مجموعة فروبينيوس

في الرياضيات ، زمرة فروبينيوس هي زمرة تبديل متعدية على مجموعة منتهية ، بحيث لا يثبت أي عنصر غير تافه أكثر من نقطة واحدة، ويثبت عنصر غير تافه نقطة واحدة. وقد سميت نسبةً إلى فروبينيوس .

لنفترض أن G زمرة فروبينيوس تتكون من تباديل المجموعة X. تُسمى الزمرة الجزئية H من G التي تُثبّت نقطة من X مُكمِّل فروبينيوس . يُشكّل العنصر المحايد مع جميع العناصر غير الموجودة في أي عنصر مُرافق لـ H زمرة جزئية طبيعية تُسمى نواة فروبينيوس K. (هذه نظرية منسوبة إلى فروبينيوس (1901) ؛ ولا يزال لا يوجد برهان لهذه النظرية لا يستخدم نظرية الخصائص ، على الرغم من وجود ^{[ 1 ]} ) . زمرة فروبينيوس G هي حاصل الضرب شبه المباشر لـ K و H.

${\displaystyle G=K\rtimes H}$.

لكل من نواة فروبينيوس ومتمم فروبينيوس بنية محدودة للغاية. أثبت جي جي طومسون ( 1960 ) أن نواة فروبينيوس K هي زمرة عديمة القوة . إذا كانت H ذات رتبة زوجية، فإن K تكون زمرة تبديلية. يتميز متمم فروبينيوس H بخاصية أن كل زمرة جزئية رتبتها حاصل ضرب عددين أوليين هي زمرة دورية؛ وهذا يعني أن زمر سيلو الجزئية الخاصة بها هي زمر دورية أو زمر رباعية معممة . تُسمى أي زمرة تكون فيها جميع زمر سيلو الجزئية دورية زمرة Z ، ويجب أن تكون على وجه الخصوص زمرة فوق دورية : أي أنها امتداد لزمرتين دوريتين. إذا لم يكن مكمل فروبينيوس H قابلاً للحل، فقد أثبت زاسنهاوس أن له زمرة جزئية طبيعية ذات دليل 1 أو 2، وهي حاصل ضرب SL(2,5) وزمرة ميتا دورية من رتبة أولية نسبية مع 30. وبالتحديد، إذا تطابق مكمل فروبينيوس مع زمرته الجزئية المشتقة، فإنه يكون متماثلاً مع SL(2,5). أما إذا كان مكمل فروبينيوس H قابلاً للحل، فإنه يمتلك زمرة جزئية ميتا دورية طبيعية بحيث يكون ناتج القسمة زمرة جزئية من الزمرة المتناظرة على 4 نقاط. تكون الزمرة المنتهية مكمل فروبينيوس إذا وفقط إذا كان لها تمثيل أمين ذو أبعاد منتهية على حقل منتهٍ، حيث تتوافق عناصر الزمرة غير المحايد مع تحويلات خطية بدون نقاط ثابتة غير صفرية. 

تُحدد نواة فروبينيوس K بشكل فريد بواسطة G لأنها زمرة فيتينغ ، ويُحدد مكمل فروبينيوس بشكل فريد حتى الاقتران بواسطة نظرية شور-زاسنهاوس . على وجه الخصوص، تكون الزمرة المنتهية G زمرة فروبينيوس بطريقة واحدة على الأكثر.

• أصغر مثال هو المجموعة المتناظرة على 3 نقاط، والتي تحتوي على 6 عناصر. نواة فروبينيوس K لها رتبة 3، ومكملتها H لها رتبة 2.
• لكل حقل منتهٍ F _q يحتوي على q عنصرًا ( > 2)، مجموعة التحويلات الأفينية القابلة للعكس${\displaystyle x\mapsto ax+b}$،${\displaystyle a\neq 0}$_{إن تطبيق q} بشكل طبيعي على F هو زمرة فروبينيوس. المثال السابق يتوافق مع الحالة F ₃ ، أي الحقل الذي يحتوي على ثلاثة عناصر.
• مثال آخر هو المجموعة الفرعية من الرتبة 21 لمجموعة التوازي في مستوى فانو، المولدة بواسطة تناظر ثلاثي σ يثبت نقطة، وتبديل دوري τ لجميع النقاط السبع، بحيث يحقق στ = τ²σ ^. وبتعريف F⁸ ^× _{بمستوى فانو} ، يمكن اعتبار σ تقييدًا لتشاكل فروبينيوس σ( x ) = x² لـ F⁸ ، و _τ ضربًا بأي عنصر ليس صفرًا أو واحدًا (أي مولدًا لمجموعة ^الضرب الدورية لـ F⁸ ). تؤثر مجموعة فروبينيوس هذه بشكل متعدٍ على الخطوط الـ 21 في مستوى فانو، أي الخطوط التي _تحمل نقاطًا مميزة.
• إن المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 2n حيث n فردي هي مجموعة فروبينيوس ذات متمم من الرتبة 2. وبشكل أعم، إذا كانت K أي مجموعة أبيلية من رتبة فردية و H لها رتبة 2 وتؤثر على K عن طريق الانعكاس، فإن الضرب شبه المباشر K.H هو مجموعة فروبينيوس.
• يمكن توليد العديد من الأمثلة الإضافية من خلال الإنشاءات التالية. إذا استبدلنا متمم فروبينيوس لمجموعة فروبينيوس بمجموعة جزئية غير تافهة، فسنحصل على مجموعة فروبينيوس أخرى. إذا كان لدينا مجموعتان من مجموعات _{فروبينيوس K₁.H و} K₂.H ، فإن ( K₁ × K₂ ) .H _هي أيضًا مجموعة فروبينيوس .  
• إذا كانت K هي الزمرة غير التبديلية من الرتبة 7³ ^ذات الأس 7، و H هي الزمرة الدورية من الرتبة 3، فإنه توجد زمرة فروبينيوس G وهي امتداد KH للزمرة H بواسطة K. وهذا مثال على زمرة فروبينيوس ذات نواة غير تبديلية. وكان هذا أول مثال على زمرة فروبينيوس ذات نواة غير تبديلية (وقد بناها أوتو شميدت).
• إذا كانت H هي المجموعة SL ₂ ( F ₅ ) من الرتبة 120، فإنها تؤثر كنقاط ثابتة حرة على فضاء متجهي ثنائي الأبعاد K فوق الحقل ذي 11 عنصرًا. الامتداد KH هو أصغر مثال لمجموعة فروبينيوس غير قابلة للحل .
• المجموعة الفرعية لمجموعة زاسنهاوس التي تثبت نقطة ما هي مجموعة فروبينيوس.
• قام إيتو بإنشاء زمر فروبينيوس التي تتمتع زمر فيتينغ الفرعية فيها بفئة انعدام قوة كبيرة كيفيًا: ليكن q قوة عدد أولي، وd عددًا صحيحًا موجبًا، و p قاسمًا أوليًا لـ q − 1 حيث d ≤ p . لنثبت حقلًا F من الرتبة q وعنصرًا z من هذا الحقل من الرتبة p . مكمل فروبينيوس H هو الزمرة الفرعية الدورية المولدة بواسطة المصفوفة القطرية التي يكون عنصرها i,i' هو zi ^. نواة فروبينيوس K هي زمرة سيلو q الفرعية من GL( d , q ) التي تتكون من مصفوفات مثلثية علوية تحتوي على واحدات على القطر. تتمتع النواة K بفئة انعدام قوة d − 1، والضرب شبه المباشر KH هو زمرة فروبينيوس.

يمكن استنتاج التمثيلات المعقدة غير القابلة للاختزال لمجموعة فروبينيوس G من تمثيلات H و K. يوجد نوعان من التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ G :

• أي تمثيل غير قابل للاختزال R لـ H يعطي تمثيلاً غير قابل للاختزال لـ G باستخدام دالة القسمة من G إلى H. وهذه تعطي التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ G مع K في نواتها.
• إذا كان S أي تمثيل غير تافه وغير قابل للاختزال لـ K ، فإن التمثيل المستحث المقابل لـ G يكون أيضًا غير قابل للاختزال. وهذا يعطي التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ G التي لا تحتوي K على نواتها.

هناك عدد من الخصائص النظرية للمجموعات التي تعتبر مثيرة للاهتمام في حد ذاتها، ولكنها تصادف أنها تعادل المجموعة التي تمتلك تمثيلًا تبديليًا يجعلها مجموعة فروبينيوس.

• G هي مجموعة فروبينيوس إذا وفقط إذا كان لدى G مجموعة فرعية مناسبة وغير محايدة H بحيث تكون H ∩ H g ^هي المجموعة الفرعية المحايدة لكل g ∈ G − H ، أي أن H هي مجموعة فرعية غير طبيعية من G.

ثم يتم تعميم هذا التعريف لدراسة مجموعات التقاطع التافهة مما سمح بتوسيع النتائج المتعلقة بمجموعات فروبينيوس المستخدمة في تصنيف مجموعات CA إلى النتائج المتعلقة بمجموعات CN وأخيراً نظرية الترتيب الفردي .

بافتراض أن${\displaystyle G=K\rtimes H}$إذا كان G هو حاصل الضرب شبه المباشر للمجموعة الفرعية العادية K والمكملة H ، فإن القيود التالية على المركزيات تعادل كون G مجموعة فروبينيوس مع مكمل فروبينيوس H :

• المركز C _G ( k ) هو مجموعة فرعية من K لكل عنصر غير محايد k في K.
• C _H ( k ) = 1 لكل عنصر غير متطابق k في K .
• C _G ( h ) ≤ H لكل عنصر غير متطابق h في H.