δ1∗=M¯1,2/(Z/2)∐(M¯1×M¯1)/(Z/2){\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}.

Further analysis of these strata can be used to give the generators of the Chow ringA∗(M¯2){\displaystyle A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})}[14]proposition 9.1.

Moduli of marked curves

One can also enrich the problem by considering the moduli stack of genus g nodal curves with n marked points, pairwise distinct and distinct from the nodes. Such marked curves are said to be stable if the subgroup of curve automorphisms which fix the marked points is finite. The resulting moduli stacks of smooth (or stable) genus g curves with n marked points are denoted Mg,n{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}} (or M¯g,n{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}), and have dimension 3g−3+n{\displaystyle 3g-3+n}.

A case of particular interest is the moduli stack M¯1,1{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}} of genus 1 curves with one marked point. This is the stack of elliptic curves. Level 1 modular forms are sections of line bundles on this stack, and level N modular forms are sections of line bundles on the stack of elliptic curves with level N structure (roughly a marking of the points of order N).

Boundary geometry

An important property of the compactified moduli spaces M¯g,n{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}} is that their boundary can be described in terms of moduli spaces M¯g′,n′{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'}} for genera g′<g{\displaystyle g'<g}. Given a marked, stable, nodal curve one can associate its dual graph, a graph with vertices labelled by nonnegative integers and allowed to have loops, multiple edges and also numbered half-edges. Here the vertices of the graph correspond to irreducible components of the nodal curve, the labelling of a vertex is the arithmetic genus of the corresponding component, edges correspond to nodes of the curve and the half-edges correspond to the markings. The closure of the locus of curves with a given dual graph in M¯g,n{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}} is isomorphic to the stack quotient of a product ∏vM¯gv,nv{\displaystyle \prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}} of compactified moduli spaces of curves by a finite group. In the product the factor corresponding to a vertex v has genus gv taken from the labelling and number of markings nv{\displaystyle n_{v}} equal to the number of outgoing edges and half-edges at v. The total genus g is the sum of the gv plus the number of closed cycles in the graph.

المنحنيات المستقرة التي يحتوي رسمها البياني المزدوج على رأس مُصنَّف بواسطةزv=ز{\displaystyle g_{v}=g}(وبالتالي فإن جميع الرؤوس الأخرى لهازv=0{\displaystyle g_{v}=0}وتُسمى هذه المجموعات (والتي يكون الرسم البياني فيها شجرة) "ذيلًا منطقيًا"، ويُرمز إلى فضاء المعاملات الخاص بها بـمز،نر.ت.{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {r.t.} }}تُسمى المنحنيات المستقرة التي يكون رسمها البياني المزدوج شجرة "من النوع المضغوط" (لأن مصفوفة جاكوبي مضغوطة) ويُرمز إلى فضاء معاملاتها بـمز،نج.{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {c.} }}[ 2 ]​

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 ديلين، بيير ؛ مامفورد، ديفيد (1969). "عدم اختزال فضاء المنحنيات من جنس معين" . منشورات الرياضيات للمعهد العالي للدراسات العليا . 36 : 75-109 . doi : 10.1007/BF02684599 . S2CID 16482150 . 
  2. 1 2 فابر، كاريل؛ بانداريباندي، راهول (2011). "التماثل التكراري وغير التكراري لفضاء معاملات المنحنيات". arXiv : 1101.5489 [ math.AG ].
  3. ^ ديلين، ص. Rapoport، M. (1973)، “Les schémas de Modules de courbes elliptiques”، الوظائف المعيارية لمتغير واحد II ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات، المجلد. 349، سبرينغر برلين هايدلبرغ، الصفحات من 143 إلى 316، دوى : 10.1007 / bfb0066716 ، ISBN   978-3-540-06558-6الرابط: https://publications.ias.edu/node/367
  4. ↑ هارتشورن، روبن (29 يونيو 2013). الهندسة الجبرية . نيويورك. ISBN 978-1-4757-3849-0. OCLC 861706007 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  5. ↑ إيغوسا، جون-إيتشي (1960). "التنوع الحسابي للمعاملات من النوع الثاني". حوليات الرياضيات . 72 (3): 612-649 . doi : 10.2307/1970233 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970233 .  
  6. ↑ لارسون، إريك (17 أبريل 2019). "حلقة تشاو المتكاملة لـم¯2{\displaystyle {\overline {M}}_{2}}". arXiv : 1904.08081 [ math.AG ].
  7. ↑ جيرارد، مارتين؛ كوهيل، ديفيد ر. (2006)، "تصنيف منحنيات الجنس 3 في طبقات خاصة من فضاء المعاملات"، في هيس، فلوريان؛ باولي، سيباستيان؛ بوست، مايكل (محررون)، نظرية الأعداد الخوارزمية ، المجلد 4076، برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ، الصفحات 346-360 ، arXiv : math/0603555 ، Bibcode : 2006math......3555G ، doi : 10.1007/11792086_25 ، ISBN   978-3-540-36075-9، MR 2282935 ، S2CID 15638167  
  8. ↑ بينيف، نيكولا؛ فاكيل، رافي (2015). "حلقة تشاو لفضاء معاملات المنحنيات من النوع السادس" . الهندسة الجبرية . 2 (1): 123-136 . arXiv : 1307.6614 . doi : 10.14231/ag - 2015-006 . ISSN 2214-2584 . MR 3322200. S2CID 54876684 .   
  9. ^ سيفيري، فرانشيسكو، 1879-1961. (1915). هذا هو تصنيف المنحنى الجبرى ونظرية نظرية ريمان . Tipografia della R. Accademia dei Lincei. او سي ال سي 881814709 . {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) صيانة CS1: أسماء رقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
  10. ^ آيزنبود، ديفيد ؛ هاريس، جو (1987). “بعد Kodaira لمساحة المعامل لمنحنيات الجنس؟23”. اختراعات الرياضيات . 90 (2): 359– 387. بيب كود : 1987InMat..90..359E . دوى : 10.1007/bf01388710 . ISSN 0020-9910 . S2CID 120642775 .  
  11. ↑ هاريس، جو ؛ مامفورد، ديفيد (1982)، "حول بُعد كودايرا لفضاء معاملات المنحنيات" (ملف PDF) ، أوراق مختارة ، نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك، ص 171-234 ، doi : 10.1007/978-1-4757-4265-7_8 (غير نشط في 1 يوليو 2025)، ISBN  978-1-4419-1936-6{{citation}}: صيانة CS1: تم تعطيل DOI اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )
  12. ↑Harris, Joe; Mumford, David (1982), "On the Kodaira Dimension of the Moduli Space of Curves", Selected Papers, New York, NY: Springer New York, pp. 171–234, doi:10.1007/978-1-4757-4265-7_8 (inactive 1 July 2025), ISBN 978-1-4419-1936-6{{citation}}: CS1 maint: DOI inactive as of July 2025 (link)
  13. ↑Farkas, Gavril (2009). "The global geometry of the moduli space of curves". Algebraic Geometry. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 80. pp. 125–147. doi:10.1090/pspum/080.1/2483934. ISBN 9780821847022. S2CID 8281102.
  14. 12Arithmetic and geometry: papers dedicated to I.R. Shafarevich on the occasion of his sixtieth birthday(PDF). Shafarevich, Igor Rostislavovich, 1923-2017, Artin, Michael, Tate, John Torrence, 1925-2019. Boston: Birkhäuser. 1983. ISBN 978-1-4757-9286-7. OCLC 681426064.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)

Classic references

Books on moduli of curves

علم التماثل ونظرية التقاطع