المجموع المباشر للمجموعات

في الرياضيات ، تُسمى المجموعة G مجموعًا مباشرًا ^{[ 1 ] [ 2 ]} لمجموعتين جزئيتين طبيعيتين بتقاطع تافه إذا كانت مولدة بواسطة هاتين المجموعتين. في الجبر المجرد ، يمكن تعميم هذه الطريقة في بناء المجموعات لتشمل المجاميع المباشرة للفضاءات المتجهة ، والوحدات ، وغيرها من البنى؛ راجع مقالة " المجموع المباشر للوحدات" لمزيد من المعلومات. تُسمى المجموعة التي يمكن التعبير عنها كمجموع مباشر لمجموعات جزئية غير تافهة قابلة للتحليل ، وإذا لم يكن من الممكن التعبير عن مجموعة كمجموع مباشر، فإنها تُسمى غير قابلة للتحليل .

تُسمى المجموعة G المجموع المباشر ^{[ 1 ] [ 2 ]} لمجموعتين جزئيتين H1 و H2 _إذا​_​

• كل من _H1 و H2 عبارة عن _{مجموعات} فرعية طبيعية من G ،
• للمجموعتين الفرعيتين H1 و H2 تقاطع تافه (أي أنهما تحتويان فقط على عنصر الوحدة _{) .}${\displaystyle e}$(من G المشتركة)،
• G = ⟨ H ₁ , H ₂ ⟩؛ بمعنى آخر، يتم توليد G بواسطة المجموعات الفرعية H ₁ و H ₂ .

وبشكل أعم، يُطلق على G اسم المجموع المباشر لمجموعة جزئية منتهية { H _i } إذا

• كل H _i هي مجموعة فرعية طبيعية من G ،
• لكل مجموعة فرعية H _i تقاطع تافه مع المجموعة الفرعية ⟨{ H _j  : j ≠ i }⟩ ،
• G = ⟨{ H _i }⟩؛ بعبارة أخرى، يتم توليد G بواسطة المجموعات الفرعية { H _i }.

إذا كانت G هي المجموع المباشر للمجموعتين الجزئيتين H و K، فإننا نكتب G = H + K ، وإذا كانت G هي المجموع المباشر لمجموعة من المجموعات الجزئية { H _i }، فإننا نكتب غالبًا G = Σ H _i . وبعبارة أخرى، فإن المجموع المباشر متماثل مع حاصل الضرب المباشر الضعيف للمجموعات الجزئية.

إذا كان G = H + K ، فإنه يمكن إثبات ما يلي:

• لكل h في H و k في K ، لدينا أن h ∗ k = k ∗ h
• لكل g في G ، يوجد h وحيد في H ، و k وحيد في K بحيث يكون g = h ∗ k
• يحدث حذف للمجموع في خارج القسمة؛ لذا فإن ( H + K )/ K متماثل مع H

يمكن تعميم التأكيدات المذكورة أعلاه على حالة G = Σ H _i ، حيث { H _i } هي مجموعة محدودة من المجموعات الفرعية:

• إذا _كان i ≠ j ، فإنه لكل hᵢ في Hᵢ _و hⱼ في Hⱼ _{، يكون} لدينا hᵢ _∗ hⱼ = hⱼ _∗ hᵢ_​​_​
• لكل عنصر g في G ، توجد مجموعة فريدة من العناصر hᵢ _في Hᵢ _بحيث

g = h1 _* h2 * _... * h1 _* ... _* hn

• هناك إلغاء للمجموع في خارج القسمة؛ بحيث يكون ((Σ H _i ) + K )/ K متماثلًا مع Σ H _i .

لاحظ التشابه مع الضرب المباشر ، حيث يمكن التعبير عن كل g بشكل فريد على النحو التالي:

g = ( h ₁ , h ₂ , ..., h _i , ..., h _n ).

بما أن h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i لجميع i ≠ j ، فإنه يترتب على ذلك أن ضرب العناصر في المجموع المباشر متماثل مع ضرب العناصر المقابلة في الضرب المباشر ؛ وبالتالي بالنسبة للمجموعات الجزئية المنتهية ، فإن Σ H _i متماثل مع الضرب المباشر × { H _i }.

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle G}$نقول إن مجموعة فرعية${\displaystyle H}$هو مجموع مباشر لـ${\displaystyle G}$إذا كانت هناك مجموعة فرعية أخرى${\displaystyle K}$ل${\displaystyle G}$بحيث${\displaystyle G=H+K}$.

في المجموعات الأبيلية، إذا${\displaystyle H}$هي مجموعة فرعية قابلة للقسمة من${\displaystyle G}$، ثم${\displaystyle H}$هو مجموع مباشر لـ${\displaystyle G}$.

• إذا أخذنا ${\textstyle G=\prod _{i\in I}H_{i}}$من الواضح أن${\displaystyle G}$هو الناتج المباشر للمجموعات الفرعية${\textstyle H_{i_{0}}\times \prod _{i\not =i_{0}}H_{i}}$.

• لو${\displaystyle H}$هي زمرة جزئية قابلة للقسمة من زمرة أبيلية${\displaystyle G}$ثم توجد مجموعة فرعية أخرى${\displaystyle K}$ل${\displaystyle G}$بحيث${\displaystyle G=K+H}$.
• لو${\displaystyle G}$كما أن لها بنية فضاء متجهي.${\displaystyle G}$يمكن كتابتها كمجموع مباشر لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$وفضاء فرعي آخر${\displaystyle K}$سيكون ذلك متماثلاً مع ناتج القسمة${\displaystyle G/K}$.

في تحليل مجموعة منتهية إلى مجموع مباشر من مجموعات فرعية غير قابلة للتحليل، لا يكون تضمين المجموعات الفرعية فريدًا. على سبيل المثال، في مجموعة كلاين${\displaystyle V_{4}\cong C_{2}\times C_{2}}$لدينا ذلك

${\displaystyle V_{4}=\langle (0,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle ,}$و

${\displaystyle V_{4}=\langle (1,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle .}$

ومع ذلك، تنص نظرية ريماك-كرول-شميدت على أنه بالنظر إلى مجموعة منتهية G = Σ A _i = Σ B _j ، حيث يكون كل A _i وكل B _j غير تافه وغير قابل للتحليل ، فإن المجموعين لهما حدود متساوية حتى إعادة الترتيب والتماثل.

تفشل نظرية ريماك-كرول-شميدت بالنسبة للمجموعات اللانهائية؛ لذلك في حالة G اللانهائية = H + K = L + M ، حتى عندما تكون جميع المجموعات الفرعية غير تافهة وغير قابلة للتحليل، لا يمكننا استنتاج أن H متماثلة مع L أو M.

لوصف الخصائص المذكورة أعلاه في الحالة التي يكون فيها G هو المجموع المباشر لمجموعة لا نهائية (ربما غير قابلة للعد) من المجموعات الفرعية، يلزم مزيد من العناية.

إذا كان g عنصرًا من حاصل الضرب الديكارتي Π{ H _i } لمجموعة من الزمر، فليكن g i _العنصر i من g في حاصل الضرب. المجموع المباشر الخارجي لمجموعة من الزمر { H _i } (يُكتب Σ _E { H _i }) هو المجموعة الجزئية من Π{ H _i }، حيث يكون g _i هو العنصر المحايد لكل عنصر g من Σ _E { H _i }${\displaystyle e_{H_{i}}}$بالنسبة لجميع عناصر g _i باستثناء عدد محدود منها (بمعنى آخر، عدد محدود فقط من عناصر g _i لا يمثل العنصر المحايد). عملية المجموعة في المجموع المباشر الخارجي هي الضرب النقطي، كما هو الحال في الضرب المباشر المعتاد.

تشكل هذه المجموعة الفرعية بالفعل مجموعة، وبالنسبة لمجموعة محدودة من المجموعات { H _i } فإن المجموع المباشر الخارجي يساوي الضرب المباشر.

إذا كانت G = Σ H _i ، فإن G متماثلة مع Σ _E { H _i }. وبالتالي، بمعنى ما، فإن المجموع المباشر هو مجموع مباشر خارجي "داخلي". لكل عنصر g في G ، توجد مجموعة منتهية وحيدة S ومجموعة وحيدة { h _i ∈ H _i  : i ∈ S } بحيث يكون g = Π { h _i  : i in S }.

• المجموع المباشر
• منتج ثانوي
• منتج مجاني
• المجموع المباشر للمجموعات الطوبولوجية