المجموع المباشر

يُفرَّق بين المجموع المباشر الداخلي والخارجي على الرغم من أنهما متماثلان. إذا عُرِّفت الحدود أولاً، ثم عُرِّف المجموع المباشر بدلالة هذه الحدود، فإنه يوجد مجموع مباشر خارجي. على سبيل المثال، إذا كانت الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$يتم تعريفها، متبوعة بـ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$، ويُقال إن المجموع المباشر خارجي.

أما إذا كان هناك بنية جبرية معينة${\displaystyle S}$يتم تعريفها، و${\displaystyle S}$ثم يُعرَّف بأنه مجموع مباشر لبنيتين فرعيتين${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$يُقال إن المجموع المباشر داخلي. في هذه الحالة، كل عنصر من${\displaystyle S}$يمكن التعبير عنها بشكل فريد كتركيبة جبرية لعنصر من${\displaystyle V}$وعنصر من${\displaystyle W}$كمثال على المجموع الطردي الداخلي، انظر${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$(الأعداد الصحيحة بتردد ستة)، والتي عناصرها هي${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$ويمكن التعبير عن ذلك كمجموع مباشر داخلي${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$.

المجموع المباشر للمجموعات الأبيلية هو مثال نموذجي للمجموع المباشر. بفرض مجموعتين من هذا النوع${\displaystyle (A,\circ )}$و${\displaystyle (B,\bullet ),}$مجموعهم المباشر${\displaystyle A\oplus B}$هو نفسه حاصل ضربهما المباشر . أي أن المجموعة الأساسية هي حاصل الضرب الديكارتي${\displaystyle A\times B}$والعملية الجماعية${\displaystyle \,\cdot \,}$يتم تعريفها على أساس المكونات: $${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).}$$ يمكن تعميم هذا التعريف ليشمل المجاميع المباشرة لعدد محدود من المجموعات الأبيلية.

لعائلة عشوائية من المجموعات${\displaystyle A_{i}}$مفهرسة بواسطة${\displaystyle i\in I,}$مجموعهم المباشر ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$ هي المجموعة الفرعية من الضرب المباشر التي تتكون من العناصر${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$التي لها نطاق محدود ، حيث، بحسب التعريف،${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$يقال إن لها دعمًا محدودًا إذا${\displaystyle a_{i}}$هو عنصر الهوية لـ${\displaystyle A_{i}}$بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من${\displaystyle i.}$^{[ 4 ]} المجموع المباشر لعائلة لانهائية${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$الزمر غير التافهة هي زمرة جزئية فعلية من زمرة الضرب${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}$

المجموع المباشر للوحدات هو بناء يجمع عدة وحدات في وحدة جديدة.

تظهر الأمثلة الأكثر شيوعًا لهذا البناء عند دراسة الفضاءات المتجهة ، وهي عبارة عن وحدات نمطية على حقل . ويمكن أيضًا توسيع هذا البناء ليشمل فضاءات باناخ وفضاءات هيلبرت .

الفئة الجمعية هي تجريد لخصائص فئة الوحدات النمطية. ^{[ 5 ] [ 6 ]} في مثل هذه الفئة، تتفق المنتجات النهائية والمنتجات المشتركة ، ويكون المجموع المباشر أيًا منهما: انظر المنتج الثنائي .

وبشكل أعم، ^{[ 3 ]} في نظرية الفئاتغالباً ما يكون المجموع المباشر ناتجاً مشتركاً في فئة الكائنات الرياضية المعنية، ولكن ليس دائماً. على سبيل المثال، في فئة الزمر الأبيلية، يُعدّ المجموع المباشر ناتجاً مشتركاً. وينطبق هذا أيضاً على فئة الوحدات.

يعمم المجموع المباشر لتمثيلات المجموعة المجموع المباشر للوحدات الأساسية بإضافة فعل المجموعة . على وجه التحديد، بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle G}$وتمثيلان​${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$ل${\displaystyle G}$(أو بشكل عام، اثنان)${\displaystyle G}$(-وحدات )، يكون المجموع المباشر للتمثيلات هو${\displaystyle V\oplus W}$بفعل${\displaystyle g\in G}$مع الأخذ في الاعتبار المكونات، أي $${\displaystyle g(v,w):=(gv,gw).}$$

ويمكن تعريف المجموع المباشر بطريقة مكافئة كما يلي: بالنظر إلى تمثيلين${\displaystyle (V,\rho _{V})}$و${\displaystyle (W,\rho _{W})}$الفضاء المتجهي للمجموع المباشر هو${\displaystyle V\oplus W}$والتماثل${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),}$أين${\displaystyle \alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)}$هي الخريطة الطبيعية التي تم الحصول عليها من خلال العمل الإحداثي كما هو موضح أعلاه.

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle V,\,W}$إذا كانت ذات أبعاد محدودة، فعندئذٍ، بالنظر إلى أساس من${\displaystyle V,\,W}$،${\displaystyle \rho _{V}}$و${\displaystyle \rho _{W}}$هي قيم مصفوفية. في هذه الحالة،${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$يُعطى على النحو التالي $${\displaystyle g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.}$$

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$تُعتبر وحدات فوق حلقة المجموعة${\displaystyle kG}$، أين${\displaystyle k}$هو الحقل، المجموع المباشر للتمثيلات${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$يساوي مجموعهما المباشر كما يلي${\displaystyle kG}$-الوحدات.

المنتج المباشر${\displaystyle R\times S}$لا ينبغي كتابة عدد الحلقات على النحو التالي:${\displaystyle R\oplus S}$، منذ${\displaystyle R\times S}$لا تتلقى تشاكلات حلقية طبيعية من${\displaystyle R}$و${\displaystyle S}$[ ^{7 ] على وجه الخصوص} ، الخريطة${\displaystyle R\to R\times S}$إرسال${\displaystyle r}$ل${\displaystyle (r,0)}$ليس تشاكلاً حلقياً لأنه لا يرسل 1 إلى${\displaystyle (1,1)}$(بافتراض أن${\displaystyle 0\neq 1}$في${\displaystyle S}$). هكذا،${\displaystyle R\times S}$ليس هذا ناتجًا مشتركًا في فئة الحلقات ، ولا ينبغي كتابته كمجموع مباشر. (الناتج المشترك في فئة الحلقات التبديلية هو حاصل الضرب الموتري للحلقات . ^{[ 8 ]} في فئة الحلقات، يُعطى الناتج المشترك ببنية مشابهة لحاصل الضرب الحر للمجموعات.)

يُعد استخدام مصطلحات ورموز المجموع المباشر إشكاليًا بشكل خاص عند التعامل مع عائلات الحلقات اللانهائية.${\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}$هي مجموعة لانهائية من الحلقات غير التافهة، ويمكن تجهيز المجموع المباشر للمجموعات الجمعية الأساسية بالضرب الحدي، لكن ذلك ينتج حلقة بدون عنصر محايد ضربي.

لو${\displaystyle \mathbf {A} }$هو${\displaystyle m_{1}\times n_{1}}$المصفوفة و${\displaystyle \mathbf {B} }$هو${\displaystyle m_{2}\times n_{2}}$المصفوفة، ثم المجموع المباشر${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }$يُعرَّف بأنه${\displaystyle (m_{1}+m_{2})\times (n_{1}+n_{2})}$مصفوفة قطرية كتلية${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

فضاء متجهي طوبولوجي ( TVS)${\displaystyle X,}$مثل فضاء باناخ ، يُقال إنه مجموع طوبولوجي مباشر لفضاءين فرعيين متجهين${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$إذا كانت خريطة الجمع $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$ هو تماثل بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية (بمعنى أن هذا التطبيق الخطي هو تماثل تقابلي ) وفي هذه الحالة${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$يُقال إنها مكملات طوبولوجية في${\displaystyle X.}$ هذا صحيح إذا وفقط إذا تم اعتبارها مجموعات طوبولوجية جمعية (وبالتالي يتم تجاهل الضرب القياسي).${\displaystyle X}$هو المجموع الطوبولوجي المباشر للمجموعات الفرعية الطوبولوجية${\displaystyle M}$و${\displaystyle N.}$ إذا كان هذا هو الحال، وإذا${\displaystyle X}$هل هذا هو هاوسدورف إذن؟${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$هي بالضرورة فضاءات فرعية مغلقة من${\displaystyle X.}$

لو${\displaystyle M}$هو فضاء متجهي جزئي من فضاء متجهي حقيقي أو مركب${\displaystyle X}$يوجد دائمًا فضاء فرعي متجهي آخر${\displaystyle N}$ل${\displaystyle X,}$يُطلق عليه اسم المكمل الجبري لـ${\displaystyle M}$في${\displaystyle X,}$بحيث${\displaystyle X}$هو المجموع الجبري المباشر لـ${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$، وهو ما يحدث إذا وفقط إذا كانت خريطة الجمع${\displaystyle M\times N\to X}$هو تماثل في فضاء متجهي .

على عكس المجاميع المباشرة الجبرية، فإن وجود مثل هذا المكمل لم يعد مضمونًا بالنسبة للمجاميع المباشرة الطوبولوجية.

فضاء متجهي فرعي${\displaystyle M}$ل${\displaystyle X}$يُقال إنها فضاء فرعي مكمل ( طوبولوجيًا ) من${\displaystyle X}$إذا كان هناك فضاء متجهي جزئي${\displaystyle N}$ل${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle X}$هو المجموع الطوبولوجي المباشر لـ${\displaystyle M}$و${\displaystyle N.}$ يُطلق على الفضاء المتجهي الجزئي اسم غير مكمل إذا لم يكن فضاءً مكملاً. على سبيل المثال، كل فضاء متجهي جزئي من فضاء هاوسدورف المتجهي غير مغلق هو بالضرورة غير مكمل. كل فضاء متجهي جزئي مغلق من فضاء هيلبرت هو مكمل. لكن كل فضاء باناخ ليس فضاء هيلبرت يمتلك بالضرورة فضاءً متجهيًا جزئيًا مغلقًا غير مكمل.