نظرية الشخصية

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الزمر ، تُعرَّف خاصية تمثيل الزمرة بأنها دالة على الزمرة تربط كل عنصر من عناصرها بأثر المصفوفة المناظرة . تحمل الخاصية المعلومات الأساسية حول التمثيل بصورة أكثر تكثيفًا. طوّر جورج فروبينيوس في البداية نظرية تمثيل الزمر المنتهية بالاعتماد كليًا على الخصائص، ودون أي تمثيل صريح للمصفوفات. هذا ممكن لأن التمثيل المركب للزمرة المنتهية يُحدد (حتى التشاكل ) بواسطة خاصيته. أما بالنسبة للتمثيلات على حقل ذي خاصية موجبة ، والتي تُسمى "التمثيلات النمطية"، فهي أكثر تعقيدًا، لكن ريتشارد براور طوّر نظرية قوية للخصائص في هذه الحالة أيضًا. تستخدم العديد من النظريات العميقة حول بنية الزمر المنتهية خصائص التمثيلات النمطية .

تُشفّر خصائص التمثيلات غير القابلة للاختزال العديد من الخصائص المهمة للمجموعة، وبالتالي يمكن استخدامها لدراسة بنيتها. تُعدّ نظرية الخصائص أداة أساسية في تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية . يتضمن ما يقارب نصف برهان نظرية فيت -تومسون حسابات معقدة باستخدام قيم الخصائص. ومن النتائج الأسهل، ولكنها لا تقل أهمية، التي تستخدم نظرية الخصائص، نظرية بيرنسايد (وقد تم التوصل لاحقًا إلى برهان نظري بحت لنظرية بيرنسايد، ولكن هذا البرهان جاء بعد أكثر من نصف قرن من برهان بيرنسايد الأصلي)، ونظرية ريتشارد براور وميشيو سوزوكي التي تنص على أنه لا يمكن لمجموعة بسيطة منتهية أن تحتوي على مجموعة كواترنيون معممة كمجموعة فرعية من نوع سيلو 2 .

ليكن V فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد على حقل F، وليكن ρ : G → GL ( V ) تمثيلًا لمجموعة G على V. مَثْلُ ρ هو الدالة χ ρ : _G → F المعطاة بـ  

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$

حيث Tr هو الأثر .

يُطلق على المَحْرِز χ _ρ اسم غير قابل للاختزال أو بسيط إذا كان ρ تمثيلًا غير قابل للاختزال . درجة المَحْرِز χ هي بُعد ρ ؛ في خاصية الصفر، تساوي هذه الدرجة القيمة χ (1) . يُطلق على المَحْرِز ذي الدرجة 1 اسم خطي . عندما تكون G منتهية و F ذات خاصية الصفر، فإن نواة المَحْرِز χ ρ _هي المجموعة الجزئية الطبيعية .

${\displaystyle \ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,}$

وهو بالضبط جوهر التمثيل ρ . ومع ذلك، فإن الخاصية ليست تشاكلاً بين المجموعات بشكل عام.

• الخصائص هي دوال فئوية ، أي أن كل خاصية منها تأخذ قيمة ثابتة على فئة اقتران معينة. وبشكل أدق، فإن مجموعة الخصائص غير القابلة للاختزال لمجموعة معينة G إلى حقل F تشكل أساسًا للفضاء المتجهي F لجميع الدوال الفئوية G → F.
• التمثيلات المتماثلة لها نفس الخصائص. على حقل ذي خاصية 0 ، يكون تمثيلان متماثلين إذا وفقط إذا كان لهما نفس الخاصية. ^{[ 1 ]}
• إذا كان التمثيل هو المجموع المباشر للتمثيلات الفرعية ، فإن الحرف المقابل هو مجموع أحرف تلك التمثيلات الفرعية.
• إذا تم تقييد خاصية المجموعة المنتهية G إلى مجموعة فرعية H ، فإن النتيجة تكون أيضًا خاصية للمجموعة H.
• كل قيمة حرفية χ ( g ) هي مجموع n جذرًا من الرتبة m للوحدة ، حيث n هي درجة (أي بُعد فضاء المتجهات المرتبط) التمثيل ذي الحرف χ، و m هي رتبة g . وبالتحديد، عندما F = C ، فإن كل قيمة حرفية من هذا النوع هي عدد صحيح جبري .
• إذا كانت F = C و χ غير قابلة للاختزال، فإن $${\displaystyle [G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}}$$هو عدد صحيح جبري لجميع قيم x في G.
• إذا كانت F مغلقة جبريًا ، ولم يكن char ( F ) يقسم رتبة G ، فإن عدد السمات غير القابلة للاختزال في G يساوي عدد فئات الترافق في G. علاوة على ذلك، في هذه الحالة، تكون درجات السمات غير القابلة للاختزال قواسم لرتبة G (بل إنها تقسم [ G : Z ( G )] إذا كانت F = C ). 

تشكل الخصائص العقدية غير القابلة للاختزال لمجموعة منتهية جدولًا للخصائص ، يُشفّر معلومات مفيدة كثيرة عن المجموعة G بشكل مُختصر. يُسمى كل صف بتمثيل غير قابل للاختزال، وتمثل عناصر الصف خصائص هذا التمثيل على فئة الترافق الخاصة به في G. تُسمى الأعمدة بفئات الترافق الخاصة بـ G (أو ممثلاتها) . من المعتاد تسمية الصف الأول بخاصية التمثيل التافه ، وهو الفعل التافه لـ G على فضاء متجهي أحادي البعد .${\displaystyle \rho (g)=1}$للجميع${\displaystyle g\in G}$لذا، فإن كل عنصر في الصف الأول يساوي 1. وبالمثل، جرت العادة على تسمية العمود الأول بالعنصر المحايد. وبالتالي، يحتوي العمود الأول على درجة كل حرف غير قابل للاختزال.

إليكم جدول الشخصيات الخاص بـ

${\displaystyle C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle ,}$

المجموعة الدورية ذات العناصر الثلاثة والمولد u :

حيث ω هو جذر ثالث بدائي للوحدة.

يكون جدول الأحرف مربعًا دائمًا، لأن عدد التمثيلات غير القابلة للاختزال يساوي عدد فئات الاقتران. ^{[ 2 ]}

تُفترض أن الخصائص المذكورة في هذا القسم ذات قيم مركبة. ليكن H زمرة جزئية من الزمرة المنتهية G. بفرض خاصية χ من G ، فلنرمز _بـ χH إلى تقييدها على H. ولتكن θ خاصية من H. بيّن فرديناند جورج فروبينيوس كيفية إنشاء خاصية من G انطلاقًا من θ ، باستخدام ما يُعرف الآن بتبادلية فروبينيوس . بما أن الخصائص غير القابلة للاختزال من G تُشكّل أساسًا متعامدًا لفضاء دوال الفئات ذات القيم المركبة في G ، فإنه توجد دالة فئة وحيدة ^θG من G تتمتع بالخاصية التالية:

${\displaystyle \langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}}$

لكل خاصية غير قابلة للاختزال χ من G (الضرب الداخلي الأيسر خاص بدوال الفئة في G ، والضرب الداخلي الأيمن خاص بدوال الفئة في H ). بما أن تقييد خاصية من G على المجموعة الجزئية H هو خاصية أخرى من H ^، فإن هذا التعريف يوضح أن θG عبارة عن توليفة عددية صحيحة غير سالبة من الخصائص غير القابلة للاختزال من G ، وبالتالي فهي خاصية من G. تُعرف هذه الخاصية باسم خاصية G المستحثة من θ . يمكن تعميم الصيغة التعريفية لتبادلية فروبينيوس لتشمل دوال الفئة ذات القيم المركبة العامة.

بفرض تمثيل مصفوفي ρ للمجموعة H ، قدّم فروبينيوس لاحقًا طريقة صريحة لإنشاء تمثيل مصفوفي للمجموعة G ، يُعرف بالتمثيل المُستنتج من ρ ، ويُكتب بشكل مماثل ρG ^. أدى ذلك إلى وصف بديل للمُميّز المُستنتج θG . يتلاشى هذا المُميّز المُستنتج على جميع عناصر ^G التي لا تُرافق أي عنصر من عناصر H. بما أن المُميّز المُستنتج هو دالة فئة للمجموعة G ، فإنه من الضروري الآن فقط وصف قيمه على عناصر H. إذا كتبنا G كاتحاد منفصل لمجموعات مُشاركة يمنى للمجموعة H ، على سبيل المثال

${\displaystyle G=Ht_{1}\cup \ldots \cup Ht_{n},}$

إذن، إذا أعطينا عنصرًا h من H ، فسنحصل على:

$\displaystyle \theta ^{G}(h)=\sum _{i\$ :\ t_{i}ht_{i}^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}ht_{i}^{-1}\right).}

لأن θ دالة فئة لـ H ، فإن هذه القيمة لا تعتمد على الاختيار المحدد لممثلي المجموعة المشتركة.

يُتيح هذا الوصف البديل للخاصية المُستحثة أحيانًا حسابًا صريحًا من معلومات قليلة نسبيًا حول تضمين H في G ، وهو مفيد غالبًا لحساب جداول خصائص مُحددة. عندما تكون θ هي الخاصية التافهة لـ H ، تُعرف الخاصية المُستحثة الناتجة باسم خاصية التبديل لـ G (على المجموعات المُشاركة لـ H ).

وجدت التقنية العامة لاستقراء الخصائص والتحسينات اللاحقة تطبيقات عديدة في نظرية المجموعات المنتهية وفي أماكن أخرى في الرياضيات، على أيدي علماء الرياضيات مثل إميل أرتين وريتشارد براور ووالتر فيت وميشيو سوزوكي ، بالإضافة إلى فروبينيوس نفسه.

تم تعريف واستكشاف تحليل ماكي بواسطة جورج ماكي في سياق زمر لي ، ولكنه يُعد أداةً قويةً في نظرية الخصائص ونظرية تمثيل الزمر المنتهية. يتعلق شكله الأساسي بكيفية سلوك الخاصية (أو الوحدة) المستحثة من زمرة جزئية H من زمرة منتهية G عند تقييدها إلى زمرة جزئية K (قد تكون مختلفة) من G ، ويستفيد من تحليل G إلى مجموعات مشاركة مزدوجة ( H , K ) .

لو${\textstyle G=\bigcup _{t\in T}HtK}$إذا كان اتحادًا منفصلاً، و θ دالة فئة معقدة لـ H ، فإن صيغة ماكي تنص على أن

${\displaystyle \left(\theta ^{G}\right)_{K}=\sum _{t\in T}\left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},}$

حيث θ ^t هي دالة الفئة لـ t ⁻¹ Ht المعرفة بـ θ ^t ( t ⁻¹ ht ) = θ ( h ) لجميع h في H. توجد صيغة مماثلة لتقييد وحدة مستحثة على مجموعة جزئية، وهي صالحة للتمثيلات على أي حلقة ، ولها تطبيقات في مجموعة واسعة من السياقات الجبرية والطوبولوجية .

يُنتج تحليل ماكي، بالاقتران مع مبدأ التبادلية لفروبينيوس، صيغةً معروفةً ومفيدةً للجداء الداخلي لدالتين من الفئتين θ و ψ المستحثتين من مجموعتين جزئيتين H و K على التوالي ، وتكمن فائدتها في أنها تعتمد فقط على كيفية تقاطع مرافقات H و K. الصيغة (مع اشتقاقها) هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \theta ^{G},\psi ^{G}\right\rangle &=\left\langle \left(\theta ^{G}\right)_{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\theta ^{t}\right)_{t^{-1}Ht\cap K},\psi _{t^{-1}Ht\cap K}\right\rangle ,\end{aligned}}}$

(حيث T هي مجموعة كاملة من ممثلي المشاركة المزدوجة ( H , K ) ، كما سبق). تُستخدم هذه الصيغة غالبًا عندما يكون θ و ψ دالتين خطيتين، وفي هذه الحالة تكون جميع الضربات الداخلية الظاهرة في المجموع على اليمين إما 1 أو 0 ، اعتمادًا على ما إذا كانت الدالتان الخطيتان θ ^t و ψ تخضعان لنفس القيد t ⁻¹ Ht ∩ K. إذا كانت θ و ψ دالتين تافهتين، فإن الضرب الداخلي يتبسط إلى | T | .

يمكن تفسير خاصية التمثيل على أنها البُعد "الملتوي" للفضاء المتجهي . ^{[ 3 ]} وباعتبار الخاصية دالةً لعناصر المجموعة χ ( g ) ، فإن قيمتها عند العنصر المحايد هي بُعد الفضاء، لأن χ (1) = Tr( ρ (1)) = Tr( IV ) = dim( V ) . وبناءً _على ذلك، يمكن اعتبار القيم الأخرى للخاصية أبعادًا "ملتوية".

يمكن إيجاد نظائر أو تعميمات للعبارات المتعلقة بالأبعاد إلى عبارات تتعلق بالخصائص أو التمثيلات. ويظهر مثال متطور على ذلك في نظرية ضوء القمر الوحشي : فالثابت j هو البعد المتدرج لتمثيل متدرج لانهائي الأبعاد لمجموعة الوحش ، واستبدال البعد بالخاصية يعطي متسلسلة مكاي-تومسون لكل عنصر من عناصر مجموعة الوحش. ^{[ 3 ]}

لو${\displaystyle G}$هي جماعة كاذبة و${\displaystyle \rho }$تمثيل محدود الأبعاد لـ${\displaystyle G}$الشخصية${\displaystyle \chi _{\rho }}$ل${\displaystyle \rho }$يُعرَّف بدقة على أنه لأي مجموعة كما يلي:

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$.

في غضون ذلك، إذا${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو جبر لي و${\displaystyle \rho }$تمثيل محدود الأبعاد لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يمكننا تعريف الشخصية${\displaystyle \chi _{\rho }}$بواسطة

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})}$.

الشخصية سترضي${\displaystyle \chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)}$للجميع${\displaystyle g}$في مجموعة لي المرتبطة${\displaystyle G}$وكل شيء${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$إذا كان لدينا تمثيل لمجموعة لي وتمثيل لجبر لي مرتبط به، فإن الخاصية${\displaystyle \chi _{\rho }}$يرتبط تمثيل جبر لي بالخاصية${\displaystyle \mathrm {X} _{\rho }}$تمثيل المجموعة بالصيغة

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})}$.

لنفترض الآن أن${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي جبر لي شبه بسيط معقد مع جبر كارتان الفرعي${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$قيمة الحرف${\displaystyle \chi _{\rho }}$تمثيل غير قابل للاختزال${\displaystyle \rho }$ل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتم تحديده من خلال قيمه على${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$تقييد الشخصية بـ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$يمكن حسابها بسهولة بدلالة مساحات الأوزان ، كما يلي:

${\displaystyle \chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}}$،

حيث يكون المجموع على جميع الأوزان${\displaystyle \lambda }$ل${\displaystyle \rho }$وأين${\displaystyle m_{\lambda }}$تعددية${\displaystyle \lambda }$[ ^{4 ]​}

(التقييد على${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$يمكن حساب الخاصية (من) بشكل أكثر وضوحًا باستخدام صيغة ويل للخاصية.

• التمثيل غير القابل للاختزال §  تطبيقات في الفيزياء النظرية والكيمياء
• مخططات الارتباط ، وهي تعميم توافقي لنظرية خصائص المجموعة.
• تُقدم نظرية كليفورد ، التي قدمها إيه إتش كليفورد في عام 1937، معلومات حول تقييد خاصية معقدة غير قابلة للاختزال لمجموعة منتهية G إلى مجموعة فرعية طبيعية N.
• صيغة فروبينيوس
• العنصر الحقيقي ، عنصر المجموعة g بحيث يكون χ ( g ) عددًا حقيقيًا لجميع الأحرف χ

• شخصية في بلانيت ماث .