أوربيفولد

مثل المتشعب، يتم تحديد المدار المتشعب بواسطة شروط محلية؛ ومع ذلك، بدلاً من أن يتم نمذجته محليًا على مجموعات فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، يتم نمذجة الفضاء المداري محليًا على أساس قسمة المجموعات الفرعية المفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بواسطة تأثيرات المجموعة المنتهية. لا يقتصر هيكل الفضاء المداري على ترميز هيكل فضاء القسمة الأساسي، والذي لا يشترط أن يكون متعدد الشعب، بل يشمل أيضًا ترميز هيكل مجموعات التناظر .

أن${\displaystyle n}$الفضاء المداري ذو الأبعاد هو فضاء طوبولوجي هاوسدورف${\displaystyle X}$، والتي تسمى الفضاء الأساسي ، مع غطاء من مجموعة من المجموعات المفتوحة${\displaystyle U_{i}}$، مغلقة تحت التقاطع المحدود. لكل${\displaystyle U_{i}}$، هنالك

• مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle V_{i}}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، ثابتة تحت تأثير خطي أمين لمجموعة منتهية${\displaystyle \Gamma _{i}}$؛
• خريطة متصلة${\displaystyle \varphi _{i}}$ل${\displaystyle V_{i}}$على${\displaystyle U_{i}}$ثابت تحت${\displaystyle \Gamma _{i}}$، والتي تسمى مخططًا مداريًا ، والذي يحدد تماثلًا بين${\displaystyle V_{i}/\Gamma _{i}}$و${\displaystyle U_{i}}$.

تُسمى مجموعة مخططات الأوربيفولد أطلس الأوربيفولد إذا تحققت الخصائص التالية:

• لكل إدراج${\displaystyle U_{i}\subset U_{j}}$يوجد تماثل زمر أحادي${\displaystyle f_{ij}:\Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}}$.
• لكل إدراج${\displaystyle U_{i}\subset U_{j}}$يوجد${\displaystyle \Gamma _{i}}$- التماثل المتغير${\displaystyle \psi _{ij}}$، والتي تسمى خريطة اللصق ، من${\displaystyle V_{i}}$على مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle V_{j}}$.
• تتوافق خرائط اللصق مع المخططات، أي${\displaystyle \varphi _{j}\circ \psi _{ij}=\varphi _{i}}$.
• تكون خرائط اللصق فريدة حتى تركيبها مع عناصر المجموعة، أي أي خريطة لصق أخرى ممكنة من${\displaystyle V_{i}}$ل${\displaystyle V_{j}}$له الشكل${\displaystyle g\circ \psi _{ij}}$للحصول على شيء فريد${\displaystyle g\in \Gamma _{j}}$.

أما بالنسبة للأطالس على المشعبات ، فهناك أطلسان مداريان من${\displaystyle X}$تكون متكافئة إذا أمكن دمجها باستمرار لتكوين أطلس مداري أكبر. وبالتالي، فإن البنية المدارية هي فئة تكافؤ لأطالس المدارات.

لاحظ أن بنية الفضاء المداري تحدد مجموعة التناظر لأي نقطة في الفضاء المداري حتى التشاكل: ويمكن حسابها كمثبت للنقطة في أي مخطط فضاء مداري. إذا كان U _i${\displaystyle \subset }$يو _جيه${\displaystyle \subset }$إذا كان U _k ، فإنه يوجد عنصر انتقالي فريد g _ijk في Γ _k بحيث

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

تُلبّي عناصر الانتقال هذه المتطلبات

(Ad g _ijk ) · f _ik = f _jk · f _ij

بالإضافة إلى علاقة الدورة المشتركة (التي تضمن الترابطية)

f _km ( g _ijk )· g _ikm = g _ijm · g _jkm .

وبشكل أكثر عمومية، فإن البيانات التوافقية المرتبطة بغطاء مفتوح لمخططات orbifold بواسطة orbifold هي البيانات التوافقية لما يسمى بمجموعة من المجموعات (انظر أدناه).

كما هو الحال في المتشعبات، يمكن فرض شروط التفاضل على خرائط اللصق لإعطاء تعريف لمتشعب مداري قابل للتفاضل . وسيكون متشعبًا مداريًا ريمانيًا إذا كانت هناك، بالإضافة إلى ذلك، مقاييس ريمانية ثابتة على مخططات المتشعب المداري وكانت خرائط اللصق متساوية القياس .

تذكر أن الزمرة الجزئية تتكون من مجموعة من الكائنات${\displaystyle G_{0}}$مجموعة من الأسهم${\displaystyle G_{1}}$والخرائط الهيكلية بما في ذلك خرائط المصدر والهدف${\displaystyle s,t:G_{1}\to G_{0}}$وغيرها من الخرائط التي تسمح بتكوين الأسهم وعكسها. ويُطلق عليها اسم زمرة لي إذا كان كلاهما${\displaystyle G_{0}}$و${\displaystyle G_{1}}$هي مشعبات ملساء، وجميع الخرائط الهيكلية ملساء، وكلتا خريطتي المصدر والهدف عبارة عن غمر. تقاطع ألياف المصدر والهدف عند نقطة معينة${\displaystyle x\in G_{0}}$أي المجموعة${\displaystyle (G_{1})_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)}$، هي مجموعة لي تسمى مجموعة التناظر لـ${\displaystyle G_{1}}$في${\displaystyle x}$يُطلق على الزمرة الكاذبة اسم الزمرة الصحيحة إذا كانت الخريطة${\displaystyle (s,t):G_{1}\to G_{0}\times G_{0}}$هي خريطة مناسبة ، و étale إذا كانت كل من الخريطة المصدر والخريطة الهدف عبارة عن تحويلات تفاضلية محلية .

تُعطى المجموعة المدارية الجزئية بأحد التعريفات المتكافئة التالية:

• مجموعة لي إيتال مناسبة؛
• زمرة لي مناسبة تكون خواصها المتساوية عبارة عن فضاءات منفصلة .

بما أن مجموعات التناظر للمجموعات الجزئية المناسبة تكون مضغوطة تلقائيًا ، فإن شرط التقطع يعني أن التناظرات يجب أن تكون في الواقع مجموعات منتهية . ^{[ 10 ]}

تؤدي الزمر المدارية نفس دور أطالس المدارات في التعريف أعلاه. في الواقع، بنية مدارية على فضاء طوبولوجي هاوسدورف${\displaystyle X}$يُعرَّف بأنه فئة تكافؤ موريتا لمجموعة مدارية جزئية${\displaystyle G\rightrightarrows M}$بالإضافة إلى التماثل الموضعي${\displaystyle |M/G|\simeq X}$، أين${\displaystyle |M/G|}$هو فضاء مدارات زمرة لي${\displaystyle G}$(أي ناتج قسمة${\displaystyle M}$بالعلاقة المكافئة عندما${\displaystyle x\sim y}$إذا كان هناك${\displaystyle g\in G}$مع${\displaystyle s(g)=x}$و${\displaystyle t(g)=y}$). يوضح هذا التعريف أن المدارات هي نوع خاص من المكدسات القابلة للتفاضل .

يمكن تعريف Orbifolds في الإطار العام لعلم التفاضل ^{[ 12 ]} وقد ثبت أنها مكافئة ^{[ 13 ]} لتعريف إيشيرو ساتيك الأصلي: ^{[ 1 ]}

التعريف: الفضاء المداري هو فضاء تفاضلي متماثل محليًا عند كل نقطة إلى فضاء ما${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/G}$، أين${\displaystyle n}$هو عدد صحيح و${\displaystyle G}$هي مجموعة خطية منتهية قد تتغير من نقطة إلى أخرى.

يستدعي هذا التعريف بعض الملاحظات:

• يحاكي هذا التعريف تعريف المتشعب في علم التفاضل، وهو فضاء تفاضلي متماثل محليًا عند كل نقطة إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• يُنظر إلى الفضاء المداري أولاً على أنه فضاء تفاضلي، أي مجموعة مزودة بعلم تفاضلي. ثم، يُختبر هذا العلم التفاضلي للتأكد من أنه متماثل تفاضليًا محليًا عند كل نقطة مع فضاء خارج القسمة.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/G}$مع${\displaystyle G}$مجموعة خطية منتهية.
• هذا التعريف مكافئ ^{[ 14 ]} مع فضاءات هافليجر المدارية. ^{[ 15 ]}
• تُشكّل {Orbifolds} فئة فرعية من فئة {Diffeology} التي تكون عناصرها فضاءات تفاضلية ومورفيزمات خرائط ملساء. الخريطة الملساء بين Orbifolds هي أي خريطة تكون ملساء بالنسبة لتفاضلياتها. وهذا يحل، في سياق تعريف ساتيك، ملاحظته: ^{[ 16 ]} " مفهوم${\displaystyle C^{\infty }}$إن تعريف الخريطة بهذه الطريقة غير ملائم من حيث أنها مركبة من اثنين${\displaystyle C^{\infty }}$إن تعريف الخريطة في اختيار مختلف للعائلات المحددة ليس دائمًا${\displaystyle C^{\infty }}$-map. "في الواقع، هناك خرائط سلسة بين المدارات لا ترفع محليًا كخرائط متغيرة. ^{[ 17 ]}

تجدر الإشارة إلى أن المجموعة الأساسية للفضاء المداري، بوصفه فضاءً تفاضليًا، تختلف عن المجموعة الأساسية كما عُرِّفت سابقًا. وترتبط المجموعة الأخيرة بزمرة البنية ^{[ 18 ]} ومجموعات التناظر الخاصة بها.

يُعطى مُركب من الزمر ( Y , f , g ) على مُركب تبسيطي مجرد Y بالصيغة التالية:

• مجموعة محدودة Γ _σ لكل بسيط σ من Y
• تماثل حقني f _στ  : Γ _τ${\displaystyle \rightarrow }$Γ _σ كلما σ${\displaystyle \subset }$τ
• لكل عنصر ρ${\displaystyle \subset }$σ${\displaystyle \subset }$τ، عنصر المجموعة g _ρστ في Γ _ρ بحيث (Ad g _ρστ )· f _ρτ = f _ρσ · f _στ (هنا يشير Ad إلى الإجراء المجاور عن طريق الاقتران)

بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تستوفي عناصر المجموعة شرط الدورة المشتركة.

و _{π ρ} ( ز _ρστ ) ز _πρτ = ز _{π στ} ز _{π ρσ}

لكل سلسلة من الأشكال البسيطة${\displaystyle \pi \subset \rho \subset \sigma \subset \tau .}$(يكون هذا الشرط فارغًا إذا كان لـ Y بُعدان أو أقل.)

أي اختيار للعناصر h _στ في Γ _σ ينتج عنه مجموعة مكافئة من المجموعات عن طريق تعريف

• f' _στ = (Ad h _στ )· f _στ
• ز' _ρστ = ح _ρσ · و _ρσ ( ح _στ )· ز _ρστ · ح _ρτ ⁻¹

يُطلق على مجموعة من المجموعات اسم المجموعة البسيطة عندما يكون g _ρστ = 1 في كل مكان.

• تُظهر حجة استقرائية سهلة أن كل مجموعة معقدة من المجموعات على عنصر بسيط مكافئ لمجموعة معقدة من المجموعات مع g _ρστ = 1 في كل مكان.

غالبًا ما يكون من الأنسب والأكثر جاذبية من الناحية المفاهيمية الانتقال إلى التقسيم الباريسنتري للمجسم Y. تتوافق رؤوس هذا التقسيم مع المجسمات البسيطة للمجسم Y ، بحيث يرتبط بكل رأس مجموعة. تكون حواف التقسيم الباريسنتري موجهة بشكل طبيعي (متوافقة مع تضمين المجسمات البسيطة)، ويعطي كل ضلع موجه تضمينًا للمجموعات. يرتبط بكل مثلث عنصر انتقال ينتمي إلى مجموعة رأس واحد فقط؛ وتعطي رباعيات الأوجه، إن وجدت، علاقات دورة مشتركة لعناصر الانتقال. وبالتالي، فإن مجموعة المجموعات لا تتضمن سوى الهيكل الثلاثي للتقسيم الباريسنتري؛ والهيكل الثنائي فقط إذا كان بسيطًا.

إذا كان X فضاءً مداريًا (أو فضاءً مداريًا)، فاختر غطاءً من المجموعات الفرعية المفتوحة من بين مخططات الفضاء المداري f _i : V _i${\displaystyle \rightarrow }$U _i . ليكن Y هو المركب التبسيطي المجرد المعطى بواسطة عصب الغطاء : رؤوسه هي مجموعات الغطاء، وتناظر تبسيطاته من الرتبة n التقاطعات غير الفارغة U _α = U _{i 1}${\displaystyle \cap }$···${\displaystyle \cap }$U _{i n} . لكل مُجَسَّم بسيط من هذا النوع، توجد مجموعة مُرتبطة به Γ _α، وتصبح التشاكلات f _ij هي التشاكلات f _στ . لكل ثلاثية ρ${\displaystyle \subset }$σ ${\displaystyle \subset }$τ المقابلة للتقاطعات

${\displaystyle U_{i}\supset U_{i}\cap U_{j}\supset U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$

توجد مخططات φ _i  : V _i${\displaystyle \rightarrow }$U _i , φ _ij  : V _ij${\displaystyle \rightarrow }$U _i${\displaystyle \cap }$U _j و φ _ijk  : V _ijk${\displaystyle \rightarrow }$U _i${\displaystyle \cap }$يو _جيه${\displaystyle \cap }$U _k وخرائط اللصق ψ  : V _ij${\displaystyle \rightarrow }$V _i , ψ'  : V _ijk${\displaystyle \rightarrow }$V _ij و ψ"  : V _ijk${\displaystyle \rightarrow }$V _i .

يوجد عنصر انتقال فريد g _ρστ في Γ _i بحيث يكون g _ρστ · ψ " = ψ · ψ ′ . العلاقات التي تحققها عناصر الانتقال في فضاء مداري تستلزم تلك المطلوبة لمجموعة معقدة من الزمر. وبهذه الطريقة، يمكن ربط مجموعة معقدة من الزمر بشكل قانوني بعصب غطاء مفتوح بواسطة مخططات الفضاء المداري (أو الفضاء المداري). بلغة نظرية الحزم غير التبادلية والحزم ، تنشأ مجموعة الزمر في هذه الحالة كحزمة من الزمر مرتبطة بالغطاء U _i ؛ البيانات g _ρστ هي دورة ثنائية في علم تماثل الحزم غير التبادلي ، والبيانات h _στ تعطي اضطرابًا حدوديًا ثنائيًا.

يمكن تعريف مجموعة مسارات الحواف لمجموعة من المجموعات على أنها تعميم طبيعي لمجموعة مسارات الحواف لمجموعة تبسيطية. في التقسيم المركزي لـ Y ، نأخذ المولدات e_{_ij} المقابلة للحواف من i إلى j حيث i${\displaystyle \rightarrow }$j ، بحيث يكون هناك حقن ψ _ij  : Γ _i${\displaystyle \rightarrow }$Γ _j . ليكن Γ هو المجموعة المولدة بواسطة e _ij و Γ _k مع العلاقات

ه _ط ⁻¹ · ز · ه _ج = ψ _ج ( ز )

لـ g في Γ _i و

e _ik = e _jk · e _ij · g _ijk

إذا كنت${\displaystyle \rightarrow }$ج${\displaystyle \rightarrow }$ك .

بالنسبة لرأس ثابت i ₀ ، تُعرَّف مجموعة مسار الحافة Γ( i ₀ ) بأنها المجموعة الجزئية من Γ المولدة بواسطة جميع الضربات

ز ₀ · ه _{ط 0 ط 1} · ز ₁ · ه _{ط 1 ط 2 ·} ··· · ز _ن · ه ط _{ن ط 0}

حيث i ₀ ، i ₁ ، ...، in ، _و i ₀ مسار حافة، و g _k يقع في Γ _{i k} و e _ji = e _ij ⁻¹ إذا i${\displaystyle \rightarrow }$ج .

يقال إن الفعل البسيط المناسب لمجموعة منفصلة Γ على مركب بسيط X ذي خارج قسمة محدود يكون منتظمًا إذا كان يحقق أحد الشروط المتكافئة التالية: ^{[ 9 ]}

• يقبل X مجموعة فرعية محدودة كمجال أساسي ؛
• الناتج Y = X /Γ له بنية تبسيطية طبيعية؛
• بنية القسمة التبسيطية على تمثيلات المدارات للرؤوس متسقة؛
• _{إذا كانت} ( v0 , ..., vk ₎ و ( g0 _· v0 , ..., gk · vk ) _{عبارة عن} أشكال بسيطة ، فإن g · _vi = gi · _{vi لبعض} g في Γ.

يمكن تحديد المجال الأساسي وحاصل القسمة Y = X / Γ بشكل طبيعي على أنهما مجمعات تبسيطية في هذه الحالة، مُعطاة بواسطة مُثبِّتات التبسيطات في المجال الأساسي. ويُقال إن مُركب المجموعات Y قابل للتطوير إذا نشأ بهذه الطريقة.

• تكون مجموعة من المجموعات قابلة للتطوير إذا وفقط إذا كانت التشاكلات من Γ _σ إلى مجموعة مسار الحافة حقنية.
• تكون مجموعة الزمر قابلة للتطوير إذا وفقط إذا كان لكل مُجَسَّم بسيط σ يوجد تشاكل أحادي θ _σ من Γ _σ إلى زمرة منفصلة ثابتة Γ بحيث يكون θ _τ · f _στ = θ _σ . في هذه الحالة، يُعرَّف المُجَمَّع البسيط X تعريفًا قانونيًا: فهو يحتوي على k- مُجَسَّمات بسيطة (σ, xΓ _σ ) حيث σ مُجَسَّم بسيط من Y و x يمتد على Γ / Γ _σ . يمكن التحقق من الاتساق باستخدام حقيقة أن تقييد مجموعة الزمر على مُجَسَّم بسيط يُكافئ تقييدها بدورة مشتركة تافهة g _ρστ .

إن تأثير Γ على التقسيم المركزي X ' لـ X يحقق دائمًا الشرط التالي، وهو شرط أضعف من الانتظام:

• عندما يكون σ و g ·σ مُجَسَّمَين جزئيين من مُجَسَّم بسيط τ، فإنهما متساويان، أي σ = g ·σ

في الواقع، تتوافق المجسمات البسيطة في X ' مع سلاسل من المجسمات البسيطة في X ، بحيث يتم تحديد المجسمات البسيطة الفرعية، المُعطاة بواسطة سلاسل فرعية من المجسمات البسيطة، بشكل فريد من خلال أحجام المجسمات البسيطة في السلسلة الفرعية. عندما يحقق فعل ما هذا الشرط، فإن g يثبت بالضرورة جميع رؤوس σ. تُظهر حجة استقرائية مباشرة أن مثل هذا الفعل يصبح منتظمًا على التقسيم المركزي؛ على وجه الخصوص

• يكون التأثير على التقسيم الفرعي الثاني ذي المركز الباريسنتري X منتظمًا؛
• Γ متماثل بشكل طبيعي مع مجموعة مسار الحافة المعرفة باستخدام مسارات الحافة ومثبتات الرأس للتقسيم المركزي للمجال الأساسي في X ".

في الواقع، لا حاجة للانتقال إلى تقسيم مركزي ثالث : كما يلاحظ هافليجر باستخدام لغة نظرية الفئات ، في هذه الحالة، فإن الهيكل العظمي الثلاثي للمجال الأساسي لـ X يحمل بالفعل جميع البيانات اللازمة - بما في ذلك عناصر الانتقال للمثلثات - لتحديد مجموعة مسار الحافة المتماثلة مع Γ.

في بُعدين، يكون وصف ذلك بسيطًا للغاية. المجال الأساسي لـ X له نفس بنية التقسيم المركزي Y لمجموعة من المجموعات Y ، وهي:

• مركب تبسيطي ثنائي الأبعاد محدود Z ؛
• اتجاه لجميع الحواف i${\displaystyle \rightarrow }$ج ؛
• إذا كنت${\displaystyle \rightarrow }$ج و ج${\displaystyle \rightarrow }$إذا كانت k حوافًا، فإن i${\displaystyle \rightarrow }$k هو ضلع و ( i , j , k ) هو مثلث؛
• المجموعات المنتهية المرفقة بالرؤوس، والتضمينات بالحواف، وعناصر الانتقال التي تصف التوافق، للمثلثات.

يمكن بعد ذلك تعريف مجموعة مسارات الحواف. ويرث التقسيم المركزي Z ' بنية مماثلة ، وتكون مجموعة مسارات الحواف الخاصة به متماثلة مع مجموعة مسارات الحواف الخاصة بـ Z.

ليكن X مجمعًا تبسيطيًا محدودًا مع تقسيم مركزي X '. يتكون هيكل الأوربيهيدرون من:

• لكل رأس i من X '، مركب تبسيطي L _i ' مزود بفعل تبسيطي صلب لمجموعة منتهية Γ _i .
• خريطة تبسيطية φ _i من L _i ' على الرابط L _i من i في X '، وتحديد خارج القسمة L _i ' / Γ _i مع L _i .

يمتد تأثير Γ _i على L _i ' إلى تأثير تبسيطي على المخروط التبسيطي C _i فوق L _i ' (الوصل التبسيطي بين i و L _i ')، مما يثبت مركز المخروط i . ويمتد التطبيق φ _i إلى تطبيق تبسيطي من C _i إلى النجم St( i ) الخاص بـ i ، ناقلاً المركز إلى i ؛ وبالتالي، يُعرّف φ _i ناتج قسمة النجم الخاص بـ i في C _i ، وهو C _i / Γ _i ، مع St( i )، ويعطي مخططًا للمجسم المداري عند i .

• لكل حافة موجهة i${\displaystyle \rightarrow }$j من X '، وهو تشاكل حقني f _ij من Γ _i إلى Γ _j .
• لكل حافة موجهة i${\displaystyle \rightarrow }$j ، خريطة لصق تبسيطية متغيرة Γ _i ψ _ij من C _i إلى C _j .
• خرائط اللصق متوافقة مع المخططات، أي φ _j ·ψ _ij = φ _i .
• تكون خرائط اللصق فريدة حتى التركيب مع عناصر المجموعة، أي أن أي خريطة لصق أخرى ممكنة من V _i إلى V _j لها الشكل g ·ψ _ij لـ g فريدة في Γ _j .

لو كنت${\displaystyle \rightarrow }$ج${\displaystyle \rightarrow }$إذا كان k ، فإنه يوجد عنصر انتقالي فريد g _ijk في Γ _k بحيث

g _ijk ·ψ _ik = ψ _jk ·ψ _ij

تُلبّي عناصر الانتقال هذه المتطلبات

(Ad g _ijk ) · f _ik = f _jk · f _ij

بالإضافة إلى علاقة الدورة المشتركة

ψ _كم ( g _ijk )· g _ikm = g _ijm · g _jkm .

• تعطي البيانات النظرية للمجموعة لمجسم دائري مجموعة من المجموعات على X ، لأن الرؤوس i للتقسيم المركزي X ' تتوافق مع المجسمات البسيطة في X.
• يرتبط كل مُركّب من الزمر على X ببنية أوربيهيدرون فريدة جوهريًا على X. وتتضح هذه الحقيقة الأساسية من خلال ملاحظة أن النجمة والوصلة لرأس i من X '، المُقابلة لمُعقّد σ من X ، لهما تفكيكات طبيعية: النجمة مُتماثلة مع المُركّب التبسيطي المُجرّد المُعطى بوصلة σ والتقسيم المركزي σ' لـ σ؛ والوصلة مُتماثلة مع وصلة وصلة σ في X ووصلة المركز σ في σ'. بتقييد مُركّب الزمر على وصلة σ في X ، فإن جميع الزمر Γτ _تأتي مع تشاكلات حقنية في Γσ _. وبما أن وصلة i في X ' مُغطاة بشكل قانوني بمُركّب تبسيطي تعمل عليه Γσ _، فإن هذا يُحدد بنية أوربيهيدرون على X.
• إن المجموعة الأساسية للمجسم الدائري هي (بشكل بديهي) مجرد مجموعة مسار الحافة للمجموعة المرتبطة بها.
• كل مجسم مداري هو أيضاً فضاء مداري بطبيعته: في الواقع، في التحقيق الهندسي للمركب التبسيطي، يمكن تعريف مخططات الفضاء المداري باستخدام الأجزاء الداخلية للنجوم.
• يمكن تحديد المجموعة الأساسية للمجسم المداري بشكل طبيعي مع المجموعة الأساسية للفضاء المداري المرتبط به. ويتحقق ذلك بتطبيق نظرية التقريب التبسيطي على أجزاء مسار الفضاء المداري الواقعة في مخطط الفضاء المداري: وهو شكل مباشر من البرهان الكلاسيكي الذي يثبت إمكانية تحديد المجموعة الأساسية للمجسم متعدد السطوح مع مجموعة مسارات حوافه .
• يتمتع الفضاء المداري المرتبط بالمجسم المداري ببنية مترية قياسية ، مستمدة محليًا من مقياس الطول في التمثيل الهندسي القياسي في الفضاء الإقليدي، حيث تُسقط الرؤوس على أساس متعامد. كما تُستخدم بنى مترية أخرى، تتضمن مقاييس طول مُستمدة من تمثيل المجسمات البسيطة في الفضاء الزائدي ، حيث تُحدد المجسمات البسيطة بشكل متساوي القياس على طول الحدود المشتركة.
• يكون الفضاء المداري المرتبط بالمجسم المداري غير منحني بشكل إيجابي إذا وفقط إذا كان محيط الرابط في كل مخطط للمجسم المداري أكبر من أو يساوي 6، أي أن أي دائرة مغلقة في الرابط لها طول لا يقل عن 6. هذا الشرط، المعروف جيدًا من نظرية فضاءات هادامارد ، يعتمد فقط على المجموعة الأساسية للمجموعات.
• عندما يكون المجسم المداري الشامل ذو الانحناء غير الموجب، تكون المجموعة الأساسية لانهائية وتتولد من نسخ متماثلة من مجموعات التناظر. وينتج هذا عن النتيجة المقابلة للفضاءات المدارية.

ليكن α =${\displaystyle {\sqrt {-7}}}$يُعطى بواسطة مفكوك ذات الحدين لـ (1  −  8) ^1/2 في Q ₂ ونضع K = Q ( α )${\displaystyle \subset }$س _٢. ليكن

ζ = exp 2 π i /7

lect = ( α − 1)/2 = ζ + ζ ² + ζ ⁴

μ = λ / λ *.

ليكن E = Q ( ζ )، فضاء متجهي ثلاثي الأبعاد على K ذي أساس 1، ζ ، و ζ ^2. عرّف المؤثرات الخطية K على E كما يلي:

• σ هو مولد مجموعة Galois من E على K ، وهو عنصر من الرتبة 3 معطى بواسطة σ(ζ) = ζ ²
• τ هو عامل الضرب بواسطة ζ على E ، وهو عنصر من الرتبة 7
• ρ هو العامل المعطى بواسطة ρ ( ζ ) = 1, ρ ( ζ ² ) = ζ و ρ (1) = μ · ζ ² , بحيث ρ ³ هو الضرب العددي بواسطة μ . 

تُولّد العناصر ρ و σ و τ زمرةً فرعيةً منفصلةً من GL ₃ ( K ) تعمل بشكلٍ صحيحٍ على مبنى بروهات-تيتس الأفيني المُقابل لـ SL ₃ ( Q ₂ ). تعمل هذه الزمرة بشكلٍ متعدٍّ على جميع الرؤوس والحواف والمثلثات في المبنى. ليكن

σ ₁ = σ , σ ₂ = ρσρ ⁻¹ , σ ₃ = ρ ² σρ ⁻² .

ثم

• σ ₁ و σ ₂ و σ ₃ تولد مجموعة فرعية Γ من SL ₃ ( K ).
• Γ هي أصغر مجموعة فرعية مولدة بواسطة σ و τ ، وهي ثابتة تحت الاقتران بواسطة ρ .
• يؤثر Γ بشكل متعدٍ على المثلثات الموجودة في المبنى.
• يوجد مثلث Δ بحيث تكون مثبتات حوافه هي المجموعات الفرعية من الرتبة 3 المولدة بواسطة σ _i 's.
• إن مثبت رؤوس Δ هو مجموعة فروبينيوس من الرتبة 21 المتولدة بواسطة عنصرين من الرتبة 3 يعملان على تثبيت الحواف التي تلتقي عند الرأس.
• إن مُثبِّت Δ أمرٌ تافه.

يُولّد العنصران σ و τ مُثبِّتًا لرأس. يمكن تحديد وصلة هذا الرأس بالبناء الكروي لـ SL ₃ ( F ₂ )، ويمكن تحديد المُثبِّت بمجموعة التوازي لمستوى فانو المُولَّدة بواسطة تناظر ثلاثي σ يُثبِّت نقطة، وتبديل دوري τ لجميع النقاط السبع، بحيث يُحقق στ = τ ² σ . بتحديد F ₈ * مع مستوى فانو، يمكن اعتبار σ تقييدًا لتشاكل فروبينيوس σ ( x ) = x ²² لـ F _8، و τ ضربًا بأي عنصر ليس في الحقل الأولي F ₂ ، أي مُولِّدًا من الرتبة 7 لمجموعة الضرب الدورية لـ F _8. تعمل مجموعة فروبينيوس هذه ببساطة بشكل متعدٍّ على الأعلام الـ 21 في مستوى فانو، أي الخطوط ذات النقاط المُحدَّدة. وبالتالي فإن الصيغ الخاصة بـ σ و τ على E "ترفع" الصيغ على F ₈ .

يحصل مامفورد أيضًا على فعل متعدٍ بسيط على رؤوس المبنى بالانتقال إلى زمرة جزئية من Γ ₁ = < ρ , σ , τ , − I >. تحافظ الزمرة Γ ₁ على الشكل الهرميتي ذي القيم Q ( α ).

و ( x , y ) = xy * + σ ( xy *) + σ ² ( xy *)

على Q (ζ) ويمكن تحديدها مع U ₃ (f)${\displaystyle \cap }$GL ₃ ( S ) حيث S = Z [ α , ⁠ 1 / 2 ⁠ ]. بما أن S /( α ) = F ₇ ، يوجد تشاكل من المجموعة Γ ₁ إلى GL ₃ ( F ₇ ). هذا التأثير يُبقي فضاءً جزئيًا ثنائي الأبعاد في F ₇ ³ ثابتًا ، وبالتالي يُنشئ تشاكلًا Ψ من Γ ₁ إلى SL ₂ ( F ₇ )، وهي مجموعة من الرتبة 16·3·7. من جهة أخرى، مُثبِّت الرأس هو مجموعة جزئية من الرتبة 21، و Ψ أحادي على هذه المجموعة الجزئية. بالتالي، إذا عُرِّفت مجموعة التطابق Γ _{0 على أنها} الصورة العكسية تحت تأثير Ψ لمجموعة 2- سيلو الجزئية من SL ₂ ( F ₇ )، فإن تأثير Γ ₀ على الرؤوس يجب أن يكون متعديًا بسيطًا.

يمكن إنشاء أمثلة أخرى للمثلثات أو المجمعات ثنائية الأبعاد للمجموعات عن طريق اختلافات في المثال أعلاه.

يدرس كارترايت وآخرون التأثيرات على المباني التي تكون متعدية ببساطة على رؤوسها . ينتج عن كل تأثير من هذا القبيل تقابل (أو ازدواجية معدلة) بين النقاط x والخطوط x * في مُركب العلم لمستوى إسقاطي محدود ومجموعة من المثلثات الموجهة المكونة من النقاط ( x ، y ، z )، ثابتة تحت التبديل الدوري، بحيث تقع x على z *، وتقع y على x *، وتقع z على y *، وتحدد أي نقطتين النقطة الثالثة بشكل فريد. تحتوي المجموعات الناتجة على مولدات x ، مُصنفة حسب النقاط، وعلاقات xyz = 1 لكل مثلث. بشكل عام، لن يتوافق هذا البناء مع تأثير على مبنى أفيني كلاسيكي.

وبشكل أعم، كما أوضح بالمان وبرين، فإن البيانات الجبرية المماثلة تشفر جميع الإجراءات التي تكون ببساطة متعدية على رؤوس مجمع تبسيطي ثنائي الأبعاد غير موجب الانحناء، بشرط أن يكون محيط كل رأس 6 على الأقل. تتكون هذه البيانات من:

• مجموعة مولدة S تحتوي على المعكوسات، ولكن ليس العنصر المحايد؛
• مجموعة من العلاقات g h k = 1، ثابتة تحت التبديل الدوري.

تُشير العناصر g في المجموعة S إلى الرؤوس g · v في وصلة الرأس الثابت v ؛ وتُقابل العلاقات الحواف ( g ⁻¹ · v , h · v ) في تلك الوصلة. يجب أن يكون محيط الرسم البياني ذي الرؤوس S والحواف ( g , h )، حيث g ⁻¹ h في S ، 6 على الأقل. يمكن إعادة بناء المركب التبسيطي الأصلي باستخدام مركبات المجموعات والتقسيم الباريسنتري الثاني.

قام سوياتكوفسكي بإنشاء أمثلة إضافية لمجمعات ثنائية الأبعاد غير منحنية إيجابياً، وذلك بالاعتماد على تأثيرات متعدية بسيطة على الحواف الموجهة ، تُحدث تناظراً ثلاثياً على كل مثلث؛ وفي هذه الحالة أيضاً، يُستمد مجمع المجموعات من التأثير المنتظم على التقسيم المركزي الثاني. يبدأ أبسط مثال، والذي اكتشفه بالمان سابقاً، من مجموعة منتهية H ذات مجموعة مولدات متناظرة S ، لا تحتوي على عنصر المحايد، بحيث يكون محيط الرسم البياني لكايلي المقابل 6 على الأقل . تُولد المجموعة المرتبطة بواسطة H وانعكاس τ يخضع للشرط (τg) ³ = 1 لكل g في S.

في الواقع، إذا تصرفت Γ بهذه الطريقة، مثبتةً حافةً ( v , w )، فسيكون هناك انعكاس τ يبدل بين v و w . يتكون رابط v من الرؤوس g · w حيث g في مجموعة فرعية متناظرة S من H = Γ _v ، مما يُولّد H إذا كان الرابط متصلاً. ويفترض افتراض المثلثات أن

τ·( g · w ) = g ⁻¹ · w

لكل g في S. بالتالي، إذا كان σ = τ g و u = g ⁻¹ · w ، فإن

σ( v ) = ث , σ( w ) = u , σ( u ) = w .

وباستخدام خاصية التعدي البسيطة على المثلث ( v , w , u )، يترتب على ذلك أن σ ³ = 1.

يُعطي التقسيم الباريسنتري الثاني مجموعةً من الزمر تتألف من عناصر مفردة أو أزواج من المثلثات المقسمة باريسنتريًا والمتصلة على طول أضلاعها الكبيرة: تُفهرس هذه الأزواج بواسطة فضاء القسمة S /~ الناتج عن تحديد المعكوسات في S. وتتصل المثلثات المفردة أو "المقترنة" بدورها على طول "عمود فقري" مشترك. جميع مثبتات الأشكال البسيطة تافهة باستثناء الرأسين في نهايتي العمود الفقري، بمثبتات H و <τ>، والرؤوس المتبقية للمثلثات الكبيرة، بمثبت مُوَلَّد بواسطة σ مناسب. تحتوي ثلاثة من المثلثات الأصغر في كل مثلث كبير على عناصر انتقالية.

عندما تكون جميع عناصر المجموعة S عبارة عن عمليات انعكاسية، فلا حاجة لمضاعفة أي من المثلثات. إذا اعتبرنا H المجموعة ثنائية السطوح D7 من الرتبة 14 _، المولدة بواسطة عملية انعكاسية a وعنصر b من الرتبة 7 بحيث

ab = b ⁻¹ a ,

ثم يتم توليد H بواسطة عمليات الالتفاف الثلاث a و ab و ab ^5. يتم تحديد رابط كل رأس بواسطة مخطط كايلي المقابل، لذا فهو ببساطة مخطط هيوود ثنائي الأجزاء ، أي مطابق تمامًا لما هو عليه في البناء الأفيني لـ SL ₃ ( Q ₂ ). يشير هيكل الرابط هذا إلى أن المركب التبسيطي المقابل هو بالضرورة بناء إقليدي . مع ذلك، يبدو أنه من غير المعروف حاليًا ما إذا كان من الممكن تحقيق أي من هذه الأنواع من التأثير على بناء أفيني كلاسيكي: فمجموعة مامفورد Γ ₁ (modulo scalars) متعدية ببساطة على الحواف فقط، وليس على الحواف الموجهة.

في نظرية الأوتار ، يكتسب مصطلح "المدار" معنىً جديدًا بعض الشيء. بالنسبة للرياضيين، يُعدّ المدار تعميمًا لمفهوم المتشعب ، يسمح بوجود النقاط التي يكون جوارها متماثلًا تفاضليًا مع خارج قسمة Rⁿ على زمرة منتهية، أي Rⁿ ^/ Γ . في الفيزياء، يصف مفهوم المدار عادةً كائنًا يمكن كتابته بشكل عام على هيئة فضاء مداري M/ ^G ، حيث M متشعب ( أو نظرية)، و G زمرة من تماثلاته (أو تناظراته) - ليس بالضرورة جميعها. في نظرية الأوتار، لا يشترط أن يكون لهذه التناظرات تفسير هندسي.

تصبح نظرية الحقل الكمومي المعرفة على فضاء مداري شاذة بالقرب من النقاط الثابتة لـ G. مع ذلك، تتطلب نظرية الأوتار إضافة أجزاء جديدة إلى فضاء هيلبرت المغلق للأوتار ، وتحديدًا القطاعات الملتوية حيث تكون الحقول المعرفة على الأوتار المغلقة دورية حتى تأثير من G. لذا، يُعدّ التفرع المداري إجراءً عامًا في نظرية الأوتار لاستنتاج نظرية أوتار جديدة من نظرية أوتار قديمة تم فيها تحديد عناصر G بالعنصر المحايد. يقلل هذا الإجراء عدد الحالات لأن الحالات يجب أن تكون ثابتة تحت تأثير G ، ولكنه يزيد أيضًا عدد الحالات بسبب القطاعات الملتوية الإضافية. والنتيجة عادةً هي نظرية أوتار جديدة سلسة تمامًا.

تُوصَف الأغشية D المنتشرة على الفضاءات المدارية، عند الطاقات المنخفضة، بنظريات القياس المُعرَّفة بواسطة مخططات السهم . لا تحتوي الأوتار المفتوحة المتصلة بهذه الأغشية D على قطاع ملتوي، وبالتالي يتم تقليل عدد حالات الأوتار المفتوحة بواسطة إجراء التشعب المداري.

وبشكل أكثر تحديدًا، عندما تكون مجموعة orbifold G عبارة عن مجموعة فرعية منفصلة من تماثلات الزمكان، فإذا لم يكن لها نقطة ثابتة، فإن النتيجة عادة ما تكون فضاءً مضغوطًا أملسًا؛ ويتكون القطاع الملتوي من أوتار مغلقة ملفوفة حول البعد المضغوط، والتي تسمى حالات اللف .

عندما تكون مجموعة الفضاء المداري G مجموعة فرعية منفصلة من تناظرات الزمكان، ولها نقاط ثابتة، فإن هذه النقاط عادةً ما تحتوي على نقاط تفرد مخروطية ، لأن R ⁿ / Z _k يمتلك نقطة تفرد كهذه عند النقطة الثابتة Z _k . في نظرية الأوتار، تُعدّ نقاط التفرد الجاذبية عادةً مؤشرًا على وجود درجات حرية إضافية تقع عند نقطة موضعية في الزمكان. في حالة الفضاء المداري، تكون درجات الحرية هذه هي الحالات الملتوية، وهي أوتار "عالقة" عند النقاط الثابتة. عندما تكتسب الحقول المرتبطة بهذه الحالات الملتوية قيمة توقع فراغية غير صفرية ، تتشوه نقطة التفرد، أي يتغير المقياس ويصبح منتظمًا عند هذه النقطة وحولها. ومن الأمثلة على الهندسة الناتجة زمكان إيغوتشي-هانسون .

من منظور أغشية D في جوار النقاط الثابتة، تُعدّ النظرية الفعّالة للأوتار المفتوحة المتصلة بهذه الأغشية نظرية حقل فائقة التناظر، حيث يحتوي فضاء الفراغ الخاص بها على نقطة شاذة، توجد فيها درجات حرية إضافية عديمة الكتلة. ترتبط الحقول المتعلقة بالقطاع الملتوي للأوتار المغلقة بالأوتار المفتوحة بطريقة تُضيف حدّ فاييه-إيليوبولوس إلى لاغرانجيان نظرية الحقل فائقة التناظر، بحيث عندما يكتسب هذا الحقل قيمة توقع فراغ غير صفرية ، يكون حدّ فاييه-إيليوبولوس غير صفري، وبالتالي يُشوّه النظرية (أي يُغيّرها) بحيث تختفي النقطة الشاذة.،.

إلى جانب تطبيقاتها المتعددة والمتنوعة في الرياضيات والفيزياء، طُبقت مفاهيم الفضاءات المدارية على نظرية الموسيقى منذ عام 1985 على الأقل في أعمال غويرينو مازولا ^{[ 26 ] [ 27 ]} ، ولاحقًا من قِبل ديمتري تيموتشكو وزملاؤه. ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]} وكانت إحدى أوراق تيموتشكو أول ورقة بحثية في نظرية الموسيقى تُنشر في مجلة ساينس . ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]} وقد شارك مازولا وتيموتشكو في نقاشات حول نظرياتهما، موثقة في سلسلة من التعليقات المتاحة على مواقعهم الإلكترونية. ^{[ 35 ] [ 36 ]}

يُصمّم تيموتشكو الأوتار الموسيقية المكونة من n نغمة، والتي ليست بالضرورة متميزة، كنقاط في الفضاء المداري.${\displaystyle T^{n}/S_{n}}$– فضاء النقاط غير المرتبة n (ليست بالضرورة متميزة ) في الدائرة، والذي يُمثل خارج قسمة n- طوروس${\displaystyle T^{n}}$(فضاء النقاط المرتبة n على الدائرة) بواسطة المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{n}}$(المقابل للانتقال من مجموعة مرتبة إلى مجموعة غير مرتبة).

موسيقيًا، يُفسر هذا على النحو التالي:

• تعتمد النغمات الموسيقية على تردد (حدة) ترددها الأساسي، وبالتالي يتم تحديدها بواسطة الأعداد الحقيقية الموجبة، R ⁺ .
• تُعتبر النغمات الموسيقية التي تختلف بمقدار أوكتاف (مضاعفة التردد) نغمة واحدة – وهذا يتوافق مع أخذ اللوغاريتم ذي الأساس 2 للترددات (مما ينتج عنه أعداد حقيقية، كما هو موضح).${\displaystyle \mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}}$ثم قسمة الناتج على الأعداد الصحيحة (المقابلة للاختلاف بعدد معين من الأوكتافات)، مما ينتج عنه دائرة (مثل${\displaystyle S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z} }$).
• تُقابل الأوتار نغمات متعددة بغض النظر عن الترتيب – وبالتالي فإن t نغمة (مع الترتيب) تُقابل t نقطة مرتبة على الدائرة، أو ما يعادلها نقطة واحدة على السطح الحلقي t${\displaystyle T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1},}$وحذف الترتيب يقابل أخذ ناتج القسمة بواسطة${\displaystyle S_{t},}$مما ينتج عنه شكل مداري.

بالنسبة للثنائيات (لونين)، ينتج عن ذلك شريط موبيوس المغلق ؛ بالنسبة للثلاثيات (ثلاثة ألوان)، ينتج عن ذلك سطح مستوٍ يمكن وصفه بأنه منشور مثلثي مع تحديد الوجهين المثلثين العلوي والسفلي بلف 120 درجة (لف 1/3 ) - بشكل مكافئ ، كحلقة صلبة في 3 أبعاد ذات مقطع عرضي مثلث متساوي الأضلاع ومثل هذا اللف.

تكون الفضاءات المتشعبة الناتجة مُقسّمة بشكل طبيعي إلى طبقات بواسطة النغمات المتكررة (أو بالأحرى، بواسطة تجزئات عددية صحيحة لـ t ) – تتكون المجموعة المفتوحة من نغمات متميزة (التقسيم${\displaystyle t=1+1+\cdots +1}$بينما توجد مجموعة مفردة أحادية البعد تتكون من جميع النغمات المتشابهة (التقسيم)${\displaystyle t=t}$، وهو دائرة من الناحية الطوبولوجية، بالإضافة إلى العديد من التقسيمات الوسيطة. توجد أيضًا دائرة بارزة تمر عبر مركز المجموعة المفتوحة المكونة من نقاط متساوية التباعد. في حالة الثلاثيات، تتوافق الأوجه الجانبية الثلاثة للمنشور مع نغمتين متطابقتين والثالثة مختلفة (التقسيم${\displaystyle 3=2+1}$بينما تتوافق الحواف الثلاثة للمنشور مع المجموعة المفردة أحادية البعد. أما الوجهان العلوي والسفلي فهما جزء من المجموعة المفتوحة، ولا يظهران إلا لأن الفضاء المداري قد قُطع - إذا نُظر إليه على أنه طارة مثلثة ملتوية، فإن هذه القطع الأثرية تختفي.

يجادل تيموتشكو بأن التآلفات القريبة من المركز (ذات النغمات المتباعدة بالتساوي أو شبه المتساوية) تُشكل أساسًا للكثير من التناغم الغربي التقليدي، وأن تصورها بهذه الطريقة يُساعد في التحليل. توجد أربعة تآلفات في المركز (متباعدة بالتساوي في نظام التوزيع المتساوي - تباعد 4/4/4 بين النغمات)، تُقابل التآلفات الثلاثية المُعززة (التي تُعتبر مجموعات موسيقية ) C♯FA، DF♯A♯، D♯GB، وEG♯C (ثم تتكرر: FAC♯ = C♯FA)، بينما تُمثل التآلفات الرئيسية الاثني عشر والتآلفات الثانوية الاثني عشر النقاط المجاورة للمركز ولكن ليست عليه تمامًا - متباعدة بشكل شبه متساوٍ ولكن ليس تمامًا. تُقابل التآلفات الرئيسية تباعد 4/3/5 (أو ما يُعادله، 5/4/3)، بينما تُقابل التآلفات الثانوية تباعد 3/4/5. ثم تتوافق التغييرات الرئيسية مع الحركة بين هذه النقاط في الفضاء المداري، مع تغييرات أكثر سلاسة تحدث عن طريق الحركة بين النقاط القريبة.